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第1篇：初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文

關(guān)鍵詞： 動(dòng)點(diǎn) 最值 解題策略

【中圖分類號(hào)】G633.6

解這類題目要盡可能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，把幾何圖形轉(zhuǎn)化成代數(shù)式，或是結(jié)合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)屬性，分析圖形特征，根據(jù)題目的條件寫出關(guān)系式，將動(dòng)態(tài)的幾何問(wèn)題靜態(tài)化，抓住靜態(tài)的瞬間，將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一些特殊的情況，從而找到動(dòng)、靜之間的關(guān)系來(lái)求解。本文試從以下幾個(gè)方面對(duì)這類問(wèn)題作一些簡(jiǎn)單的探討：.（1）出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)；（2）出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)；（3）出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)，這3中情況下的解題方法主要是通過(guò)軸對(duì)稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，對(duì)稱到直線的另一側(cè)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由"兩點(diǎn)之間線段最短"或者"垂線段最短"可知?jiǎng)狱c(diǎn)的位置及其最值情況。

課后習(xí)題（引例）：如圖，已知AB是一條河，河的一邊有兩個(gè)村莊M和N，現(xiàn)要在河AB上修一個(gè)抽水站，同時(shí)向M和N這兩個(gè)村莊供水，為了節(jié)約供水的費(fèi)用，就要使所鋪的管道最短，請(qǐng)你找到AB上的點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離之和最短.

解：過(guò)點(diǎn)M作AB的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接M'N，即PM+PNM'N

要使得PM+PN最小，即P在M'N與AB的交點(diǎn)處

總結(jié)：對(duì)稱共線法，如果不定的兩條線段之和由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)決定，我們可以用"軸對(duì)稱"的性質(zhì)將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，對(duì)稱到直線的另一側(cè)，將不共線的線段進(jìn)行等量轉(zhuǎn)移，在借助"兩點(diǎn)之間的距離最短"找到特殊情況下的動(dòng)點(diǎn)P的位置，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成靜態(tài)的幾何問(wèn)題，進(jìn)而求解。

類型一：一動(dòng)兩定型（兩個(gè)定點(diǎn)到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離和最小問(wèn)題）

變式1：從直線到三角形中

例1：在ABC中，AC=BC=2，∠ACB=900，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值為 。

解：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P，連結(jié)DP，PB由引例可知，點(diǎn)E即為DP與BC的交點(diǎn)，

AC=BC=2，∠ACB=900，

∠PCB=450即CBP為等腰直角三角形

BD==1，PB=2

PD=

變式2：從三角形模型轉(zhuǎn)移到四邊形模型

如圖：菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是_______。

解法：

變式3：從四邊形轉(zhuǎn)移到圓柱體中

如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為 cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_(kāi)_______。

誤解：學(xué)生一看到這一個(gè)圓柱體問(wèn)題，很容易產(chǎn)生一個(gè)定向思維：將圓柱體展開(kāi)，找到展開(kāi)圖中的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C，構(gòu)造RTADC，利用勾股定理AC2=CD2+AD2，在利用已知的條件求出CD=9，AD=4，進(jìn)而求出AC=，但是這個(gè)問(wèn)題到底出現(xiàn)在什么地方呢？我們?cè)谇懊娴木毩?xí)中絕大多數(shù)情況下碰到的是螞蟻繞圓柱體的外壁從一點(diǎn)爬到這一點(diǎn)，此時(shí)考慮到柱體是一個(gè)曲面，利用轉(zhuǎn)化思想，將它轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)而求解，但是此時(shí)這個(gè)問(wèn)題中這只螞蟻是從杯外繞著杯口爬到杯子的內(nèi)壁中去，不再是我們?cè)?jīng)多次練習(xí)的外壁問(wèn)題，此題已經(jīng)轉(zhuǎn)化成了在杯口在一個(gè)點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，從而變成我們熟悉的一動(dòng)兩定問(wèn)題型。

正確的解：將圓柱體展開(kāi)（如右圖），找到點(diǎn)C的位置，根據(jù)上述一動(dòng)兩定型問(wèn)題的基本模型解法，找到A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'，此時(shí)PA'+PCCA'利用兩點(diǎn)之間線段最短確定點(diǎn)P的位置，在RTA'DC中，求出CA'=15。

方法總結(jié)：一動(dòng)兩定型問(wèn)題主要是由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)引起，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題通過(guò)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化成靜態(tài)下的幾何問(wèn)題，運(yùn)用"勾股定理"找到最小值。

類型二：一定兩動(dòng)型（一個(gè)定點(diǎn)到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離最短問(wèn)題）

即兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上運(yùn)動(dòng)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別到一個(gè)定點(diǎn)和另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離最短問(wèn)題

例2：ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，試在AB上找一點(diǎn)P，在BC上取一點(diǎn)M，使CP+PM的值最小為_(kāi)_______。

解：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，此時(shí)PC=PC'，CP+PM=M C'

M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)即線段M C'仍在變化

當(dāng)M C'BC時(shí)，M C'最短

即點(diǎn)P為M C'與線段AB的交點(diǎn)

在RTMC C'中，C C'= ，∠ C'CM=∠A，∠C'MC=∠ACB

MC C'∽ACB

M C'=

變式一：從直角三角形到一般的銳角三角形，形變意不變。

方法總結(jié)：如果不定的兩條線段由兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)決定，我們用"軸對(duì)稱"的性質(zhì)、"兩點(diǎn)之間線段最短"可以找到最短距離，但是與例1不同的是這條最短的線段大小還在不斷的變化中，此時(shí)再可以利用"垂線段最短"可得到其最值。

類型三：兩動(dòng)兩定型

即兩個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的四邊形周長(zhǎng)最小問(wèn)題。

求動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題的內(nèi)涵非常豐富，能更好的考察學(xué)生觀察轉(zhuǎn)移的能力，培養(yǎng)他們數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想，希望以上的幾個(gè)模型，對(duì)我們今后分析解決動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題有一定的幫助。

參考文獻(xiàn)：

1劉鵬； "特例"讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課更加有效[J]；數(shù)學(xué)之友；2012年01期

2李玉榮；最值問(wèn)題新考[J]；數(shù)學(xué)教學(xué)通訊；2010年03期

第2篇：初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 培養(yǎng)能力

數(shù)形結(jié)合思想主要是指利用數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化來(lái)解決各類實(shí)際問(wèn)題[1]。一是借助幾何圖形的性質(zhì)使得抽象的數(shù)式問(wèn)題變得形象和直觀，得到意想不到的解題思路和解題方法；二是把某些幾何圖形問(wèn)題通過(guò)聯(lián)想轉(zhuǎn)化成為數(shù)式問(wèn)題，得到較簡(jiǎn)便的解題方法。所以數(shù)形結(jié)合實(shí)際上是把直觀而具體的圖形與抽象而復(fù)雜的數(shù)式結(jié)合，使形象與抽象的兩種思維結(jié)合，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化、圖形認(rèn)識(shí)培養(yǎng)學(xué)生形象、靈活的思維，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題形象化的過(guò)程。

一、由數(shù)式聯(lián)想到圖形，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，通過(guò)圖形解決數(shù)式的問(wèn)題。

有機(jī)的數(shù)形結(jié)合，能夠把化抽象的問(wèn)題為具體，化復(fù)雜的問(wèn)題為簡(jiǎn)單。

1.利用數(shù)軸來(lái)闡述絕對(duì)值、相反數(shù)這類有關(guān)概念，以及有理數(shù)的四則運(yùn)算等[2]。數(shù)軸是一種重要的工具，借助數(shù)軸能夠直觀體現(xiàn)許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，也能夠展示數(shù)形結(jié)合思想。因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)合理引入數(shù)軸幫助學(xué)生掌握相反意義概念，了解絕對(duì)值、相反數(shù)的內(nèi)涵，全面掌握比較有理數(shù)大小方式，深刻理解有理數(shù)運(yùn)算意義法則等，進(jìn)而圓滿完成教學(xué)任務(wù)。如圖①：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如圖，借助數(shù)軸很容易找出表示-a和-b的點(diǎn)，從而順利地比較出a、b、-a、-b之間的大小關(guān)系。

圖①

2.通過(guò)幾何圖形推導(dǎo)出平方差，平方和，以及完全平方公式，表示出整式的乘法和因式分解等。

3.巧借函數(shù)的圖像求解函數(shù)題目的最值問(wèn)題。如點(diǎn)P點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)A（-2，3），B（3，1）在x軸的同一側(cè)，①求PA+PB的最小值；②求PA-PB的最大值。如圖②，先找到B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于點(diǎn)P，則PA+PB最小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而AB′的長(zhǎng)度則是PA+PB的最小值；如圖③，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，連接AB交x軸于點(diǎn)P，則PA-PB最小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而AB的長(zhǎng)度則是PA+PB的最小值。此外還可以探究當(dāng)點(diǎn)A、B在x軸的兩側(cè)的情況。

圖② 圖③

二、由圖形聯(lián)想到數(shù)式數(shù)形結(jié)合，用數(shù)式來(lái)解決圖形的問(wèn)題。

此類問(wèn)題的解決關(guān)鍵就是利用數(shù)式的精確性來(lái)表明圖形的一些屬性；把圖形的信息轉(zhuǎn)化成代數(shù)的信息，通過(guò)數(shù)量特征將圖形問(wèn)題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。這在初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用較多，如：

1.用數(shù)量來(lái)表示角度大小和線段長(zhǎng)短，并進(jìn)行相應(yīng)大小長(zhǎng)短的比較。

2.用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的位置。

3.用數(shù)式來(lái)描述點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系[3]。

三、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)合情推理。

1.通過(guò)直觀的幾何圖形求解代數(shù)問(wèn)題能夠激發(fā)學(xué)生思維、誘發(fā)直覺(jué)判斷，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，進(jìn)行大膽的假設(shè)推理，從而形成合情推理，進(jìn)而培養(yǎng)出合情推理的習(xí)慣。

如華東師大版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第80頁(yè)第25題，我們從圖④中可看出第一層有1個(gè)小圓圈，第二層有3個(gè)圓圈，第三層有5個(gè)圓圈……（以此類推）。①第一層的圓圈個(gè)數(shù)為1=1 ；②前兩層的圓圈個(gè)數(shù)總和為1+3=4=2 ；③前三層的圓圈個(gè)數(shù)總和為1+3+5=9=3 ；④前四層的圓圈個(gè)數(shù)總和為1+3+5+7=16=4 ……（以此類推）由此可歸納出前n層圓圈個(gè)數(shù)和為1+3+5+（2n-1）=n.數(shù)形結(jié)合，直觀明了。

圖④

2.借助幾何圖形解決復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題。在一些情況中，許多表面上看起來(lái)復(fù)雜錯(cuò)綜的應(yīng)用題，其實(shí)我們只需要把其中所涵蓋的各項(xiàng)條件逐一拆分開(kāi)來(lái)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想把它們對(duì)應(yīng)的示意圖畫出，就能立即使復(fù)雜的應(yīng)用題變得淺顯易懂。如利用勾股定理求取代數(shù)式的最值問(wèn)題：請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式 的最小值。如圖⑤，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC，當(dāng)點(diǎn)C滿足在AE上時(shí)，AC+CE的值最小。若設(shè)CD=x，CB=12-x，AB=3，DE=2，則AE就是所求的代數(shù)式 的最小值。

圖⑤

四、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題。

由于綜合運(yùn)用題并不是單純的由數(shù)式聯(lián)想圖形或者由圖形形聯(lián)想數(shù)式的問(wèn)題，因此利用數(shù)形結(jié)合解有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要注意以下幾個(gè)問(wèn)題。

1.數(shù)與形進(jìn)行轉(zhuǎn)化要求前后一致；

2.用數(shù)的精確性準(zhǔn)確的來(lái)表示圖形的一類特征；

3.把數(shù)轉(zhuǎn)化成形時(shí)要注意考慮圖形的涉及各種情形。因?yàn)橛行?shù)學(xué)問(wèn)題相對(duì)的圖形如果不具有唯一性，就要求根據(jù)特定的情況作出相對(duì)應(yīng)的圖形，才能討論進(jìn)而求解。

總之，我們應(yīng)當(dāng)在教學(xué)實(shí)踐中科學(xué)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力，把數(shù)形結(jié)合思想作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)所必需的基礎(chǔ)工具，利用幾何圖形、數(shù)軸、坐標(biāo)系等，結(jié)合相關(guān)教材習(xí)題內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生，并使他們?cè)趯?shí)踐中養(yǎng)成反思的習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，全面提升教學(xué)水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃家超. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法[J]. 教育教學(xué)論壇， 2011， 30： 035.

第3篇：初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文

【關(guān)鍵詞】初中 二次函數(shù) 三角形面積問(wèn)題

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）10-0120-02

引言

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)，對(duì)于二次函數(shù)的三角形面積問(wèn)題是代數(shù)數(shù)學(xué)與幾何數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合的一個(gè)考點(diǎn)，是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。教師在進(jìn)行這類問(wèn)題的講解時(shí)，應(yīng)該注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和綜合應(yīng)用能力的提升，對(duì)于一些題目可以進(jìn)行一題多解，擴(kuò)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維模式。

一、拋磚引玉

題目：已知直角坐標(biāo)系中有B、C、D三點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2）、（1，3），一次連接這三個(gè)點(diǎn)，求其圍城三角形的面積。

問(wèn)題引導(dǎo)：先在平面指教坐標(biāo)系中一次標(biāo)出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)位置，并按題目要求依次連接，形成三角形BCD，在具體求三角形BCD面積中會(huì)遇到不能確定其底邊長(zhǎng)與底邊上高的問(wèn)題。教師可以提醒學(xué)生利用直角坐標(biāo)系的優(yōu)勢(shì)，用“割補(bǔ)法”進(jìn)行三角形面積的求解。

教學(xué)感悟：教師可以在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)有些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行建模，引導(dǎo)并培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面的能力。對(duì)于上面求解三角形面積的問(wèn)題，教師可以讓學(xué)生將自己的“割補(bǔ)”思想表達(dá)出來(lái)，師生一起進(jìn)行探討學(xué)習(xí)，學(xué)生自己想出來(lái)的解題方法通常是其思維能力的一種表現(xiàn)，教師應(yīng)該充分的發(fā)現(xiàn)和挖掘?qū)W生的思維模式。

二、構(gòu)建例題

例題：如下圖所示，已知拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為X=3/4，求以下問(wèn)題：（1）求該拋物線的解析式，該拋物線與X軸的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求三角形BCD的面積。

問(wèn)題引導(dǎo)：求二次函數(shù)的解析式常用的有哪幾種方法？在求二次函數(shù)的解析式時(shí)，需要知道哪些條件？哪種方法更加適合本題的求解？關(guān)于三角形BCD面積的求解，需要知道什么條件？三角形BCD的面積應(yīng)該如何進(jìn)行求解？教師在數(shù)學(xué)課堂上可以通過(guò)一系列的問(wèn)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的提點(diǎn)，幫助學(xué)生理清解題思路。

設(shè)計(jì)目的：通過(guò)對(duì)本題解析式的求解，可以讓學(xué)生更加熟悉二次函數(shù)解析式的三種不同的表達(dá)式，可以幫助學(xué)生理解二次函數(shù)解析式不同表達(dá)方式之間的相互轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生對(duì)平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于三角形面積求解問(wèn)題的思考方法。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中可以采用循序漸進(jìn)的方法進(jìn)行教學(xué)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由單一到多變。

教師可以對(duì)例題進(jìn)行相關(guān)的變形，得到變式1：已知拋物線與直角坐標(biāo)系的X軸的B、C兩點(diǎn)相交，與Y軸相交于C點(diǎn)，連接BC兩點(diǎn)，D是拋物線上的點(diǎn)，在拋物線與線段BC相交的上方進(jìn)行移動(dòng)（不與B、C兩點(diǎn)重合），問(wèn)：點(diǎn)D在拋物線上移動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形BCD的面積最大，并算出此時(shí)三角形BCD的面積和點(diǎn)D的坐標(biāo)。

問(wèn)題引導(dǎo)：例題與變式1之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？在求三角形BCD的面積時(shí)，哪些條件是已知的，哪些條件是未知的，與三角形BCD面積計(jì)算式之間的關(guān)系是怎樣的？拋物線的最值問(wèn)題與變式1之間有沒(méi)有聯(lián)系？如有，應(yīng)該如何構(gòu)建三角形BCD的面積與點(diǎn)D坐標(biāo)之間的關(guān)系？在題目圖形的建模過(guò)程中，“分割法”是否能夠運(yùn)用到變形1的解題中？

在一系列的問(wèn)題引導(dǎo)后，教師可以為學(xué)生交流自己解題思路提供一個(gè)平臺(tái)，相互之間的思維模式的學(xué)習(xí)和借鑒，逐漸培養(yǎng)學(xué)生具備一題多解的能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力。

變式2：已知拋物線的解析式為Y=-2X2+3X+2，直線方程為Y=-X+3/4相交于兩點(diǎn)B、C，點(diǎn)D是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與B、C兩點(diǎn)均不重合），問(wèn)：D點(diǎn)在拋物線上什么位置時(shí)，三角形BCD的面積最大，并求出此時(shí)三角形BCD的面積和D點(diǎn)的坐標(biāo)。

問(wèn)題引導(dǎo)：變式2與變式1之間相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？結(jié)合它們之間的關(guān)系可以聯(lián)想到什么解題思路？在這幾種解題思路中，哪種思路更加簡(jiǎn)單？結(jié)合這幾種題型，進(jìn)行相關(guān)的學(xué)結(jié)。

解析思路：過(guò)D點(diǎn)作直線DE平行于Y軸，與直線BC相交于E點(diǎn)，根據(jù)直線BC的解析式可以用變量表示E點(diǎn)的坐標(biāo)，D點(diǎn)的坐標(biāo)也可以對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)的變量進(jìn)行表示：

線段DE=YD-YE，用E點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以表示為DE=-2X2+4X+11/4，再將直線方程與拋物線解析式聯(lián)立進(jìn)行求解，可以得出其相交的兩點(diǎn)BC的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC之間的距離，線段DE的長(zhǎng)度可以求出，即三角形BCD的面積可以分割為三角形CDE和三角形BEN的面積之和。

變式3：已知拋物線的解析式為Y=-2X2+3X+2與直線方程為Y=-X+3/4相交于B、C兩點(diǎn)，D是平拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在B、C兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)且不與B、C兩點(diǎn)重合，問(wèn)當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形BCD的面積是最大的？并求出此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)和三角形BCD的最大面積。

問(wèn)題引導(dǎo)：變式3與變式2之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？不同點(diǎn)有哪些？能夠用相同的解題思路進(jìn)行解題嗎？

解題分析：隨著D點(diǎn)的移動(dòng)，三角形BCD的圖形也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，如下圖所示：

過(guò)D點(diǎn)做平行于Y軸的平行線DF，與直線方程相交于F點(diǎn)，可以根據(jù)F點(diǎn)是直線方程上的點(diǎn)，用變量表示F點(diǎn)的坐標(biāo)，DF是平行于Y軸的，可以對(duì)應(yīng)的用變量表示出D點(diǎn)的坐標(biāo)。

三、教學(xué)反思

教師在對(duì)每一章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行課堂教學(xué)后可以適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行一些課堂總結(jié)或者小型測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)所學(xué)章節(jié)內(nèi)容的掌握程度。教師也需要對(duì)自己教學(xué)思路進(jìn)行反思，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，進(jìn)行循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，適當(dāng)?shù)膶?shù)學(xué)函數(shù)的應(yīng)用題與實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題的建模能力。

結(jié)論

初中二次函數(shù)三角形面積求解問(wèn)題，教師首先應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，通過(guò)二維直角坐標(biāo)系中的斜三角形的面積求解問(wèn)題進(jìn)行二次函數(shù)三角形面積求解問(wèn)題的引入。在具體的解題中，教師應(yīng)該引入不同的解題思路和解題方法，逐漸培養(yǎng)學(xué)生能夠進(jìn)行一題多解的思維能力。教師可以從二次函數(shù)上定點(diǎn)三角形面積問(wèn)題的求解開(kāi)始，逐漸演變?yōu)樵诙魏瘮?shù)上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題所在三角形最大面積問(wèn)題的求解。這需要教師將直線方程與二次函數(shù)的相交點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行充分的應(yīng)用，相關(guān)變量表示D的橫坐標(biāo)進(jìn)而用拋物線解析式表示縱坐標(biāo)，三角形的面積問(wèn)題最終就換成二次函數(shù)最值的求解問(wèn)題，即幾何問(wèn)題最值問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)變成代數(shù)最值問(wèn)題的求解，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。

參考文獻(xiàn)：

第4篇：初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文

動(dòng)態(tài)問(wèn)題變化形式多樣，綜合性強(qiáng)，教學(xué)中教師應(yīng)抓住數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，揭示變量與變量，變量與不變量之間的關(guān)系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]

動(dòng)態(tài)問(wèn)題;數(shù)形結(jié)合;分類討論

動(dòng)態(tài)問(wèn)題是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的部分，其變化形式多樣，根據(jù)不同的變化情況可歸納為動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、動(dòng)形三種類型。它的綜合性強(qiáng)，是對(duì)學(xué)生的綜合能力、思維能力、創(chuàng)新能力的綜合考查，在考試中常以壓軸題的形式出現(xiàn)。因?yàn)檫@類問(wèn)題思維跨度大，而且還需要有動(dòng)與靜的辯證思考等等，學(xué)生覺(jué)得難度大。因此要讓學(xué)生掌握，就應(yīng)教給學(xué)生解決問(wèn)題的思想方法，采用“動(dòng)靜結(jié)合，以靜制動(dòng)”等思維方法，揭示變量與變量，變量與不變量之間的關(guān)系，揭示動(dòng)態(tài)問(wèn)題背后蘊(yùn)含著核心的數(shù)學(xué)思想――數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，從而達(dá)到掌握解題思路及探究方法。

一、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

（一）動(dòng)點(diǎn)形成函數(shù)問(wèn)題

例1.如圖，點(diǎn)P是ABCD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿ADCB的路徑移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為x，BAP的面積是y，則下列能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）。

分析：分三段來(lái)考慮點(diǎn)P沿AD運(yùn)動(dòng)，BAP的面積逐漸變大;點(diǎn)P沿DC移動(dòng)，BAP的面積不變;點(diǎn)P沿CB的路徑移動(dòng)，BAP的面積逐漸減小，據(jù)此選擇即可。

本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，注意分段考慮。解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用畫圖，結(jié)合分類討論思想，將問(wèn)題分解成幾個(gè)“靜態(tài)”問(wèn)題，由“動(dòng)”轉(zhuǎn)化為“靜”求解。

（二）動(dòng)點(diǎn)形成最值問(wèn)題

例2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3m）（其中m>0），頂點(diǎn)為D。

（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）;

（2）如圖，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)APC的面積為S，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值;

（3）分析：①利用交點(diǎn)式求出拋物線的解析式;

②先求出S的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值;

本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)。第（2）問(wèn)重點(diǎn)考查了圖形面積的計(jì)算方法;運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)及方程思想是解題的關(guān)鍵。

（三）動(dòng)點(diǎn)形成的存在性問(wèn)題

例3.如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C。若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：①將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=x2+bx+c中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式及C坐標(biāo)。

②等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ。借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設(shè)邊長(zhǎng)為x，表示其他邊后，利用勾股定理易得E坐標(biāo)。

本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵。

二、動(dòng)線問(wèn)題

例4.如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）。

（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形;

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所形成的PEF的面積存在最大值，當(dāng)PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng);

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：①如圖1所示，可證明AE=ED=DF=FA;

②如圖2所示，首先求出PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解;

③如圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解，其中第一種情況不存在。

本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線兩種運(yùn)動(dòng)類型。第（1）問(wèn)考查了菱形的判別方法;第（2）問(wèn)考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值;第（3）問(wèn)考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想。

三、動(dòng)形問(wèn)題

抓住變量與不變量，探索平移、旋轉(zhuǎn)和翻折等幾何圖形變換的解決方法。

（一）幾何圖形的平移變換

例5.如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.沿斜邊AB邊上的中線CD把這張紙片剪成AC1D1和BC2D2兩個(gè)三角形.將紙片AC1D1沿直線D2B（AB）方向平移（點(diǎn)A、D1、D2、B始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)D1與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移。在平移過(guò)程中，C1D1與BC2交于點(diǎn)E，AC1與C2D2、BC2分別交于點(diǎn)F、P。

（1）當(dāng)AC1D1平移到如圖2所示的位置時(shí)，猜想圖中的D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

（2）設(shè)平移距離D2D1為x，AC1D1與BC2D2重疊部分面積為y，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍;

（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的x的值，使重疊部分面積y等于原三角形ABC的面積的[14]，若存在，請(qǐng)求出x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

抓住此圖形在平移過(guò)程中的角的不變量，線段的不變量，用變量x表示D1E、BD1、D2F的長(zhǎng)，利用相似三角形、方程思想和以靜制動(dòng)的思維方法是解題的關(guān)鍵。

（二）幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換

例6.將一副三角尺（在RtABC中，∠ACB=90°，∠B=60°;在RtDEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。

（1）求∠ADE的度數(shù);

（2）如圖②，將DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0°

分析：①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=[12]AB，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠BDC=∠B=60°，再求出∠ADC=120°，再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計(jì)算即可得解;

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得∠PDM=∠CDN，再根據(jù)然后求出BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CPD=60°，從而得到∠CPD=∠BCD，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出DPM和DCN相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得[PMCN=PDCD]為定值。

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)。解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與以靜制動(dòng)的思維方法的應(yīng)用。

（三）幾何圖形的翻折變換

例7.矩形紙片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是邊BC上的點(diǎn)，以AE為折痕折疊紙片，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，當(dāng)EFC為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為_(kāi)_________。

分析：①如圖1，當(dāng)∠EFC=90°時(shí)，且點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，利用勾股定理列式求出AC，設(shè)BE=x，表示出CE=8-x，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AF=AB=6，EF=BE=x，然后在RtCEF中，利用勾股定理列出方程求解可得BE=3;②如圖2，當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，且點(diǎn)F在AD上，判斷出四邊形ABEF是正方形，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BE=AB=6。

本題考查了翻折變化的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，此類題目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本題難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀。

在數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用中，常常遇到關(guān)于圖形變換問(wèn)題的求解，就其變化方式而言，主要由點(diǎn)、線、面的變換而得出的問(wèn)題求解。在解決問(wèn)題的思維方式，即找出變與不變的關(guān)系，由動(dòng)到靜，由靜想到動(dòng)。此類問(wèn)題的應(yīng)用廣泛，舉不勝舉。在學(xué)習(xí)和教學(xué)中要善于歸納小結(jié)，解決問(wèn)題的思路，萬(wàn)變不離其宗，當(dāng)然因其解題過(guò)程滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程思想、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法，因此，教師的教學(xué)應(yīng)注重歸納，達(dá)到事半功倍的效果，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]周冬琴.“圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題”教學(xué)中難點(diǎn)的分析與突破[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（12）.

第5篇：初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文

一、“新知”與“舊知”的轉(zhuǎn)化

新知識(shí)的獲得，離不開(kāi)原有認(rèn)知基礎(chǔ). 很多新知識(shí)都是學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的. 因此，對(duì)于學(xué)生來(lái)講，學(xué)會(huì)怎樣在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握新知識(shí)的方法是非常必要的.

例如，在學(xué)次根式時(shí)，可向?qū)W生提出：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根和算術(shù)平方根，那么你能根據(jù)已學(xué)的知識(shí)完成今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容“二次根式 ”嗎？這樣簡(jiǎn)單、明了的一句話就勾通了新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系. 問(wèn)題的提出，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使了學(xué)生思維的展開(kāi)，提供了回答問(wèn)題的機(jī)會(huì)，創(chuàng)造了活躍的教學(xué)氣氛，學(xué)生會(huì)迅速而準(zhǔn)確地回答出二次根式的定義.

二、圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)化

圖形變換的目的就是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化笨為巧，尋找解題捷徑，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想來(lái)開(kāi)拓你的解題思路. 轉(zhuǎn)化有轉(zhuǎn)化條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題、轉(zhuǎn)化方法，等等. 例如運(yùn)用“等積替代圖形”：

例 如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2 cm，∠A = 60°. 以點(diǎn)A為圓心、AB長(zhǎng)為半徑的弧， 以點(diǎn)B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑的弧. 則陰影部分的面積為 cm2.

分析 連接BD，由菱形的性質(zhì)知AB = BC = CD = AD，又因?yàn)椤螦 = 60°，所以三角形ABD和三角形BCD都是等邊三角形，故陰影部分的面積等于三角形BCD的面積.

三、生活中的實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，也服務(wù)于生活. 用貼近學(xué)生生活的實(shí)際問(wèn)題為背景，構(gòu)建函數(shù)類的試題，利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的考法是歷年中考的熱點(diǎn)之一，也是十分常見(jiàn)的，解決實(shí)際問(wèn)題的思考方法.

例 某商場(chǎng)以每件42元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種服裝，由試銷知道，每天的銷售量t（件）與每件的銷售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系為t = -3x + 204.

（1）寫出商場(chǎng)每天銷售這種服裝的毛利潤(rùn)y（元）與每件的銷售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式（每件服裝的毛利潤(rùn)是指每件服裝的銷售價(jià)與進(jìn)貨價(jià)的差）.

（2）商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售毛利潤(rùn)，每件的銷售價(jià)應(yīng)定為多少？最大銷售毛利潤(rùn)為多少？

分析 （1）因?yàn)殇N售量t = -3x + 204， 每件的銷售價(jià)為x（元/件），進(jìn)價(jià)為每件42元，所以這種服裝的毛利潤(rùn)y（元）與每件的銷售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) = t × （x - 42） = （-3x + 204） × （x - 42）

（2）y = （-3x + 204） × （x - 42）是二次函數(shù)，求每天獲得最大銷售毛利潤(rùn)，實(shí)質(zhì)是求二次函數(shù)的最大值，可以把二次函數(shù)的關(guān)系式化為頂點(diǎn)式求解，也可以用二次函數(shù)的最值公式求解.

四、動(dòng)態(tài)問(wèn)題與靜態(tài)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

動(dòng)態(tài)問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中占有重要位置，滲透運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題.這類題靈活性強(qiáng)，能力要求高，它能全面地考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 解這類題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問(wèn)題變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題來(lái)解.

例 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，DC = 5，BC = 10，梯形的高為4.動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.

（1）當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值；

（2）試探究：t為何值時(shí)，MNC為等腰三角形.

第6篇：初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文

【關(guān)鍵詞】 動(dòng)態(tài)型問(wèn)題；三重生態(tài)觀；教學(xué)探究

所謂“三重生態(tài)”即自然生態(tài)、類生態(tài)和內(nèi)生態(tài). 其中， 自然生態(tài)是人生命的物質(zhì)滋養(yǎng)， 類生態(tài)是人生命的社會(huì)依托， 內(nèi)生態(tài)是人生命安頓的心靈居所. 中央教科所劉驚鐸教授認(rèn)為：每一個(gè)生命個(gè)體都處于自然生態(tài)、類生態(tài)和內(nèi)生態(tài)三重生態(tài)關(guān)系之中. 其實(shí)，課堂也是三重生態(tài)關(guān)系圓融互攝的生態(tài)場(chǎng)，自然生態(tài)和類生態(tài)始終對(duì)內(nèi)生態(tài)產(chǎn)生直接或間接的影響和感染，最后通過(guò)內(nèi)生態(tài)的體驗(yàn)使三重生態(tài)得以融通.

以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)探索幾何圖形部分規(guī)律的問(wèn)題稱之為動(dòng)態(tài)型問(wèn)題，其特點(diǎn)是圖形中的某個(gè)元素（點(diǎn)、線段、角等）或整個(gè)幾何圖形按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)，圖形的各個(gè)元素在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中互相依存、和諧統(tǒng)一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”及由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般的辯證思想，它集代數(shù)與幾何、概率統(tǒng)計(jì)等眾多知識(shí)于一體，滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程等重要數(shù)學(xué)思想方法，問(wèn)題具有開(kāi)放性、綜合性. 這類題目蘊(yùn)含著“變”與“不變”、“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“一般”與“特殊”的辯證思想，由于形式多樣，立意新穎，符合新課程的要求，歷來(lái)都是中考復(fù)習(xí)中的難點(diǎn)， 對(duì)此類問(wèn)題的研究有利于我們教師在教學(xué)中把握方向、研究對(duì)策. 這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向. 下面本人將從三重生態(tài)觀的視角對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行研究、分析，并給出解決此類問(wèn)題的一般思路.

1. 動(dòng)態(tài)型數(shù)學(xué)問(wèn)題課堂教學(xué)中生態(tài)因子分析

如果把整個(gè)動(dòng)態(tài)型問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程看作一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)的話，自然生態(tài)的主要因子可以看成師生課堂學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)的物質(zhì)環(huán)境和課堂空間. 類生態(tài)的主要因子可以看成是教師與學(xué)生以及由此而呈現(xiàn)出來(lái)的師與生、生與生等共同遵循的課堂活動(dòng)方式，課堂雙邊活動(dòng)的制度等. 內(nèi)生態(tài)的主要因子則是師生內(nèi)心世界的感受和領(lǐng)悟. 具體來(lái)說(shuō)，課堂教學(xué)的環(huán)境與內(nèi)容可以看成是自然生態(tài)因子，課堂教學(xué)的組織形式、教學(xué)方法等可以看成是類生態(tài)因子，而師生在課堂教學(xué)中的體驗(yàn)、感悟則可以看成是內(nèi)生態(tài)因子.

2. 動(dòng)態(tài)型數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)生思維障礙分析

從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，學(xué)生很怕這種動(dòng)態(tài)型問(wèn)題，考試中得分率也比較偏低，一方面固然是題目自身的難度較大，另一方面來(lái)講，其實(shí)是課堂教學(xué)中三重生態(tài)關(guān)系未能產(chǎn)生該有的化學(xué)反應(yīng)，主要表現(xiàn)為以下幾種形式：

2.1 自然生態(tài)因子的不和諧

動(dòng)態(tài)型問(wèn)題需要描述基本元素運(yùn)動(dòng)、變化的過(guò)程，這種文字的描述需要在學(xué)生頭腦中建立一種“圖景”體驗(yàn)，例如：蘇州市2004中考數(shù)學(xué)卷第29題的題干描述：

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（3，0），（3，4）. 動(dòng)點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng). 其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng). 過(guò)點(diǎn)N作NPAC，交AC于P，連接MP. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.

這里“動(dòng)點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)”，這段文字語(yǔ)言學(xué)生必須將其轉(zhuǎn)化為頭腦中建立的一種“圖景”體驗(yàn)，即點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑轉(zhuǎn)化為“路程 = 速度 × 時(shí)間”這一數(shù)量關(guān)系，一旦這種“體驗(yàn)”不能建立，學(xué)生往往會(huì)對(duì)此類問(wèn)題無(wú)從下筆.

2.2 類生態(tài)因子的不和諧

在動(dòng)態(tài)型問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)， 有些教師的教學(xué)更注重于單一問(wèn)題的解決，缺乏對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行高屋建瓴的引領(lǐng)，缺乏對(duì)問(wèn)題理性的思考. 這就造成了部分學(xué)生喜歡按照某種習(xí)慣思路考慮問(wèn)題，當(dāng)學(xué)生熟悉它的常見(jiàn)功能以后，往往會(huì)形成思維定式，從而對(duì)于在新條件下轉(zhuǎn)化它的功能會(huì)感到困難，尤其是對(duì)一些“舊瓶裝新酒”問(wèn)題，學(xué)生往往會(huì)根據(jù)以往學(xué)習(xí)的例題和作業(yè)所獲得的“套路”去走，而對(duì)形成“套路”的基本原理不去探究. 造成這種現(xiàn)象的原因主要在于類生態(tài)因子的不和諧，即課堂教學(xué)中學(xué)生未能體驗(yàn)這種點(diǎn)或線的運(yùn)動(dòng)對(duì)圖形和圖形中的數(shù)量關(guān)系產(chǎn)生的影響，只能按造他們所熟悉的某種習(xí)慣思路考慮問(wèn)題.

2.3 內(nèi)生態(tài)因子的不和諧

初中學(xué)生在解決動(dòng)態(tài)型問(wèn)題的過(guò)程中往往表現(xiàn)出兩大思維能力的缺失：數(shù)形結(jié)合和分類討論. 學(xué)生這種內(nèi)生態(tài)因子的缺失往往導(dǎo)致學(xué)生要么在尋找相似、等腰或符合條件的特殊點(diǎn)的過(guò)程中出現(xiàn)漏解的結(jié)果，要么無(wú)法根據(jù)圖形找出“臨界點(diǎn)”進(jìn)行分類討論造成錯(cuò)解. 這種內(nèi)生態(tài)因子的不和諧也是中考中學(xué)生失分的主要原因.

3. 問(wèn)題解決

從三重生態(tài)觀的課堂追求來(lái)看，就是要圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容，盡可能地使自然生態(tài)、類生態(tài)和內(nèi)生態(tài)三者都能有一個(gè)最佳的發(fā)揮. 但只有三重生態(tài)各自的最佳發(fā)揮還是不夠的. 生態(tài)課堂更看重的是三重生態(tài)之間的最佳組合與有機(jī)滲透，強(qiáng)調(diào)三者之間的高境界的圓融互攝，進(jìn)而創(chuàng)設(shè)最為理想的課堂學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)的生態(tài)場(chǎng). 那么，在動(dòng)態(tài)型問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中如何實(shí)現(xiàn)三重生態(tài)的完美融合呢？我認(rèn)為需要做好以下幾點(diǎn)：

3.1 正確理題干文本和圖形，融合自然生態(tài)

二次課改以來(lái)，中考卷上的動(dòng)態(tài)型問(wèn)題呈現(xiàn)題型繁多、題意創(chuàng)新的特點(diǎn)，題目更加注重考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等. 雖然題型眾多，但并非無(wú)跡可尋，動(dòng)態(tài)型問(wèn)題基本可以歸納為以下兩大類型：

① 未引入變量型：此類問(wèn)題多為純幾何問(wèn)題，其運(yùn)動(dòng)形式基本表現(xiàn)為點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)或者面（形）動(dòng)，重點(diǎn)考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形等. 解此類問(wèn)題的方法相對(duì)比較固定，解決方法主要是相似和全等.

② 引入變量型：此類問(wèn)題多為綜合題，題目往往以變量為載體，集幾何、函數(shù)、開(kāi)放、最值等問(wèn)題于一身，題目難度相對(duì)較大，多為壓軸題.

對(duì)題目文本和圖形等自然生態(tài)因子的解讀是學(xué)生解決動(dòng)態(tài)型問(wèn)題的首要條件. 所以我們需要引導(dǎo)學(xué)生正確理解題目所給出的條件，要從運(yùn)動(dòng)中找出其規(guī)律性的東西，首先要解讀出哪些圖形元素在動(dòng)，其次要解讀出圖形中哪些特殊點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，最后將其歸結(jié)為某一點(diǎn)在運(yùn)動(dòng).

如蘇州市2012中考數(shù)學(xué)卷第28題：

如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1 cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開(kāi)始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，在移動(dòng)過(guò)程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過(guò)點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1 cm，矩形EFGH的邊長(zhǎng)FG，GH的長(zhǎng)分別為4 cm，3 cm.設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s），線段GP的長(zhǎng)為y（cm），其中0 ≤ x ≤ 2.5.

（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)y = 3時(shí)相應(yīng)x 的值；

（2）記DGP的面積為S1，CDG的面積為S2，試說(shuō)明S1 - S2是常數(shù)；

（3）當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長(zhǎng).

本題首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從題意中解讀出運(yùn)動(dòng)的是正方形ABCD，其次引導(dǎo)學(xué)生從圖形中解讀出運(yùn)動(dòng)的其實(shí)可以歸結(jié)為四個(gè)點(diǎn)，即點(diǎn)A，B，C，D，最后要引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)其實(shí)運(yùn)動(dòng)可以歸結(jié)為一個(gè)點(diǎn)，即點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng). 從而發(fā)現(xiàn)只要證出兩個(gè)三角形相似就能解決問(wèn)題了.

3.2 創(chuàng)新課堂教學(xué)模式，注重類生態(tài)

有一次初三一模考試，考試前碰巧我很詳細(xì)地給學(xué)生講了一道動(dòng)態(tài)型問(wèn)題，這道題剛好考到了，但結(jié)果卻令我大失所望，全班能把這個(gè)問(wèn)題完整解決的僅有兩名同學(xué). 這樣的經(jīng)歷可能很多數(shù)學(xué)老師都有過(guò)，為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？通過(guò)和學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)我們?cè)谡n堂教學(xué)中缺乏對(duì)類生態(tài)因子的關(guān)注. 學(xué)生要將老師對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解內(nèi)化為自己的理解需要足夠的體驗(yàn)與交流，否則就容易產(chǎn)生相異構(gòu)想，出現(xiàn)所謂“一聽(tīng)就懂”但“一做就錯(cuò)”的狀態(tài). 那么課堂中具體該怎么做呢？

首先，課堂中老師要努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)體驗(yàn)的“圖景”，對(duì)于學(xué)生而言動(dòng)態(tài)型問(wèn)題既“美麗”但又“冰冷”，因?yàn)檫@種運(yùn)動(dòng)對(duì)學(xué)生而言太過(guò)抽象，缺乏必要的體驗(yàn). 數(shù)學(xué)教師應(yīng)在自然、合理的教學(xué)情境中引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地思維，讓學(xué)生的思維在課堂上翩翩起舞，把數(shù)學(xué)冰冷的美麗變成火熱的思考. “動(dòng)態(tài)型”問(wèn)題之所以“抽象”，是因?yàn)椤翱床坏健边@種實(shí)實(shí)在在的運(yùn)動(dòng). 因此，在動(dòng)態(tài)型問(wèn)題的教學(xué)中引入信息技術(shù)是非常必要的，例如幾何畫板，可以讓學(xué)生在圖形的運(yùn)動(dòng)中去理清題意、體驗(yàn)“圖景”、解決問(wèn)題. 更為出色的是電子白板，可以讓學(xué)生自己去拖動(dòng)“點(diǎn)”進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，這種“圖景”體驗(yàn)比老師的說(shuō)教要深刻得多.

其次，老師必須改變自己的行走方式. 教師的理念決定著教學(xué)的高度，在課堂教學(xué)中，老師扮演的不僅是課堂教學(xué)的組織者、引領(lǐng)者的角色，而且是“整體活動(dòng)進(jìn)程的調(diào)節(jié)者和局部障礙的排除者”的角色. 教師在對(duì)話中要能以伙伴式的態(tài)度真誠(chéng)、平等地面對(duì)學(xué)生徹底改變傳統(tǒng)課堂上師生之間審視與拷問(wèn)的狀態(tài)， 在學(xué)習(xí)中起到引導(dǎo)、幫扶學(xué)生的作用.

第三，老師必須改變師生交流、生生交流的方式. 變“線流”為“網(wǎng)絡(luò)模塊化交流”，變“一問(wèn)一答”為“多位互動(dòng)”，主要表現(xiàn)為交流渠道自由暢通，師生之間、生生之間實(shí)現(xiàn)無(wú)障礙溝通；交流形式的多層次，自我交流、合作交流、小組交流等隨著學(xué)習(xí)任務(wù)的展開(kāi)而自覺(jué)生成.

3.3 注重課堂提升，激發(fā)內(nèi)生態(tài)

一名學(xué)生在課堂上沒(méi)有享受過(guò)高峰體驗(yàn)，他就不太可能有求知的渴望. 許多學(xué)生之所以討厭“動(dòng)態(tài)型”問(wèn)題，一個(gè)重要原因，就是這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)歷沒(méi)有讓他產(chǎn)生過(guò)高峰體驗(yàn). 數(shù)學(xué)課堂上的高峰體驗(yàn)是什么？是用獨(dú)一無(wú)二的方式真切地體會(huì)到數(shù)學(xué)的作用，是震撼地感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值，是思考的幸福和快樂(lè)，是冥思苦想的苦悶和痛苦，更是豁然開(kāi)朗的震撼和興奮.

例如，2011年蘇州中考數(shù)學(xué)卷第29題：

如圖，已知AB是O的弦，OB = 2，∠B = 30°，C是弦AB上的任意一點(diǎn) （不與點(diǎn)A，B重合），連接CO并延長(zhǎng)CO交O于點(diǎn)D，連接AD.

（1）弦長(zhǎng)AB等于 （結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）當(dāng)∠D = 20°時(shí)，求∠BOD的度數(shù)；

（3）當(dāng)AC的長(zhǎng)度為多少時(shí)，以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)寫出解答過(guò)程.

學(xué)生在遇到第（3）小題相似的問(wèn)題時(shí)很是煩惱，該怎樣分類討論呢？老師應(yīng)該告訴他：相似要么從邊對(duì)應(yīng)成比例考慮，要么從角相等考慮，然后讓學(xué)生在合作交流中去體驗(yàn)“角相等”要比“邊對(duì)應(yīng)”更容易找，最后從角的討論中去發(fā)現(xiàn)∠ACD是OCB的外角，因此，能與∠ACD相等的只能是∠OCB. 這種豁然開(kāi)朗的震撼和興奮給學(xué)生帶去的絕不僅僅是解決這個(gè)問(wèn)題的喜悅這么簡(jiǎn)單.

教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵一定是要能打開(kāi)學(xué)生的“心門”，學(xué)生的這種力量一旦激發(fā)出來(lái)，其能量遠(yuǎn)比我們的說(shuō)教大得多. 三重生態(tài)觀是一種全新的理論，而動(dòng)態(tài)型問(wèn)題是常考常新的熱點(diǎn)，也許，用全新的理論去思考與實(shí)踐當(dāng)前教學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題可能還有許多不太成熟的地方，但是我能在教學(xué)過(guò)程中體驗(yàn)著學(xué)生思維的碰撞和生命的成長(zhǎng)，對(duì)我來(lái)說(shuō)也是一種難得的心理體驗(yàn)和生命成長(zhǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]姚亞萍，劉驚鐸.體驗(yàn)式道德學(xué)習(xí)學(xué)術(shù)研討會(huì)述要[J].教育研究，2005（12）.

[2]周海東. 三重生態(tài)觀下初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生態(tài)的研究[D].蘇州大學(xué)，2011.

[3]吳兆明. 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題解析 [J].2007（6）.

第7篇：初中數(shù)學(xué)求動(dòng)點(diǎn)最值的方法范文

[關(guān)鍵詞] 新課程標(biāo)準(zhǔn)；多角度理解教材；創(chuàng)造性用活教材；創(chuàng)造能力

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的基本載體，教學(xué)中如何挖掘、開(kāi)發(fā)教學(xué)資源，使教材的內(nèi)涵更有廣度和深度，如何創(chuàng)造性使用教材，讓教材在促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的過(guò)程中更好地發(fā)揮作用，這些是新課程理念下對(duì)數(shù)學(xué)教師的要求. 下面結(jié)合一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)勅绾蝿?chuàng)造性地“活用”數(shù)學(xué)教材.

■ 創(chuàng)造性利用教材，促進(jìn)知識(shí)的

形成

教師應(yīng)深入鉆研教材，挖掘教材的隱性內(nèi)容，從而使教材變?yōu)閷W(xué)材，教師教有新意，學(xué)生學(xué)有創(chuàng)意. 教材中對(duì)一些抽象概念、定理、法則等教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)，平鋪直敘，學(xué)生難以理解、掌握，教學(xué)中教師若能在抽象與具體中建立聯(lián)系，尋找共同點(diǎn)，創(chuàng)造性地利用教材，創(chuàng)設(shè)直觀的實(shí)際問(wèn)題或情境讓學(xué)生體會(huì)并自主建構(gòu)知識(shí)，定能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性.

在學(xué)習(xí)“合并同類項(xiàng)”時(shí)，課本中設(shè)計(jì)了如下三道題：

（1）100t-252t=（ ？搖）t；？搖？搖

（2）3x2+2x2=（ ？搖）x2；

（3）3ab2-4ab2=（ ？搖）ab2.

通過(guò)計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)上述運(yùn)算有什么特點(diǎn) ？能得出什么規(guī)律 ？教材通過(guò)這樣的方式引導(dǎo)學(xué)生獲取合并同類項(xiàng)的規(guī)律，學(xué)生普遍覺(jué)得抽象，不易理解，為了改抽象為直觀，我轉(zhuǎn)變教學(xué)設(shè)計(jì)，從直觀的圖形、符號(hào)和現(xiàn)實(shí)中的單位運(yùn)算，設(shè)計(jì)了如下三道題代替課本中的設(shè)計(jì)：

（1）3+2=（ ？搖）；

（2）5+2-9=（ ？搖）；

（3）1克+6克-5克=（ ？搖）克.

有了生活中這些經(jīng)驗(yàn)的直觀思維類比后，最后再拋出3a2b2-8a2b2=（ ？搖）a2b2，這樣，學(xué)生極易歸納出合并同類項(xiàng)的法則，明白合并同類項(xiàng)的條件. 通過(guò)運(yùn)用直觀的符號(hào)、表達(dá)式、圖表，促進(jìn)了概念、法則、性質(zhì)等的形成，不僅“活用”了教材，也喚起了學(xué)生的感知，進(jìn)而提高了抽象思維能力. 可見(jiàn)，通過(guò)不確定的典型實(shí)例來(lái)提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感知，能大大提高知識(shí)形成的能力和問(wèn)題解決的能力，對(duì)教學(xué)效果能起到高效的作用.

■ 創(chuàng)造性利用教材，促進(jìn)數(shù)學(xué)思

維、方法的形成

深入鉆研教材，才能多角度地分析教材. 在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)教材中設(shè)置的定理證明、概念形成，教師若能從多角度再現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新能力，還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)思想方法的形成. 在多邊形內(nèi)角和定理的證明中，教材從多邊形的一頂點(diǎn)引對(duì)角線入手，通過(guò)列舉，探究、發(fā)現(xiàn)形成三角形的個(gè)數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行探究.

證法1 （圖1）連結(jié)多邊形的任一頂點(diǎn)P與其他各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n-2）個(gè)三角形. 因?yàn)檫@（n-2）個(gè)三角形的內(nèi)角和都等于180°，所以n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°.

還有其他證法嗎？我接著引導(dǎo)學(xué)生思考能否把三角形的公共頂點(diǎn)平移到其他位置加以解決. 經(jīng)過(guò)小組討論交流和多媒體動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)，還可將公共頂點(diǎn)移到多邊形內(nèi)或一邊上，因此，還有如下證法：

證法2 （圖2）在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)P，連結(jié)P與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形. 因?yàn)檫@n個(gè)三角形的內(nèi)角和等于n?180°，以P為公共頂點(diǎn)的n個(gè)角的和是360°，所以n邊形的內(nèi)角和是n?180°-2×180°=（n-2）?180°，即n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°.

證法3 （圖3）在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)P，連結(jié)P點(diǎn)與其他各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n-1）個(gè)三角形，這（n-1）個(gè)三角形的內(nèi)角和等于（n-1）?180°，以P為公共頂點(diǎn)的（n-1）個(gè)角的和是180°，所以n邊形的內(nèi)角和是（n-1）?180°-180°=（n-2）?180°.

上述通過(guò)從一知識(shí)多角度的探究中培養(yǎng)學(xué)生形成求新、求思、求異的發(fā)散性及創(chuàng)造性思維能力.

■ 多角度理解教材，反思拓展

為更好地符合學(xué)生認(rèn)知需要，培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力，對(duì)教材呈現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思，反思能否拓展知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用橫向聯(lián)系，反思能否對(duì)知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)方法進(jìn)行縱向深入探究. 把教材所蘊(yùn)涵的知識(shí)點(diǎn)遷移、擴(kuò)展到系統(tǒng)知識(shí)面，通過(guò)不斷的反思拓展、聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的知識(shí)系統(tǒng)性.

比如，對(duì)于反比例的概念：如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示成y=■（k≠0）的形式，那么y是x的反比例函數(shù).其等價(jià)的表達(dá)式有y=kx-1（k≠0），xy=k（k≠0）.

應(yīng)用 點(diǎn)（1，6）在雙曲線y=■（k≠0）上，則k=______. 已知反比例函數(shù)y=-■的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，a），則a=______. 教學(xué)中利用反比例函數(shù)解析式，在已知兩量下可求x，y，k中的第三量.為更深層次應(yīng)用反比例函數(shù)解析式，在概念課后，我進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反思.

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反思1 如圖4所示，若P（m，n）為反比例函數(shù)y=■（k≠0）圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為R，Q，則矩形ORPQ的面積與比例系數(shù)k有何關(guān)系？

S矩形ORPQ=OQ?OR=m?n=k.

反思2 如圖5所示，設(shè)點(diǎn)P（m，n）是雙曲線y=■（k≠0）上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為B，則SOPB=■?OB?PB=■m?n=■k.

反思3 反比例函數(shù)y=■（k≠0）的圖象如圖6所示，點(diǎn)M是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，如果SMON=2，求k的值.

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反思4 如圖7所示，A，B是函數(shù)y=■圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)為A（a，b），B（-a，-b），且BC∥x 軸，ABC的面積記為S，則S=______.

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學(xué)生有了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，對(duì)反比例函數(shù)的應(yīng)用就容易多了.

通過(guò)對(duì)教材知識(shí)點(diǎn)的反思、拓展，促使學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維起到整體貫通、提升的作用.

■ 創(chuàng)造性發(fā)展教材，變式延伸

變式教學(xué)能為學(xué)生提供求異、求變、求思的空間，讓學(xué)生把學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到各種情況中去. 對(duì)教材中的例、習(xí)題進(jìn)行變式并創(chuàng)造性地利用它們，能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、探究，能培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的能力.

例題 要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水（如圖8所示）. 修在河邊什么地方，可使所用水管最短？試在圖中確定水泵站的位置，并說(shuō)明你的理由.

此題即在直線 l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小. （實(shí)際上是通過(guò)軸對(duì)稱變換，把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”加以解決.）

教學(xué)中，我以此例題為原認(rèn)知，進(jìn)行水平變式和垂直變式，進(jìn)而構(gòu)成利用軸對(duì)稱知識(shí)遷移的最值專題.

變式1 如圖9所示，如何在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的和最小？

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變式2 如圖10所示，如何在直線l上找一點(diǎn)P，使PA- PB最大？

以此三題作圖題為基本模式融于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，再進(jìn)行垂直變式遷移.

變式3 如圖11所示，在ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，P為BC邊上一定點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），Q為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP的長(zhǎng)為a（0

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變式4 如圖12所示，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MC，把MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到DAO.

（1）試直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得TO-TB的值最大？