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第1篇：數列求和方法范文

當 ，即n＝8時，

二、錯位相減法求和

這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an·　bn}的前n項和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.

[例3] 求和：………………………①

解：由題可知，{}的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{}的通項之積

設………………………. ② （設制錯位）

①－②得 （錯位相減）

再利用等比數列的求和公式得：

[例4] 求數列前n項的和.

解：由題可知，{}的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{}的通項之積

設…………………………………①

………………………………② （設制錯位）

①－②得 （錯位相減）

三、反序相加法求和

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.

[例5] 求證：

證明： 設………………………….. ①

把①式右邊倒轉過來得

（反序）

又由可得

…………..…….. ②

①+②得 （反序相加）

[例6] 求的值

解：設…………. ①

將①式右邊反序得

…………..② （反序）

又因為

①+②得 （反序相加）

＝89

S＝44.5

四、分組法求和

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.

[例7] 求數列的前n項和：，…

解：設

將其每一項拆開再重新組合得

（分組）

第2篇：數列求和方法范文

【關鍵詞】直接求和法（公式法）；分組求和法；裂項相消求和法

一、直接求和法（公式法）

如果所給數列是等差數列或等比數列，那么它們的求和問題，可以直接利用等差或等比數列求和公式解決。

（1）等差數列的前n 項和公式： ；

（2）等比數列的前n 項和公式：①當q=1時，Sn=na1；②當q≠1時， 。

例1：求1，2，3，…，100 這樣一個等差數列的和。

解：

二、分組求和法

若數列的通項是若干項的代數和，可將其分成幾部分來求。一般為{等差+等比}的形式出現時用到分組求和法。

例2：求數列 ，…的前n項和Sn.

分析：此數列的通項公式是 ，而數列{2n}是一個等差數列，數列 是一個等比數列，故采用分組求和法求解.

解： .

小結：在求和時，一定要認真觀察數列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數列或等比數列，那么我們就用此方法求和。

三、裂項相消法

裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：

四、小結

第3篇：數列求和方法范文

1、錯位相減：適應于一個等差數列和一個等比數列相乘所得的數列，方法是兩側乘以等比數列的公比。

2、形如某一數列由等比數列、等差數列相乘構成，首先分別列出兩個數列的和，再把所有式子同時乘以等比數列的公比；然后錯開一位，兩個式子相減。這種數列求和方法叫做錯位相減法。

（來源：文章屋網 ）

第4篇：數列求和方法范文

一、錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法，將其和轉化為“一個新的等比數列的和”求解.（注意：一般錯位相減后，其中“新等比數列的項數是原數列的項數減一”，這也是等比數列前和公式的推導方法之一.）

錯位相減法是一種常用的數列求和方法，應用于等比數列與等差數列相乘的形式.形如An=BnCn，其中Bn為等差數列，Cn為等比數列；分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數列的公比，即KSn；然后錯一位，兩式相減即可.

例1：求和Sn=+++…+.

解：兩邊同時乘以，得Sn=++…++，

兩式相減得Sn=-，

Sn=1-.

例2：求和：1+++…+.

分析：原式等價于2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×.

其中an=（n+1）×，像這種通項公式由等差與等比組成的數列，求它的前n項的和聯系課本中等比數列前n項和公式的推導過程，可應用錯位相減法.

解：令Sn=2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，

Sn=2×+3×+4×+……+n×+（n+1）×，

Sn=1+++…+-，

Sn=2++++…+-，

Sn=2+-，

Sn=2+1--，

Sn=3-.

二、倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和.（這也是等差數列前n項和公式的推導方法.）

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個（a1+an）.

例3：求證：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

證明：設Sn=C0n+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn ， ①

把①式右邊倒轉過來得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n+1）Cn+1+…+3Cn1+Cn0，（反序）

又由Cnm=Cnn-m可得

Sn=（2n+1）Cn0+（2n+1）Cn1+…+3Cn-1n+Cnn， ②

①+②得2Sn=（2n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn ）.（反序相加）

例4：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：設S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，①

將①式右邊反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ②

又sinx=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，

①+②得

2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+

cos289°）=89，

S=44.5.

三、分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.

例5：求和:（x+）+（x2+）+…+（xn+）

(x≠0，x≠1，y≠1).

解：原式=（x+x2+x3+…+xn）+（++…+）

=+

=+.

例6：求數列的前n項和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解：設Sn=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2），

將其每一項拆開再重新組合得

Sn=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）.

當a=1時，Sn=n+=，

當a≠1時，Sn=+=+.

四、裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和. 這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：

（1）an=f （n+1）-f（n）.

（2）=tan（n+1）°-tann°.

（3）an==-.

（4）an==1+（-）.

（5）an==[-].

例7：數列{an}的通項an=，求Sn .

分析：通項為分式的數列常考慮差分，即把通項ak化為兩項之差，ak=?姿（bk-ck）且bk+1=ck或bk=ck+1，那么

Sn==

=

解：ak=+=2（-）+3（

-），

Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]+3.[（-）+（-）+…+（-）]=2（1-）+3.（-）=-=.

例8：求和：++…+.

分析：由an===-

=-.

解：原式=（1-）+（+）+…+（-）+（-

）=1-=.

例9：求數列，，…，，…的前n項和.

解：設an==-，

則Sn=，+…+

=（-）+（-）+…+（-

第5篇：數列求和方法范文

1.掌握等比數列前項和公式，并能運用公式解決簡單的問題.

（1）理解公式的推導過程，體會轉化的思想；

（2）用方程的思想認識等比數列前項和公式，利用公式知三求一；與通項公式結合知三求二；

2.通過公式的靈活運用，進一步滲透方程的思想、分類討論的思想、等價轉化的思想.

3.通過公式推導的教學，對學生進行思維的嚴謹性的訓練，培養他們實事求是的科學態度.

教學建議

教材分析

（1）知識結構

先用錯位相減法推出等比數列前項和公式，而后運用公式解決一些問題，并將通項公式與前項和公式結合解決問題，還要用錯位相減法求一些數列的前項和.

（2）重點、難點分析

教學重點、難點是等比數列前項和公式的推導與應用.公式的推導中蘊含了豐富的數學思想、方法（如分類討論思想，錯位相減法等），這些思想方法在其他數列求和問題中多有涉及，所以對等比數列前項和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導公式的方法.等比數列前項和公式是分情況討論的，在運用中要特別注意和兩種情況.

教學建議

（1）本節內容分為兩課時，一節為等比數列前項和公式的推導與應用，一節為通項公式與前項和公式的綜合運用，另外應補充一節數列求和問題.

（2）等比數列前項和公式的推導是重點內容，引導學生觀察實例，發現規律，歸納總結，證明結論.

（3）等比數列前項和公式的推導的其他方法可以給出，提高學生學習的興趣.

（4）編擬例題時要全面，不要忽略的情況.

（5）通項公式與前項和公式的綜合運用涉及五個量，已知其中三個量可求另兩個量，但解指數方程難度大.

（6）補充可以化為等差數列、等比數列的數列求和問題.

教學設計示例

課題：等比數列前項和的公式

教學目標

（1）通過教學使學生掌握等比數列前項和公式的推導過程，并能初步運用這一方法求一些數列的前項和.

（2）通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合能力，提高學生的數學素質.

（3）通過教學進一步滲透從特殊到一般，再從一般到特殊的辯證觀點，培養學生嚴謹的學習態度.

教學重點，難點

教學重點是公式的推導及運用，難點是公式推導的思路.

教學用具

幻燈片，課件，電腦.

教學方法

引導發現法.

教學過程

一、新課引入：

（問題見教材第129頁）提出問題：（幻燈片）

二、新課講解：

記，式中有64項，后項與前項的比為公比2，當每一項都乘以2后，中間有62項是對應相等的，作差可以相互抵消.

（板書）即，①

，②

②－①得即.

由此對于一般的等比數列，其前項和，如何化簡？

（板書）等比數列前項和公式

仿照公比為2的等比數列求和方法，等式兩邊應同乘以等比數列的公比，即

（板書）③兩端同乘以，得

④，

③－④得⑤，（提問學生如何處理，適時提醒學生注意的取值）

當時，由③可得（不必導出④，但當時設想不到）

當時，由⑤得.

于是

反思推導求和公式的方法——錯位相減法，可以求形如的數列的和，其中為等差數列，為等比數列.

（板書）例題：求和：.

設，其中為等差數列，為等比數列，公比為，利用錯位相減法求和.

解：，

兩端同乘以，得

，

兩式相減得

于是.

說明：錯位相減法實際上是把一個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題.

公式其它應用問題注意對公比的分類討論即可.

三、小結：

1.等比數列前項和公式推導中蘊含的思想方法以及公式的應用；

2.用錯位相減法求一些數列的前項和.

第6篇：數列求和方法范文

關鍵詞：數列求和；教學方案；學習心理；建議

數列求和問題在高中數學中占有很高的比重，尤其是新課標版本使用后，比重又有了提升。但是新課標在初高中的銜接上有漏洞，如何填補這個漏洞是我們現在必須要考慮的。

一、數列求和問題的重要性

數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型.學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題.

在前言中，我們已經陳述了新課標對數列內容的要求，對于數列的綜合問題課標沒有具體的陳述，但是從歷年高考的情況我們可以發現，高考數列綜合試題往往呈現以下特點：以知識和方法立意考查等差、等比數列的有關知識，以求數列的通項公式和前n項和公式為主線，考查數列中的重要方法。

二、課題引入

數列求和問題的前提是對數列的掌握。數學作為一門抽象思維學科，對概念的理解也就顯得很重要，學生需要在探究中掌握數列概念。一個好的課題引入，即對概念的解釋，是開展后續教學活動的基礎。

在張艷和焦鳴的“數學概念課（第一課時）怎么上”中，通過對優秀教師教學實錄進行分析，提出自己的見解，并且做出自己的教學方案。在此方案中，首先呈現數列具體形式，用抽象思維提出數列的概念，再將其與函數作比較，從而使學生以函數為切入點來理解數列。所以一個好的切入點可以讓學生恍然大悟，能夠把抽象問題具體化，更容易接受。

三、教學過程

數列求和問題是枯燥乏味的，如何在教學過程中吸引學生是教育者們考慮的問題。以下是提出的幾個方案：

1.數學史法。在課堂教學過程中融入一些數學史，引入的過程可以引發學生的思考，有助于課堂的活躍度。學生積極性高，知識掌握的就好，可以說是學生學得輕松，老師教的也輕松。

在數學領域，李以數列教學為例，通過理論與實踐的結合分析了數學史在數列教學中的作用，包括增長學生數學知識，拓寬思路，激發思維，增強學生學習數學的內在驅動力等。

我們都知道數列求和問題中有一個經典的故事：在一次數學課上，老師出了一道題，就是讓學生把1到100求和，即1+2+3+…+100.同學們都埋頭苦算起來，但高斯沒有動筆，他在思考，他發現1+100=101，2+99=101，總共就有50個101，50個101相加就是5050，不到幾分鐘就算出了結果，于是高斯定理就產生了。如果在課堂中引入這樣一個小故事，學生就會產生好奇心，對數列求和問題產生興趣。當然，老師們還可以將其他的一些有意思的故事講給同學們，相信會有不一樣的效果。

2.體驗式教學。在一些教學設計中，已經包含了體驗式教學模式。葉丹就曾嘗試著以高中數列為研究對象來進行體驗式教學的探討與研究，最后的結論是：“師生在教學中的共同參與、互動、體驗、感悟，使數學教學體現民主性、開放性和互惠性，學生在學習過程中獲得了積極地情感體驗，提高了自主探究的數學實踐的能力，同時也在一定程度上豐富體驗式教學，為體驗式教學理論與實踐進一步發展提供了理論依據。”

要把控課堂，首先要了解學生學習過程中的心里路程。學生學習概念的心理過程是：概念意向-知覺水平上的應用-概念表征-思維水平上的應用。學生原理學習的心理過程：增生、重建、融會貫通階段。形成自己的數學思維，能夠做到知識的遷移，總的來說需要三個階段：認知階段、聯系階段和自動化階段。

3.貼近生活。學生在學習的時候，如果太脫離生活就會覺得枯燥無聊，如果以生活中的問題為例來展開教學就會更吸引學生。舉個例子：

在一次聚會中，來了50位客人，有以下兩個問題11如果客人們互換名片，共發出多少名片？22如果客人們互相握手，共握幾次？

對于問題一，學生很快就可以做出回答，共為50*49張名片；對于問題二，給同學們時間思考，討論，直至給出正確答案。握手次數用加法可以表示為49+48+…+2+1，這是一個等差數列求和問題。這一生活問題作為上課前的引導，可以激活學生思維，將知識從初中遷移到高中。

四、高中數列求和教學建議

1.把握概念本質。“概念是反映對象的本質屬性的思維形式。人類在認識過程中，從感性認識上升到理性認識，把所感知的事物的共同本質特點抽象出來，加以概括，就成為概念。”，概念是認知的高級產物，是思維最基本的組成單位，對數學概念的清晰理解是進行后續教學活動的關鍵。弗賴登塔爾曾說：“教學源于現實，也必須寓于現實，并用于現實。”在教學中，要盡可能的讓學生去經歷觀察、分析、猜想、概括、歸納、類比等發現和探索的過程，以此來鍛煉學生的數學素養。

2.注重原理推導。數列的求和公式是數列問題的核心，不僅要記住它，還要理解他。引入一些實際問題來讓學生自己動手來計算推導，會留下深刻的印象。

等差數列求和公式Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）2d

等比數列求和公式Sn=na1（q=1）a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1）

在數學公式證明中，類比是常用的方法，因此在數列求和公式的證明時，要善于運用類比的策略。

3.老師根據學生期望來授課。在數列求和教學過程中，老師需要和學生多多交流，因為這一部分的知識較難，老師一定要時刻關注學生的狀態，學生需要老師再黑板上板書，老師就應該將解題過程詳細的書寫在黑板上，并和學生溝通，及時發現他們的問題。在一些較難的題目上，學生如果要求老師放慢速度，老師需要配合學生，畢竟真正的教學是以學生為主體，不能為了趕教學進度而不顧學生的想法。學生自己會比較清楚需要什么，老師需要參考學生的期望來授課。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M]，人民教育出版社，2003.p11

[2]田偉芳.將數學史融入數列課堂教學的實踐[J]，數學教學，2009（8）3-7

[3]葉丹.體驗式教學在高中《數列》一章的實踐研究[D]，華中師范大學，2008

第7篇：數列求和方法范文

關鍵詞：高中數學;數列;解題技巧

在學習高中數學的過程中，有關數列題型的解題技巧也一直備受教師和學生關注，它不僅是高中數學教師們談論的重點內容，也是學生們學習的重要內容。有的同學對數列的知識還存在一些欠缺，沒有完全領會其中的知識點，這對平時的解題會造成一定的困難，所以需要我們平時多多摸索，找出解題技巧，促進我們更好地學習，本文就對關于數列的解題技巧進行一些闡述。

一、對數列基本概念的探討

在解決高中數學數列試題的過程中，通項公式和求和公式需要被直接運用到一些試題上來進行計算。相對來說，這種類型的數列題目是沒有什么詳細的解題技巧的，而是需要我們熟練掌握公式，將公式運用到具體的題目中進行解答。比如：己知等差數列{an}，Sn是前n項的和，并且n*屬于N，如果a3=5， S10=20，求S6。根據題目中的已知條件，我們可以結合等差數列的求和公式和通項公式，首先把數列題目中的首項和公差計算出來，然后根據已知的條件，把所得的結果直接代入求和公式中，這樣便可以得到正確的結果。這種類型的題目主要是考察我們對基本概念的理解，所以，在學習過程中，我們一定要注重數列概念的掌握。

在近些年的高考中，對通項公式的考察也很多，對數列求和也是需要掌握的重點，所以這里著重再說一下通項公式。對數列進行求和的方法有好幾種，這里介紹錯位相減法、合并求和法、分組求和法、通項求和法。

二、高中數學數列類題型的解題技巧

1.合并求和法

在對數列試題進行考察時，一般情況下有一些數列會比較特殊，如果將其中的個別項單獨進行組合，那么我們可以找到它特殊的地方。當我們面對這種類型的題目時，我們的解題技巧是，首先把數列試題中可以進行組合的項列出來，接著計算它們的結果，最后進行整體的求和運算，這樣我們就可以計算出正確的結果。比如說這樣的題目，a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，求S1999。首先我們進行初步計算，會發現這個數列不是等差的數列，也不是等比的數列，但是我們可以得到的是a6m+1=2，am+2=7，一直到a6m+5=-7，a6m+6=-5，因此得出S1999=0，也就是a1999=a1999+0，得出a1999=2 ，所以題目的最后結果就是a1999=2。

2.分組求和法

在我們做數列相關題目的過程中，會發現其中有一些數列在本質上是不屬于等差數列的，也不在等比數列的范圍，但是將它們拆開，我們可以將它們其中的一部分劃分到等差數列和等比數列中，我們在對這類數列進行求和時，可以先使用分組求和法來對其計算，然后把它們拆分成簡單的求和數列，進行分別求和，再將其得出的結構合并，這就是我們想要的結果了。比如：己知數列{an} ，n為正整數，通項公式是an=n+3n，要求計算出該數列前n項的和Sn。首先進行初步計算我們可以得到，此數列非等比非等差，再對其進行仔細觀察，我們不難發現，n+3n的前半部分是等差數列，后半部分則是等比數列，所以我們可以將等比和等差部分分別進行計算，得到結果之后進行相加就可以得出正確的結果。

3.錯位相減法

在對數列進行推導求合時，我們經常用到錯位相減法，這種解法經常被運用到數列前n項和的求和中。比如在等比數列或等差數列的前n項和的求和中，采用錯位相乘法，首先算出數列的首項、差比或公比，再利用等差公式或者等比公式來算出相應表達式，采用錯位相乘法就可得到結果。我們在學習時，要多注意解題思路，做到對題進行總結，舉一反三。

4.通項求和法

在使用通項求和法時，關鍵是能夠把一個數值拆分成兩個數值，以便把遵循一個規律的數值集合一起進行求解，達到事半功倍的效果。求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n項的數值的位 數是n，因為1…111=1/9（9…999）= 1/9（10k -1）（k等于1… 111的位數），所以數列1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 -1）+ 1/9（102 -1）+ 1/9（103 -1）+ 1 /9（104 -1）+…+ 1/9 （10n -1）。進行分組求和后，1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 +102 +103 +104 +…+10n ）-1/9（1+1+1+1+…+1）（1的個數是n）= 10/81（10n -1）- n/9 =1/81（10n+1 -10-9n），這樣就能夠很快計算出數列的和。

三、結語

綜上所述，我們可以知道，高中的數列題型因為它的特殊性，它是和其他的數學知識分不開的，為了能夠更好地學習這部分內容，我們在平時的學習中一定要注意對數學基本概念的掌握，以及相關解題技巧的總結，達到融會貫通的境界，才能更好地提高我們的數學能力。

參考文獻：

第8篇：數列求和方法范文

下面將探究幾道數列問答題。

例1.設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30

（1）求{an}的通項公式；

（2）求{an}的前n項和為Sn.

分析：本題主要考查等比數列的基本知識和運算能力，要確定一個等比數列，只需求出它的首項和公比即可，利用已知條件，可得首項和公比的兩個方程，解之可得數列{an}，從而Sn可求得。

解答：（1）設{an}的公比為q，由已知聯解啊a1q=6，6a1+a1q2=30兩式得a1=3，q=2或a1=2，q=3，所以an=3×2n-1，或an=2×3n-1

（2）當a1=3，q=2時，Sn=3×（2n-1）；當a1=2，q=3時，Sn=3n-1

探究1：本題是一道數列基本題，綜合性不強，但對等比數列的基本知識進行了全面的考查，從等比數列的概念，到通項公式和前n項和的求和公式，從解方程組的角度，利用消元的策略，處理方法也比較靈活，還作了簡單的分類討論，體現了試題的深入適度綜合考查的特點，反應了試題的考點，突出概念和基本公式應用方面的考查.

例2.已知數列{an}中，a1=1，an+1 =（n∈N+）

（1）求數列{an}的通項公式an；

（2）若=+1，求數列bnbn+1的前n項的和Tn.

分析：本題考查由遞推關系求數列的通項公式的方法，以及數列求和中比較常用的裂項相消法，先將遞推公式變形為an+1-an=2anan+1，兩邊同除以anan+1，就可以轉化為等差數列來求通項公式，而bnbn+1=可拆成-，從而求出Tn.

解答：（1）由an+1=得：-=2且=1，所以知：數列

是以1為首項，以2為公差的等差數列，所以=1+2（n-1）=2n-1，得：an=

（2）由=+1 得：=2n-1+1=2n，bn=

bnbn-1=，則Tn=b1b2+ b3b4 +…+bnbn-1=++…+=（-）+（-）+（-）+…+（-）=1-=.

探究2：（1）本題是轉化法求通項公式的典例，遞推公式變形為an+1-an=2anan+1，兩邊同除以anan+1，也可以將an+1=同時取倒數，從而轉化為等差數列.

（2）裂項相消法：就是將數列中的每一項拆成兩項或多項，使這些拆開的項出現有規律的相互抵消，看有幾項沒有抵消掉，從而達到求和的目的.

例3.各項均為正數的數列{an}，滿足a1=1，a2

n+1-a2

n=2（n∈N+）.

（1）求數列{an}的通項公式an

（2）求數列（）的前n項和Sn

分析：本題考查等差數列的定義及通項公式，由已知a2

n+1-a2

n=2很容易觀察出數列{a2

n}是等差數列，從而求出數列 的通項公式.也考查數列求和中重要方法，錯位相減方法求和.

解答：（1）因為a2

n+1-a2

n=2，所以數列{a2

n}是首項為1，公差為2的等差數列.

所以a2

n=1+（n-1）×2=2n-1.因為an>0，所以an=（n∈N+）

（2）由（1）知，an=，所以=

所以Sn=+++…++ ①

則Sn= +++…++ ②

①-②得 Sn= ++++…++=+（+++…+）-=+2×=-所以Sn =-.

探究3：（1）如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應項乘積組成，則求此數列的前n項和Sn多采用錯位相減法，課本中等比數列的前n項和公式就是用這種方法推導出來.

（2）運用錯位相減法求和，一般和式比較復雜，運算量較大，易會不易對，應特別細心.

例4.設等比數列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N+）.

（1）求數列{an}的通項公式an；

（2）在an與an+1之間插入n個數，使這n+2個數成公差為dn的等差數列（如在a1與a2之間插入1個數構成第1個等差數列，其公差為d1；在a2與a3之間插入2個數構成第2個等差數列，其公差為d2，…，以此類推），設第n個等差數列的和是An，Tn=++…+，證明Tn

分析：本題考查an與Sn的關系，利用式子an+1=2Sn+2轉化成an=2Sn-1+2（n>2），兩式再相減求出通項，第2個問題需要較強的理解能力，能靈活應用等差數列的基本知識（定義，通項公式，求和公式）.還用了典型的裂項相消求和方法以及不等關系.

解答：（1）an+1=2Sn+2，an=2Sn-1+2（n>2），an+1-an=2an，=3在an+1=2Sn+2中令n=1，得a2=2S1+2，a2=6=3a1，an= 2?3n-1.

（2）dn==，

An==4（n+2）×3n-1

==-

Tn=（-）+（-）+…+（-）=-

探究4：（1）已知數列的前n項和為Sn或已知an與Sn的關系寫出數列通項公式：an=f（n），是高考中常見的問題，解決這類問題必須注意條件n>2對于Sn=f（an）仍堅持利用n>2時an=Sn-Sn-1.

第9篇：數列求和方法范文

數列問題一直是高考的熱點內容,歷來為高考復習的重點;2010年安徽省高考文科卷的第21題,就是一個典型的數列問題,我們先來看一下題目,后作分析:

題設C1、C2、…、Cn、…是坐標平面上的一列圓,它們的圓心都在x軸的正半軸上,且都與直線 相切。對每一個正整數n,圓Cn都與圓Cn+1相互外切。以Rn表示Cn的半徑,已知｛rn｝為遞增數列,（1）證明:｛rn｝為等比數列。（2）設r1=1,求數列｛ ｝的前n項和。

顯見本題的第（1）小題考查的是等比數列的基礎知識、基本概念問題,第（2）小題考查的則是數列里強調的一種重要的解題方法―錯位相減法,即考查學生利用錯位相減法求和的基本技能。由于本題利用幾何圖形為載體,所以它同時考查考生的抽象能力和推理論證的能力。

本題雖然出現在試卷的最后一題壓軸題的位置,但我認為題目的難度并不大。我個人對本題的思考及求解過程有如下理解。第一,本題題目一遍讀完,考生立刻就能反應出這是一題以幾何圖形為背景來考核數列的問題。第二,當考生反應出是數列問題時,腦海中就會呈現出數列中高考大概會考查的幾個方面內容（老師平時帶學生復習時都是反復強調的）:即數列的基本知識、基本性質、基本方法。象本題的（1）一看就明白是考查數列的基本知識的―等比數列的基本概念,即若一個數列的后一項與前一項的等比等于一個常數,則這個數列是等比數列。所以學生很快就能下筆做題。以下,我們把（1）作簡單解析:

因為直線 與圓相切,所以直線的傾斜角 ,所以 。設圓Cn的圓心為（λn,0）,則 。同理 ,又 ,將 代入,得

,故｛rn｝是以3為公比的等比數列。第三,當考生做出（1）的結果為 時,將（2）中r1=1代入可得 ,進而求出（2）中 。

緊接著肯定是觀察數列｛ ｝通項公式的特點,這個數列當然不是一個單純的等差或等比數列,它是一個兩項相乘的數列（n與 相乘）,是一個我們很熟悉的混和數列。它的前一項成等差,后一項成等比。符合這種特點的數列的求和就是采用錯位相減法。當考生能將方法對號入座時,就能動筆做（2）了,這里關鍵就是方法,如果方法用錯了,最后肯定是徒勞。當然,在考生想對方法的同時,解題過程中的計算也是不容忽視的。因為考查錯位相減法的同時,融入了一定的計算量,往往有不少考生會因為方法對,計算錯而導致最后做錯題。下面我們也對（2）作簡單解析:

……①

我們記上式為①,且要求考生倒數第二項一并寫出,以便下面求解,接著在①的兩邊同乘以等比數列的公比得②,即:

……②

一般情況下,我們還是要求學生固定用①-②,且要求①、②兩式對應寫成上下兩行,以減少犯錯誤的機率,以上①-②得:

這個試子看里面有個等比數列求和,并不復雜,只要步步小心謹慎,一般是不會出現大的錯誤的,由上式及等比數列求和公式得:

所以

所以

由以上三點,我覺得本題難度不算大,融入的計算量也不大。

關于數列這一章節,教材中的內容并不多,但高考是年年考,且有一道大題。所以考生考前復習時一定要高度重視。對本章節內容,頭腦中應有一個清晰的知識框架。高考考查無非是以下幾方面的內容:一、考查等差、等比數列的基本知識,即等差、等比數列的概念、通項、前n項和、中項;二、考查等差、等比數列的性質,即若 ,則對等差數列有 ,特別地若 ,則 。若 ,則對等比數列有 ,特別是若

,則 。不同的數列,不同的性質公式應區別用好。

三、考查方法,即錯位相減法、裂項相消法、構造法、疊加法、疊乘法、公式法、倒序相加法、分組求和法等。其中,要高度重視前幾種方法,象安徽省2010年理科數列題就是考查裂項相消法,文科考了錯位相減法。這些方法老師在平時復習時都會特別強調的,只要考生能夠做到考前復習足夠用心,考試期間足夠細心,拿分是沒有問題的。