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1數學學習必須體現直觀性原則

1.1數學圖示類的直觀

講授《高等數學》定積分時，一個常用技巧就是化簡具有奇偶性的函數在對稱區間的積分。課本上一道例題給出了化簡法則的代數證明，但是純代數推導過程會讓學生感覺過于抽象，課程也會變得乏味。如果使用直觀的圖形，進行無字證明，就可以讓學生從圖示中直接看到奇函數積分左右抵消的結果。再進一步加強，對稱中心(對稱軸)不在原點(y軸)時，也可以通過平移使用這個性質，常見的情形如:任意正(余)弦函數在每個波峰波谷之間的半個周期上的定積分都是零，而不一定要關于原點對稱。為了讓學生更透徹更直觀地了解知識點，需要具體的例題支撐，接下來給出例1，計算定積分∫π20sin2xdx．解答:利用倍角公式，原題可化為12∫π20(1－cos2x)dx=(12∫π20dx－∫π20cos2xd)x，可以發現積[分區間0，π]2恰好是cos2x從波峰到波谷的半個周期，因此這一部分積分為0，原題最終結果等于12∫π20dx=π4。學生直觀的看到較復雜的函數計算也可以簡化，自然對這個性質印象深刻，應用起來也會得心應手。

1.2實際操作類的直觀

《概率論》的貝葉斯公式一節有一個著名的問題———三門問題。例2在一個電視節目中，有3扇關閉了的門，其中有一扇門的后面獎品是汽車，另外兩扇門后面的獎品則是一只山羊，當然我們都希望拿到汽車，而不愿意把山羊領回家。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，知道內情的節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，故意露出其中一只山羊。請問此時是否應該換另一扇仍然關上的門?這個問題出自于名為Let'sMakeaDeal的美國電視節目，經常出現在網絡論壇上，每次都會引起激烈的爭論，因為雖然該問題的答案在邏輯上并不自相矛盾，但十分違反直覺。和網上的情形一樣，課堂上也出現了兩種完全不同的聲音。如果僅僅通過計算得到結果，似乎做不到讓學生“口服心服”。因此我們可以課堂上現場操作這樣一個具體案例，讓學生在操作過程中回歸概率的本質，直觀地看到這個結果，再進一步分析為什么會有這樣的結果，經過這樣一個實際操作的模式，可以讓學生對全概公式以及貝葉斯公式的本質更加清晰，達到了很好的學習效果。此外，此問題的答案與主持人是否知情有關:原題中主持人知情，故意開了一個“羊門”，那么更換后獲獎概率從1/3上升至2/3;如果把條件稍加修改，改為主持人不知情，只是恰好打開一個“羊門”，那么換不換是一樣的，獲獎率都是1/2。這個細節上的差別恰恰就是引起爭論的根源。

1.3現實情境類的直觀

《線性代數》是數學基礎課中抽象程度最高的課程，代數也被H．Weyl喻為“惡魔”。該課程概念繁多且環環相扣，尤其在目前數學課時并不富余的大環境下，借助數學直觀讓學生把這些抽象概念具體化，順利的制服這個“惡魔”，是一個值得探討的話題。矩陣的秩是線性代數中出現的第一個難于理解的概念，初學者在看完定義后的困惑就是“這個概念究竟要干什么?有什么用?”。此時可以給出一個不太嚴格，但是很直觀的解釋———秩就是矩陣包含的信息量!再給出秩為0、1、2的矩陣配合定義加以說明，學生腦中秩的直觀印象就建立起來了。再由此可以深入淺出地介紹其他一些和秩相關的理論。如齊次線性方程組解空間的維數，也可以從直觀的角度加以說明。如果方程組中一個方程都沒有，那么n維空間中隨意一點都滿足方程組，有n個自由度，每添加一個新的方程就相當于限制了一個自由度。但是重要的不是方程的總數，也許100個方程的信息量都是重復的，因此重要的是“新的”方程的總數，也就是矩陣的秩。還有一些常用不等式也能以直觀性原則說明。例如r(AB)≤r(B)，矩陣B所攜帶的信息量就是r(B)，無論對它加以什么樣的線性變換A，也無法增加其信息量，至多只能保持不變，或者減少。同樣r(A+B)≤r(A)+r(B)，矩陣疊加后信息量不會超過原來兩個矩陣的總和，還有可能因信息重復而減少，因而不等式成立。當然直觀解釋并不是萬能的，從上述例子可以看出，為了把概念解釋的更直觀，通常需要喪失一些嚴密性。PhilipJ．Davis和ReubenHersh給出了數學直觀的一些負面性質:直觀是嚴密的對立面;直觀意味著不全面;直觀意味著不考慮問題的細節、不對問題進行分析，意味著全體或統合。筆者認為對于非數學專業的學生來說，這種嚴密性的缺失是可以接受的。

2數學理論應該貼近實際應用

德國數學家高斯曽把數學喻為“科學的女王”，體現了數學理論在其他各學科中的指導作用。我國著名數學家華羅庚也曾說過，“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，無處不用數學。”這是對數學與現實世界關系的精彩描述，在上世紀60年代他本人也親力親為，致力于把數學應用到實際生產生活當中，在當時極差的學術科研環境中促進了科學技術在工農業生產中的應用。公安學和公安技術學作為新成立的一級學科，自然也離不開數學這個重要的科研工具。但是很多學生對數學的應用性不甚了解，總認為數學知識學了沒用，產生這種觀念的原因在于數學應用并不是浮現于表面上，而經常滲透在公安技術的幕后，因此，不能直接看到數學的具體應用。因此教師在授課過程中也有責任給學生揭示數學應用性的重要意義，讓學生了解并能主動運用數學工具進行專業研究。數學課主要集中在前3個學期，學生的知識儲備還不夠豐富，所以很多高深技術的數學應用他們并不理解，為解決這個矛盾，更需要把數學應用和數學直觀結合起來，深入淺出地揭示出隱藏在公安技術背后的數學理念，讓學生看到數學在實際問題尤其是公安問題中的發揮強大作用，讓學生學得有目標有方向有動力。如函數連續性是較為抽象的一節內容，這一節沒什么具體計算，通篇是理論的證明，學生學到這種知識點時經常會有飄渺的感覺，為解決這種問題可引入下面的數學模型問題。例3把椅子放在不平的地面上，通常只有3條腿著地，放不穩，然后只需稍微挪動，一般都可以使4條腿同時著地，這是必然還是偶然?問題的解法這里不再贅述。通過這樣一些實際生活中的例子，讓學生看到連續性理論的作用，讓飄渺在半空的知識落下來腳踏實地，對知識的理解以及運用也會更為熟練。這個例子似乎離公安專業還是較遠，還不足以讓學生深刻了解數學在公安工作中的具體應用。下面結合公安大學的公安專業特色，舉出一些體現公安工作中數學應用的教學案例。

3公安工作中數學應用性的案例教學

案例1層析成像。線性代數源自于線性方程組求解問題，學生在初學時會覺得問題本身過于初等，初中就開始解方程組了為什么現在還要學這個?在線性代數緒論中，筆者引入如下引例，層析成像的基本理論。層析成像的完整理論相當復雜，但其基本思路是通過射線減弱的比例關系，轉化為出線性方程組求解的問題，由此案例可以體現出線性方程組深刻的應用內涵。當然其中還涉及模型的具體構建，以及矛盾方程組修正的問題，這與課程主題關系較遠，可不做說明。案例2PageRank原理。在數學課中，線性代數是比較抽象的，因此格外需要以應用性輔助教學，讓學生明白抽象的理論如何運用到具體案例中。比如《矩陣的特征值特征向量》一章中，我們可以將例題用數據庫搜索的模式給出。PageRank是Google創始人拉里•佩奇和謝爾蓋•布林于1997年開發出的一套用于網頁評級的系統。它區別于早期的網頁評價系統的基本思想在于不僅考慮網頁的入鏈個數，還要考慮相關網頁的質量因素。設共有n個網頁，它們之間有一些互相鏈接，開始我們認為它們具有相同的權重，基于下面兩條基本假設，讓這些網頁之間重新分配權重，數量假設:某網頁被其他網頁指向的入鏈個數越多，則這個網頁越重要。質量假設:重要的網頁所指向的網頁也會變得重要，也就是重要網頁通過鏈接傳遞給目標網頁更大的權重。開始我們可以假設所有的網頁權重都是1，即權重向量為x=(1，1，…，1)T，設Google矩陣為A，以矩陣乘法重新分配網頁權重，經過多次迭代最終達到穩定值，可用y=limn→∞Anx表示。求穩定向量y就相當于求Ay=y的解，這樣的y就是矩陣A的特征向量。很多數學模型題目也都大量運用線性代數的基本理論，例如2013年全國大學生數學建模競賽題目B———碎紙片的拼接復原(原題略)就是線性代數以及線性規劃的理論的典型應用。雖然課上不能展開細講，但是作為案例給學生簡單進行介紹，可以讓學生初步了解到數學并不是虛無飄渺的純理論科學，它可以和實際問題緊密結合，以數學模型為工具，用理論方法也可以解決現實問題，通過這樣的教學模式，也讓學生的學習熱情以及學習動力大大提升。還有很多實際的刑偵案例也和數學以及數學模型有千絲萬縷的聯系。案例3Howland遺囑案。這是19世紀美國最著名的偽造案之一，是由Peirce父子兩位數學家的關鍵證詞而被定案的。案情主要情況如下，SylviaAnnHowland去世后，她的侄女HettyHowlandRob-inson出示了一份遺囑，聲明由她繼承全部遺產，而且這份遺囑的第二頁特別聲明，在其之后的所立的任何遺囑均無效，兩頁都有死者的簽名。而遺產執行人拒絕其要求，認為第二頁系偽造，因而應按照時間稍后的另一份遺囑執行。一般認定偽造簽名時，是基于偽造樣本與可靠樣本之間的不同點，但此案恰好相反，Peirce父子利用42個可靠樣本的統計分析，認定第二頁簽名與第一頁過于相似，30處筆鋒向下的部分完全一致，而42個可靠樣本之間的筆鋒一致率僅有20%，Peirce認定“這里出現的一致性必定來自于一種制造它的企圖。”以專業的數學語言來講，這其實就是分析獨立性假設的合理性，通過假設檢驗，用一種“非參數”方法來分析這樣的數據，最終證實“這個簽名是真的”這種假設是錯誤的。

案例4死亡天使案。KristenGilbert，1967年11月13日生于美國馬薩諸塞州，自1989年在VAMC擔任護士，她經常能夠在第一時間發現病人的危急情況，并且會在急救小組到來之前給病人注射一劑腎上腺素，有些時候能因此拯救病人的生命，因此被稱為“死亡天使”。1996年，同事的3名護士反映她在班期間病人的死亡率會比平時偏高，并根據一些其他情況，認為她給病人注射過量藥物導致病情發作，以此來扮演搶救病人的英雄角色，據此對她提出指控，認為她犯有多重謀殺罪。受醫院所托，馬薩諸塞大學的StephenGehl-bach對病房數據進行分析，并于1998年向大陪審團提交了經由統計分析所得到的結果。Gehlbach的證詞基于假設檢驗，下表給出了18個月的病房統計數據。單用簡單的除法進行計算，已經可以看出死亡天使在班期間死亡率確實高于平時，但就嚴謹的法律程序而言，這甚至還不足以提出指控，而統計學的作用正是要抓住數據背后的真相，判定這究竟是蓄意還是巧合。Gehlbach的計算結果如下，如果死亡天使沒有故意殺人的舉措，那么她遇到74例死亡當中的40例的概率要小于一億分之一，幾乎是不可能的。本案最終沒有把計算結果作為直接定罪的證據，但是Gehlbach的分析證實了醫院死亡率的增加不是偶然因素造成，這樣的計算結果說明指控Gil-bert蓄意謀殺確有合理的基礎。結案后，Gehlbech與辯護方數學專家合作發表文章，對此案中的數學問題進行了進一步的分析和總結。

4數學模型相對于現實的局限性

數學科學源于現實，又反過來可以應用于現實，但是數學也不是萬能的，它是公安工作強有力的輔助工具，但是絕對不能完全的代替公安工作，歷史上也曾有過因此出現紕漏的情況。案例5Rossmo的失誤。地理空間分析技術是指由系列犯罪地點的地理關系來推斷犯罪嫌疑人可能落腳點及行動規律的偵查方法，現在已經是非常成熟的刑偵方法，KimRossmo正是專門從事此方面研究的專家。真正使他名聲大震的正是他失誤的那一次，路易斯安那州的城南強奸案。Rossmo于1991年給出一個著名的數學模型用以確定犯罪嫌疑人所處的熱區，Pij=k∑cn=(1Φ(|xi－xn|+|yi－yn|)f+(1－Φ)(Bg－f)(2B－|xi－xn|－|yi－yn|))g，并以其作為理論基礎編寫了名為Rigel的軟件用來尋找罪犯位置，獲得了一些成果。但是在1998年的城南強奸案中，Rossmo卻出師不利，他使用Rigel將搜索范圍縮小到大約1．25km2的范圍，區域內共有十余名嫌疑犯被逐一排查，但是DNA檢測都與現場證據不符，案件失去了方向。這時出現了另一條線索，有人匿名檢舉臨近機構的司法長官，經過偵查取證最后證實此人就是真正的罪犯，但是他的工作居住地點離計算出的熱區非常遠。事后經調查，發現罪犯剛剛搬家，以前居住地就在熱區當中，這恰恰說明模型沒有錯誤，而僅僅是偵查上的失誤，Rossmo也因此案名聲大震，成為偵查界的知名人士。由這個案例可以看出，現實世界具有無窮的復雜性，而數學公式和數學模型是單純的，我們只能用數學模型來高度概括模擬現實，卻不能用它來代替現實。如果遇到無法解決的問題，并不是說數學錯了，而是我們的已知條件還不夠多，模擬還不夠精確，我們所要做的應該是修正模型，尋找新的條件，這也正是數學的魅力所在。

5結語

直觀性和應用性的內涵相當豐富，限于水平和篇幅，筆者只能從相當粗淺的角度將其滲透到課堂當中，對教學方法做出一些皮毛上的革新。但筆者也認為在科學技術飛速發展的時代，在教學改革創新日新月異的今天，以直觀性和應用性原則輔助數學教學還有極為廣闊的發展空間。筆者此文權當拋磚引玉，希望相關學者與教育專家以及各位同事能夠對數學直觀和數學應用再多一些關注和研究，以數學直觀揭示數學本質，以數學應用推動學科結合，給課堂教學注入新的理念和活力，在數學教學領域開辟一片新的天空。

作者：管濤 左萍 單位：中國人民公安大學網絡安全保衛學院