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第1篇：高三數學學習總結范文

導數及其應用

第八講

導數的綜合應用

2019年

1.（2019全國Ⅲ文20）已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當0

2.（2019北京文20）已知函數．

（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；

（Ⅱ）當時，求證：；

（Ⅲ）設，記在區間上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．

3.（2019江蘇19）設函數、為f（x）的導函數．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；

（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．

4.（2019全國Ⅰ文20）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）為f（x）的導數．

（1）證明：f

′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；

（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

5.（2019全國Ⅰ文20）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）為f（x）的導數．

（1）證明：f

′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；

（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

6.（2019全國Ⅱ文21）已知函數.證明：

（1）存在唯一的極值點；

（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

7.（2019天津文20）設函數，其中.

（Ⅰ）若，討論的單調性；

（Ⅱ）若，

（i）證明恰有兩個零點

（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.

8.（2019浙江22）已知實數，設函數

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）對任意均有

求的取值范圍.

注：e=2.71828…為自然對數的底數.

2010-2018年

一、選擇題

1．（2017新課標Ⅰ）已知函數，則

A．在單調遞增

B．在單調遞減

C．的圖像關于直線對稱

D．的圖像關于點對稱

2．（2017浙江）函數的導函數的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是

A．

B．

C．

D．

3．（2016年全國I卷）若函數在單調遞增，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

4．（2016年四川）已知為函數的極小值點，則

A．4

B．2

C．4

D．2

5．（2014新課標2）若函數在區間（1，+）單調遞增，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

6．（2014新課標2）設函數．若存在的極值點滿足

，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

7．（2014遼寧）當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

8．（2014湖南）若，則

A．

B．

C．

D．

9．（2014江西）在同一直角坐標系中，函數與

的圖像不可能的是

10．（2013新課標2）已知函數，下列結論中錯誤的是

A．

B．函數的圖像是中心對稱圖形

C．若是的極小值點，則在區間單調遞減

D．若是的極值點，則

11．（2013四川）設函數（，為自然對數的底數）．若存在使成立，則的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．

12．（2013福建）設函數的定義域為R，是的極大值點，以下結論一定正確的是

A．

B．是的極小值點

C．是的極小值點

D．是的極小值點

13．（2012遼寧）函數的單調遞減區間為

A．(－1,1]

B．(0,1]

C．

[1,+)

D．(0,+)

14．（2012陜西）設函數，則

A．為的極大值點

B．為的極小值點

C．為的極大值點

D．為的極小值點

15．（2011福建）若，，且函數在處有極值，則的最大值等于

A．2

B．3

C．6

D．9

16．（2011浙江）設函數，若為函數的一個極值點，則下列圖象不可能為的圖象是

A

B

C

D

17．（2011湖南）設直線

與函數，

的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為

A．1

B．

C．

D．

二、填空題

18．（2016年天津）已知函數為的導函數，則的值為____.

19．（2015四川）已知函數，(其中)．對于不相等的實數，設＝，＝．現有如下命題：

①對于任意不相等的實數，都有；

②對于任意的及任意不相等的實數，都有；

③對于任意的，存在不相等的實數，使得；

④對于任意的，存在不相等的實數，使得．

其中真命題有___________(寫出所有真命題的序號)．

20．（2011廣東）函數在=______處取得極小值．

三、解答題

21．（2018全國卷Ⅰ）已知函數．

(1)設是的極值點．求，并求的單調區間；

(2)證明：當時，．

22．（2018浙江）已知函數．

(1)若在，()處導數相等，證明：；

(2)若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．

23．（2018全國卷Ⅱ）已知函數．

(1)若，求的單調區間；

(2)證明：只有一個零點．

24．（2018北京）設函數．

(1)若曲線在點處的切線斜率為0，求；

(2)若在處取得極小值，求的取值范圍．

25．（2018全國卷Ⅲ）已知函數．

(1)求曲線在點處的切線方程；

(2)證明：當時，．

26．（2018江蘇）記分別為函數的導函數．若存在，滿足且，則稱為函數與的一個“點”．

(1)證明：函數與不存在“點”；

(2)若函數與存在“點”，求實數a的值；

(3)已知函數，．對任意，判斷是否存在，使函數與在區間內存在“點”，并說明理由．

27．（2018天津）設函數，其中，且是公差為的等差數列．

(1)若

求曲線在點處的切線方程；

(2)若，求的極值；

(3)若曲線與直線有三個互異的公共點，求d的取值范圍．

28．（2017新課標Ⅰ）已知函數．

(1)討論的單調性；

(2)若，求的取值范圍．

29．（2017新課標Ⅱ）設函數．

(1)討論的單調性；

(2)當時，，求的取值范圍．

30．（2017新課標Ⅲ）已知函數．

(1)討論的單調性；

(2)當時，證明．

31．（2017天津）設，．已知函數，

．

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）已知函數和的圖象在公共點處有相同的切線，

（i）求證：在處的導數等于0；

（ii）若關于x的不等式在區間上恒成立，求的取值范圍．

32．（2017浙江）已知函數．

（Ⅰ）求的導函數；

（Ⅱ）求在區間上的取值范圍．

33．（2017江蘇）已知函數有極值，且導函數

的極值點是的零點．（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）

（1）求關于的函數關系式，并寫出定義域；

（2）證明：；

34．（2016年全國I卷）已知函數.

(I)討論的單調性；

(II)若有兩個零點，求的取值范圍.

35．（2016年全國II卷）已知函數.

(Ⅰ)當時，求曲線在處的切線方程；

(Ⅱ)若當時，，求的取值范圍.

36．（2016年全國III卷）設函數．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）證明當時，；

（III）設，證明當時，．

37．（2015新課標2）已知函數．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍．

38．（2015新課標1）設函數．

（Ⅰ）討論的導函數零點的個數；

（Ⅱ）證明：當時．

39．（2014新課標2）已知函數，曲線在點（0，2）處的切線與軸交點的橫坐標為－2．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）證明：當時，曲線與直線只有一個交點．

40．(2014山東）設函數（為常數，是自然對數的底數）

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數在內存在兩個極值點，求的取值范圍．

41．（2014新課標1）設函數，

曲線處的切線斜率為0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在使得，求的取值范圍．

42．（2014山東）設函數

，其中為常數．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數的單調性．

43．(2014廣東)

已知函數

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，試討論是否存在，使得．

44．(2014江蘇)已知函數，其中e是自然對數的底數．

（Ⅰ）證明：是R上的偶函數；

（Ⅱ）若關于的不等式≤在上恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）已知正數滿足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結論．

45．（2013新課標1）已知函數，曲線在點處切線方程為．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）討論的單調性，并求的極大值．

46．（2013新課標2）已知函數．

（Ⅰ）求的極小值和極大值；

（Ⅱ）當曲線的切線的斜率為負數時，求在軸上截距的取值范圍．

47．（2013福建）已知函數（，為自然對數的底數）．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；

（Ⅱ）求函數的極值；

（Ⅲ）當的值時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值．

48．(2013天津)已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）

證明：對任意的，存在唯一的，使．

（Ⅲ）設（Ⅱ）中所確定的關于的函數為，

證明：當時，有．

49．（2013江蘇）設函數，，其中為實數．

（Ⅰ）若在上是單調減函數，且在上有最小值，求的取值范圍；

（Ⅱ）若在上是單調增函數，試求的零點個數，并證明你的結論．

50．（2012新課標）設函數f(x)=－ax－2

（Ⅰ）求的單調區間

（Ⅱ）若，為整數，且當時，，求的最大值

51．（2012安徽）設函數

（Ⅰ）求在內的最小值；

（Ⅱ）設曲線在點的切線方程為；求的值。

52．（2012山東）已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）設，其中是的導數．

證明：對任意的，．

53．（2011新課標）已知函數，曲線在點處的切線方程為．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）證明：當，且時，．

54．（2011浙江）設函數，

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）求所有實數，使對恒成立．

注：為自然對數的底數．

55．（2011福建）已知，為常數，且，函數，（e=2.71828…是自然對數的底數）．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）當時，是否同時存在實數和()，使得對每一個∈，直線與曲線（∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數和最大的實數；若不存在，說明理由．

56．（2010新課標）設函數

（Ⅰ）若=，求的單調區間；

（Ⅱ）若當≥0時≥0，求的取值范圍．

專題三

導數及其應用

第八講

導數的綜合應用

答案部分

2019年

1.解析（1）．

令，得x=0或.

若a>0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減；

若a=0，在單調遞增；

若a

（2）當時，由（1）知，在單調遞減，在單調遞增，所以在[0,1]的最小值為，最大值為或.于是

，

所以

當時，可知單調遞減，所以的取值范圍是.

當時，單調遞減，所以的取值范圍是.

綜上，的取值范圍是.

2.解析（Ⅰ）由得．

令，即，得或．

又，，

所以曲線的斜率為1的切線方程是與，

即與．

（Ⅱ）要證，即證，令．

由得．

令得或．

在區間上的情況如下：

所以的最小值為，最大值為．

故，即．

（Ⅲ），由（Ⅱ）知，，

當時，；

當時，；

當時，．

綜上，當最小時，．

3.解析（1）因為，所以．

因為，所以，解得．

（2）因為，

所以，

從而．令，得或．

因為都在集合中，且，

所以．

此時，．

令，得或．列表如下：

1

+

–

+

極大值

極小值

所以的極小值為．

（3）因為，所以，

．

因為，所以，

則有2個不同的零點，設為．

由，得．

列表如下：

+

–

+

極大值

極小值

所以的極大值．

解法一：

．因此．

解法二：因為，所以．

當時，．

令，則．

令，得．列表如下：

+

–

極大值

所以當時，取得極大值，且是最大值，故．

所以當時，，因此．

4.解析

（1）設，則.

當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，故在存在唯一零點.

所以在存在唯一零點.

（2）由題設知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，所以，當時，.

又當時，ax≤0，故.

因此，a的取值范圍是.

5.解析

（1）設，則.

當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，故在存在唯一零點.

所以在存在唯一零點.

（2）由題設知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，所以，當時，.

又當時，ax≤0，故.

因此，a的取值范圍是.

6.解析（1）的定義域為（0，+）.

.

因為單調遞增，單調遞減，所以單調遞增，又，

，故存在唯一，使得.

又當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

因此，存在唯一的極值點.

（2）由（1）知，又，所以在內存在唯一根.

由得.

又，故是在的唯一根.

綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

7.解析（Ⅰ）由已知，的定義域為，且

，

因此當時，

，從而，所以在內單調遞增.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知.令，由，

可知在內單調遞減，又，且

.

故在內有唯一解，從而在內有唯一解，不妨設為，則.

當時，，所以在內單調遞增；當時，，所以在內單調遞減，因此是的唯一極值點.

令，則當時，，故在內單調遞減，從而當時，

，所以.

從而，

又因為，所以在內有唯一零點.又在內有唯一零點1，從而，在內恰有兩個零點.

（ii）由題意，即，從而，即.因為當時，

，又，故，兩邊取對數，得，于是

，

整理得.

8.解析（Ⅰ）當時，．

，

所以，函數的單調遞減區間為（0，3），單調遞增區間為（3，+）．

（Ⅱ）由，得．

當時，等價于．

令，則．

設

，則

．

（i）當

時，，則

．

記，則

.

故

1

+

單調遞減

極小值

單調遞增

所以，

．

因此，．

（ii）當時，．

令

，則，

故在上單調遞增，所以．

由（i）得．

所以，．

因此．

由（i）（ii）得對任意，，

即對任意，均有．

綜上所述，所求a的取值范圍是．

2010-2018年

1．C【解析】由，知，在上單調遞增，

在上單調遞減，排除A、B；又，

所以的圖象關于對稱，C正確．

2．D【解析】由導函數的圖象可知，的單調性是減增減增，排除

A、C；由導函數的圖象可知，的極值點一負兩正，所以D符合，選D．

3．C【解析】函數在單調遞增，

等價于

在恒成立．

設，則在恒成立，

所以，解得．故選C．

4．D【解析】因為，令，，當

時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以．故選D．

5．D【解析】，，在（1，+）單調遞增，

所以當

時，恒成立，即在（1，+）上恒成立，

，，所以，故選D．

6．C【解析】由正弦型函數的圖象可知：的極值點滿足，

則，從而得．所以不等式

，即為，變形得，其中．由題意，存在整數使得不等式成立．當且時，必有，此時不等式顯然不能成立，故或，此時，不等式即為，解得或．

7．C【解析】當時，得，令，則，

，令，，

則，顯然在上，，單調遞減，所以，因此；同理，當時，得．由以上兩種情況得．顯然當時也成立，故實數的取值范圍為．

8．C【解析】設，則，故在上有一個極值點，即在上不是單調函數，無法判斷與的大小，故A、B錯；構造函數，，故在上單調遞減，所以，選C．

9．B【解析】當，可得圖象D；記，

，

取，，令，得，易知的極小值為，又，所以，所以圖象A有可能；同理取，可得圖象C有可能；利用排除法可知選B．

10．C【解析】若則有，所以A正確。由得

，因為函數的對稱中心為（0,0），

所以的對稱中心為,所以B正確。由三次函數的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側，所以函數在區間（∞,

）單調遞減是錯誤的，D正確。選C.

11．A【解析】若在上恒成立，則，

則在上無解；

同理若在上恒成立，則。

所以在上有解等價于在上有解，

即，

令，所以，

所以．

12．D【解析】A．，錯誤．是的極大值點，并不是最大值點；B．是的極小值點．錯誤．相當于關于y軸的對稱圖像，故應是的極大值點；C．是的極小值點．錯誤．相當于關于軸的對稱圖像，故應是的極小值點．跟沒有關系；D．是的極小值點．正確．相當于先關于y軸的對稱，再關于軸的對稱圖像．故D正確．

13．B【解析】,,由，解得，又，

故選B．

14．D【解析】，，恒成立，令，則

當時，，函數單調減，當時，，函數單調增，

則為的極小值點，故選D．

15．D【解析】，由，即，得．

由，，所以，當且僅當時取等號．選D．

16．D【解析】若為函數的一個極值點，則易知，選項A，B的函數為，，為函數的一個極值點滿足條件；選項C中，對稱軸，且開口向下，

，，也滿足條件；選項D中，對稱軸

，且開口向上，，，與題圖矛盾，故選D．

17．D【解析】由題不妨令，則，

令解得，因時，，當時，

，所以當時，達到最小．即．

18．3【解析】．

19．①④【解析】因為在上是單調遞增的，所以對于不相等的實數，恒成立，①正確；因為，所以

=，正負不定，②錯誤；由，整理得．

令函數，則，

令，則，又，

，從而存在，使得，

于是有極小值，所以存

在，使得，此時在上單調遞增，故不存在不相等的實數，使得，不滿足題意，③錯誤；由得，即，設，

則，所以在上單調遞增的，且當時，

，當時，，所以對于任意的，與的圖象一定有交點，④正確．

20．2【解析】由題意，令得或．

因或時，，時，．

時取得極小值．

21．【解析】(1)的定義域為，．

由題設知，，所以．

從而，．

當時，；當時，．

所以在單調遞減，在單調遞增．

(2)當時，．

設，則

當時，；當時，．所以是的最小值點．

故當時，．

因此，當時，．

22．【解析】(1)函數的導函數，

由得，

因為，所以．

由基本不等式得．

因為，所以．

由題意得．

設，

則，

所以

16

+

所以在上單調遞增，

故，

即．

(2)令，，則

，

所以，存在使，

所以，對于任意的及，直線與曲線有公共點．

由得．

設，

則，

其中．

由(1)可知，又，

故，

所以，即函數在上單調遞減，因此方程至多1個實根．

綜上，當時，對于任意，直線與曲線有唯一公共點．

23．【解析】(1)當時，，．

令解得或．

當時，；

當時，．

故在，單調遞增，在單調遞減．

(2)由于，所以等價于．

設，則，

僅當時，所以在單調遞增．

故至多有一個零點，從而至多有一個零點．

又，，

故有一個零點．

綜上，只有一個零點．

24．【解析】(1)因為，

所以．

，

由題設知，即，解得．

(2)方法一：由(1)得．

若，則當時，；

當時，．

所以在處取得極小值．

若，則當時，，

所以．

所以1不是的極小值點．

綜上可知，的取值范圍是．

方法二：．

(ⅰ)當時，令得．

隨的變化情況如下表：

1

+

?

↗

極大值

在處取得極大值，不合題意．

(ⅱ)當時，令得．

①當，即時，，

在上單調遞增，

無極值，不合題意．

②當，即時，隨的變化情況如下表：

1

+

?

+

↗

極大值

極小值

↗

在處取得極大值，不合題意．

③當，即時，隨的變化情況如下表：

+

?

+

↗

極大值

極小值

↗

在處取得極小值，即滿足題意．

(ⅲ)當時，令得．

隨的變化情況如下表：

?

+

?

極小值

↗

極大值

在處取得極大值，不合題意．

綜上所述，的取值范圍為．

25．【解析】(1)，．

因此曲線在點處的切線方程是．

(2)當時，．

令，則．

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；

所以．因此．

26．【解析】(1)函數，，則，．

由且，得，此方程組無解，

因此，與不存在“點”．

(2)函數，，

則．

設為與的“點”，由且，得

，即，（*）

得，即，則．

當時，滿足方程組（*），即為與的“點”．

因此，的值為．

(3)對任意，設．

因為，且的圖象是不間斷的，

所以存在，使得．令，則．

函數，

則．

由且，得

，即，（**）

此時，滿足方程組（**），即是函數與在區間內的一個“點”．

因此，對任意，存在，使函數與在區間內存在“點”．

27．【解析】(1)由已知，可得，故，

因此，=?1，

又因為曲線在點處的切線方程為，

故所求切線方程為．

(2)由已知可得

．

故．令=0，解得，或．

當變化時，，的變化如下表：

(?∞，

)

(，

)

(，

+∞)

+

?

+

↗

極大值

極小值

↗

所以函數的極大值為；函數小值為．

(3)曲線與直線有三個互異的公共點等價于關于的方程有三個互異的實數解，

令，可得．

設函數，則曲線與直線有三個互異的公共點等價于函數有三個零點．

．

當時，，這時在R上單調遞增，不合題意．

當時，=0，解得，．

易得，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

的極大值=>0．

的極小值=?．

若，由的單調性可知函數至多有兩個零點，不合題意．

若即，

也就是，此時，

且，從而由的單調性，可知函數在區間內各有一個零點，符合題意．

所以的取值范圍是

28．【解析】（1）函數的定義域為，

，

①若，則，在單調遞增．

②若，則由得．

當時，；當時，，

所以在單調遞減，在單調遞增．

③若，則由得．

當時，；當時，，

故在單調遞減，在單調遞增．

（2）①若，則，所以．

②若，則由（1）得，當時，取得最小值，最小值為

．從而當且僅當，即時，．

③若，則由（1）得，當時，取得最小值，最小值為

．

從而當且僅當，即時．

綜上，的取值范圍為．

29．【解析】（1）

令得

，．

當時，；當時，；當時，．

所以在，單調遞減，在單調遞增．

（2）．

當時，設函數，，因此在單調遞減，而，故，所以

．

當時，設函數，，所以在單調遞增，而，故．

當時，，，

取，則，，

故．

當時,取,則,．

綜上，的取值范圍是．

30．【解析】（1）的定義域為，．

若，則當時，，故在單調遞增.

若，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減.

（2）由（1）知，當時，在取得最大值，最大值為

．

所以等價于，

即．

設，則．

當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減.故當時，取得最大值，最大值為．所以當時，．從而當時，，即．

31．【解析】（I）由，可得

，

令，解得，或．由，得．

當變化時，，的變化情況如下表：

所以，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．

（II）（i）因為，由題意知，

所以，解得．

所以，在處的導數等于0．

（ii）因為，，由，可得．

又因為，，故為的極大值點，由（I）知．

另一方面，由于，故，

由（I）知在內單調遞增，在內單調遞減，

故當時，在上恒成立，

從而在上恒成立．

由，得，．

令，，所以，

令，解得（舍去），或．

因為，，，故的值域為．

所以，的取值范圍是．

32．【解析】（Ⅰ）因為，

所以

（Ⅱ）由

解得或．

因為

x

（，1）

1

（1，）

（，）

-

+

-

↗

又，

所以在區間上的取值范圍是．

33．【解析】(1)由,得.

當時，有極小值.

因為的極值點是的零點.

所以，又，故.

因為有極值，故有實根，從而，即.

時，，故在R上是增函數，沒有極值；

時，有兩個相異的實根，.

列表如下

+

–

+

極大值

極小值

故的極值點是.

從而，

因此，定義域為.

（2）由（1）知，．

設，則．

當時，，所以在上單調遞增．

因為，所以，故，即．

因此．

（3）由（1）知,的極值點是，且，.

從而

記，所有極值之和為，

因為的極值為，所以，.

因為，于是在上單調遞減.

因為，于是，故.

因此的取值范圍為.

34．【解析】

(Ⅰ)

(i)設，則當時，；當時，.

所以在單調遞減，在單調遞增.

(ii)設，由得或．

①若，則，所以在單調遞增.

②若，則,故當時，；

當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

③若，則，故當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

(Ⅱ)(i)設，則由(I)知，在單調遞減，在單調遞增.

又，取b滿足b

則，所以有兩個零點.

(ii)設a=0，則，所以有一個零點.

(iii)設a

又當時，

綜上，的取值范圍為.

35．【解析】（Ⅰ）的定義域為.當時，

，

曲線在處的切線方程為

（Ⅱ）當時，等價于

令，則

，

（i）當，時，，

故在上單調遞增，因此；

（ii）當時，令得

，

由和得，故當時，，在單調遞減，因此.

綜上，的取值范圍是

36．【解析】（Ⅰ）由題設，的定義域為，，令，解得．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.

所以當時，.

故當時，，，即.

（Ⅲ）由題設，設，則，

令，解得.

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

由（Ⅱ）知，，故，又，

故當時，.

所以當時，.

37【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

若，則，所以在單調遞增．

若，則當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，在上無最大值；當時，在取得最大值，最大值為．

因此等價于．

令，則在單調遞增，．

于是，當時，；當時，．

因此的取值范圍是．

38．【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

當時,，沒有零點；

當時，因為單調遞增，單調遞增，所以在單調遞增.又，當滿足且時，，故當時，存在唯一零點．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可設在的唯一零點為，當時，；

當時，．

故在單調遞減，在單調遞增，

所以當時，取得最小值，最小值為．

由于，所以．

故當時，．

39．【解析】（Ⅰ）=，.

曲線在點（0,2）處的切線方程為．

由題設得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

設，由題設知．

當≤0時，，單調遞增，，所以=0在有唯一實根．

當時，令，則．

，在單調遞減，在單調遞增，

所以，所以在沒有實根.

綜上，=0在R有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點．

40．【解析】（Ⅰ）函數的定義域為

由可得

所以當時，，函數單調遞減，

所以當時，，函數單調遞增，

所以

的單調遞減區間為，的單調遞增區間為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，在內單調遞減，

故在內不存在極值點；

當時，設函數，，因此．

當時，時，函數單調遞增

故在內不存在兩個極值點；

當時，

函數在內存在兩個極值點

當且僅當，解得

綜上函數在內存在兩個極值點時，的取值范圍為．

41．【解析】（Ⅰ），

由題設知，解得．

（Ⅱ）的定義域為，由（Ⅰ）知，，

（ⅰ）若，則，故當時，，在單調遞增，所以，存在，使得的充要條件為，

即，解得．

（ii）若，則，故當時，；

當時，，在單調遞減，在單調遞增．所以，存在，使得的充要條件為，

而，所以不合題意．

（iii）若，則．

綜上，的取值范圍是．

42．【解析】（Ⅰ）由題意知時，，

此時，可得，又，

所以曲線在處的切線方程為．

（Ⅱ）函數的定義域為，

，

當時，，函數在上單調遞增，

當時，令，

由于，

①當時，，

，函數在上單調遞減，

②當時，，，函數在上單調遞減，

③當時，，

設是函數的兩個零點，

則，，

由

，

所以時，，函數單調遞減，

時，，函數單調遞增，

時，，函數單調遞減，

綜上可知，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減；

當時，在，上單調遞減，在上單調遞增．

43．【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ）

44．【解析】（Ⅰ），，是上的偶函數

（Ⅱ）由題意，，即

，，即對恒成立

令，則對任意恒成立

，當且僅當時等號成立

（Ⅲ），當時，在上單調增

令，

，，即在上單調減

存在，使得，，即

設，則

當時，，單調增；

當時，，單調減

因此至多有兩個零點，而

當時，，；

當時，，；

當時，，．

45．【解析】．由已知得，，

故，，從而；

（Ⅱ）

由（I）知，

令得，或．

從而當時，；當時，．

故在，單調遞增，在單調遞減．

當時，函數取得極大值，極大值為．

46．【解析】（Ⅰ）的定義域為，

①

當或時，；當時，

所以在，單調遞減，在單調遞增．

故當時，取得極小值，極小值為；當時，取得極大值，極大值為．

（Ⅱ）設切點為，則的方程為

所以在軸上的截距為

由已知和①得．

令，則當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍是．

所以當時，的取值范圍是．

綜上，在軸上截距的取值范圍．

47．【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲線在點處的切線平行于軸，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①當時，，為上的增函數，所以函數無極值．

②當時，令，得，．

，；，．

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故在處取得極小值，且極小值為，無極大值．

綜上，當時，函數無極小值；

當，在處取得極小值，無極大值．

（Ⅲ）當時，

令，

則直線：與曲線沒有公共點，

等價于方程在上沒有實數解．

假設，此時，，

又函數的圖象連續不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數解”矛盾，故．

又時，，知方程在上沒有實數解．

所以的最大值為．

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）當時，．

直線：與曲線沒有公共點，

等價于關于的方程在上沒有實數解，即關于的方程：

（*）

在上沒有實數解．

①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數解．

②當時，方程（*）化為．

令，則有．

令，得，

當變化時，的變化情況如下表：

當時，，同時當趨于時，趨于，

從而的取值范圍為．

所以當時，方程（*）無實數解，解得的取值范圍是．

綜上，得的最大值為．

48．【解析】（Ⅰ）函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．

f′(x)＝2xln

x＋x＝x(2ln

x＋1)，令f′(x)＝0，得.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x

f′(x)

－

＋

f(x)



極小值

所以函數f(x)的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（Ⅱ）證明：當0＜x≤1時，f(x)≤0.

設t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．

由(1)知，h(x)在區間(1，＋∞)內單調遞增．

h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln

et－t＝t(e2t－1)＞0.

故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．

（Ⅲ）證明：因為s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，從而

，

其中u＝ln

s.

要使成立，只需.

當t＞e2時，若s＝g(t)≤e，則由f(s)的單調性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．

所以s＞e，即u＞1，從而ln

u＞0成立．

另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.

當1＜u＜2時，F′(u)＞0；當u＞2時，F′(u)＜0.

故對u＞1，F(u)≤F(2)＜0.

因此成立．

綜上，當t＞e2時，有.

49．【解析】：（Ⅰ）由題在上恒成立，在上恒成立，；

若，則在上恒成立，在上遞增，

在上沒有最小值，，

當時，，由于在遞增，時，遞增，時，遞減，從而為的可疑極小點，由題，，

綜上的取值范圍為．

（Ⅱ）由題在上恒成立，

在上恒成立，，

由得

，

令，則，

當時，，遞增，

當時，，遞減，

時，最大值為，

又時，，

時，，

據此作出的大致圖象，由圖知：

當或時，的零點有1個,

當時，的零點有2個,

50．【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

若，則，所以在單調遞增．

若，則當時，當，，所以

在單調遞減，在單調遞增．

（Ⅱ）

由于，所以(x－k)

f′(x)+x+1=．

故當時，(x－k)

f′(x)+x+1>0等價于

（）

①

令，則

由（Ⅰ）知，函數在單調遞增．而，所以在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點，設此零點為，則．當時，；當時，，所以在的最小值為，又由，可得，所以

故①等價于，故整數的最大值為2．

51．【解析】（Ⅰ）設；則

①當時，在上是增函數

得：當時，的最小值為

②當時，

當且僅當時，的最小值為

（Ⅱ）

由題意得：

52．【解析】（Ⅰ）由

=

可得，而，

即，解得；

（Ⅱ），令可得，

當時，；當時，．

于是在區間內為增函數；在內為減函數．

（Ⅲ）

=

因此對任意的，等價于

設

所以，

因此時，，時，

所以，故．

設，則，

，，，，即

，對任意的，．

53．【解析】（Ⅰ）

由于直線的斜率為，且過點，故

即,解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考慮函數，則

所以當時，故

當時，

當時，

從而當

54．【解析】（Ⅰ）因為

所以

由于，所以的增區間為，減區間為

（Ⅱ）【證明】：由題意得，

由（Ⅰ）知內單調遞增，

要使恒成立，

只要，解得

55．【解析】（Ⅰ）由

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得從而

，故：

（1）當；

（2）當

綜上，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為（0，1）；

當時，函數的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為。

（Ⅲ）當時，

由（Ⅱ）可得，當在區間內變化時，的變化情況如下表：

－

+

單調遞減

極小值1

單調遞增

2

又的值域為[1，2]．

由題意可得，若，則對每一個，直線與曲線

都有公共點．并且對每一個，

直線與曲線都沒有公共點．

綜上，當時，存在最小的實數=1，最大的實數=2，使得對每一個，直線與曲線都有公共點．

56．【解析】（Ⅰ）時，，

。當時;當時，;當時，。故在，單調增加，在（1，0）單調減少．

（Ⅱ）。令，則。若，則當時，，為減函數，而，從而當x≥0時≥0，即≥0．

若，則當時，，為減函數，而，

第2篇：高三數學學習總結范文

高三復習的點滴感悟

回顧高三復習的全過程，總結經驗與教訓，我們得到以下的點滴感悟，以期對未來的高三復習提供借鑒。

注重以人為本，營造和諧、健康的復習空間是成功復習的基礎

教育改革的首要目的就是“以人為本，促進學生和諧健康地發展”，高三數學教學當然也不例外。

重視學生的個別差異，實行分層教學。進入高三，每一個學生都有一個努力學習，取得好的學習成績，考取一個理想大學的美好愿望。這是我們高考復習成功的有利因素。如何因勢利導，調動起學生的學習積極性。首先要關愛學生，了解學生，注意到學生的個別差異。在教學中，要考慮到各層次學生的實際情況，實行分層次要求，分層設置問題。在課堂上使不同層次的學生都有所獲，每天的學習都有所感悟。這樣就會調動起學生的學習興趣，保持良好的學

重視學生的心理素質的培養，在數學學學習中，健全學生的人格品質。心理素質是適應環境，贏得學習，取得成功的必要條件。注意學生的心理調節，是高考復習的重要環節。

首先應注意學生意志品質的培養，提高學生心理的耐壓力。由于數學的抽象性，數學的學習會經常伴隨著困難，數學為磨練意志，提高耐挫力提供絕好的平臺。在高三數學復習過程中，要注意教育學生勇于面對失敗，對學生提出的問題，不要輕易解答，而是要幫助他們探索。同時要淡漠學生的考試成績，要關注學生的進步，發現學生的問題，鼓勵學生再接再厲。只有經歷磨練，才會真正體會成功的快樂，自信心才會得到加強。這有易于提高考生的心理應變能力。

其次是培養學生嚴謹的治學態度，在鉆研數學中品質得到發展與健全。高考的另一個重點則是對學生嚴謹的能力，語言表達能力的考察。所以在高三數學復習中必須要注意培養學生嚴謹的治學態度，一絲不茍的學習精神。

注重“雙基”教學，夯實基礎是成功復習的保證

重視課本，狠抓基礎知識的教學，建構學生的良好知識結構和認知結構。數學基礎知識是培養能力、提高數學素質的載體，良好的知識結構是高效應用知識的保證，必須給予高度重視。縱觀高考試題，許多試題源于課本，是課本例題、習題的組合、加工和拓展，充分表現出課本教材的基本作用。以課本為主，重新全面梳理知識、方法，注意知識結構的重組與概括，揭示其內在的聯系與規律，從中提煉出思想方法是成功復習保證。

第3篇：高三數學學習總結范文

關鍵詞 數學日記 價值 作用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

數學日記就是讓學生以日記的形式記錄自己對每次數學教學內容的理解、評價及意見，其中包括自己在數學活動中的真實心態和想法。數學日記的內容可以包含以下幾個方面：（1）對課堂上講授的數學概念、計算方法以及推理程序的理解和運用情況。（2）對教學過程和方式的評價及建議，即允許學生對課程內容、課堂講授方式以及課外活動、作業、考試等各類問題發表意見。（3）自由發表意見，學生可以自由地表達自己關心或渴望傾訴的問題，其中包括自己的成就、失望以及生活或學習中存在的問題等等。

1有助于教師全面了解學生的數學學習過程

1.1了解學生數學知識的建構情況

以往教師是通過批改作業，根據學生作業反饋的信息來估計學生掌握知識的程度和教師的教學效果的，但由于教師從學生的作業中只能發現“對”與“錯”，其錯誤原因只能靠教師去估計和揣摩，因此這種反饋往往不太真實。但是通過數學日記，教師可以發現學生對某一數學概念、解題方式的理解，了解學生探索發現問題的過程、歸納公式或問題獨特的解決思路，還可以深入了解不同學生對數學的不同見解，從中辨別學生是否在意義建構數學知識，從而及時且有針對性地幫助學生糾正不良建構。

1.2了解學生學習數學的心路歷程

數學由于受到高考升學率的影響已經逐漸演變成一門充斥著運算和證明，只有考試成績，沒有學習樂趣可言，看不到學生對數學的喜怒哀樂，看不到學生的思維過程和個性品質。數學日記的引入，則相對緩解了這個尷尬的情景，數學日記體現了一種人文關懷，學生在數學學習過程中的內心感受可以得到宣泄和關注，通過數學日記，師生之間可以真情而坦率地交流，在相互理解的基礎上，共同努力追求更好的教學效果。數學日記拉近了師生的距離，學生就會對數學及數學教師產生情感傾向，進而產生數學學習興趣和熱情。

1.3了解學生學習數學的個性差異

在高三的數學教學中，由于受到高考的影響，教師往往過于強調數學知識的傳授、解題技巧的訓練和思維能力的培養，而忽視對學生的思想品質和個性品質的關注。利用數學作業進行思想教育與交流的更是少之又少，而準確把握每個學生的個性特征，是因材施教、全面提高教育質量的前提和保障。數學日記可以為教師把握學生的個性特征提供有利的依據，從數學日記中，教師可以看出不同學生的個性特征，教師通過批閱日記，根據學生的個性特征，實行因材施教，進行個別教育，單獨指導，使學生的個性品質和數學學習能力更好的發展。

2有助于學生對數學知識本質性的理解

2.1數學日記能記載學生思維過程

條框數學的表現形式比較枯燥，給人一種死板的感覺，但是數學思考過程卻是火熱的、生動活潑的。如何點燃和激起學生的火熱思考，激起學生學習數學的熱情，使他們能夠欣賞數學的美麗，弗賴登塔爾指出：數學知識既不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的。學生學習了數學知識，如果能夠清楚的表達，說明學生理解了該數學知識的本質。

2.2數學日記體現數學教育是一種數學文化的教育

章建躍認為：數學的價值，主要在于培養學生的理性思維精神，揭示數學背后隱藏的文化價值，是一個重要的方面，我們在教學中，應當突出數學的文化本質。然而傳統的應試數學課堂，特別是高考總復習時大多教師采用的是習題+解題的教學模式，教師和學生忙于應試知識講授，很少關注數學書本以外的內容。數學日記走入高三數學課堂教學，可以活躍學生的思維，促進學生學會反思，同時也可以使他們體會到數學是一種文化，具有多元性，每個人都可以有自己合情合理的理解和感悟。

3有助于學生數學學習能力的提高

3.1及時的反思，可以提高記憶能力

高三學習任務繁重，很多學生疲于應付考試，通過寫數學日記，可以使學生在高三階段的“題海無邊”中能清楚的明白自己的學習動機和目的，有利于對所學過數學知識記憶的維持。及時的反思，揭示知識點之間的內在關系與規律，指出新舊知識點的聯系與區別，將紛繁復雜的知識進行編碼，使之條理化、系統化、程序化，也有利于將學過的新知由短時記憶轉化為長時記憶。

3.2適時的總結，提高概括能力

學生可以將學習過的數學知識在數學日記中進行總結概括，寫數學日記的過程中，提高了篩選信息、提取信息、概括信息的能力。學生在整理信息過程中不斷反思，將機械記憶轉變為理解過程。通過數學日記，適時地對數學概念的理解，數學命題的應用和數學解題的過程進行變式與類比，歸納與總結，可以較好地提高高三數學學習的實效性。

3.3 定時的交流，可以提高表達能力

數學語言是由日常的文字語言、圖形語言和特有的數學符號語言三者構成的。在數學日記的寫作過程中，學生需要能正確的、完整的并且簡略表達自己的做題思路，就必須將自己思維方式通過語言表達出來，這樣教師既很好地了解到每個學生掌握知識的程度，又很好地鍛煉了學生的表達能力。

參考文獻

[1] 盛登.數學作文價值研究[D].成都：四川師范大學，2005.

[2] 張芙蓉.“對話”對中學生化學學習興趣的影響研究[D].西南大學，2007.

[3] 章建躍.中學生數學學科自我監控能力[M].上海：華東師范大學出版社，2003.

第4篇：高三數學學習總結范文

一、高三數學實施有效課堂教學的必要性

1.再度延續與激發學生學習興趣的需要。俗話說興趣是最好的老師，要想讓學生把精力投入到課堂學習中去，必須想辦法激發學生的學習興趣。學生從高一、高二進入到高三復習課總感覺到對數學沒什么興趣，最深層的原因是每節課都是面對教師的講題，自已的練題，面對的是題海，而數學這一課程內容多、知識雜、方法亂、難度大，這些使部分學生對數學學習失去了信心，這需要教師再度去激發起學生的興趣。

2.提高課堂教學質量的需要。每一位教師都知道，要提高教學質量，必需向課堂要質量，而課堂質量的保證需要學生的主動參與。實施有效課堂教學，讓課堂活起來，讓課堂動起來，讓學生成為課堂教學的主體，課堂教學質量自然就會提高。

3.實施素質教育的需要。這正是新課標的要求，對學生的數學學習既要關注學生對知識技能的理解和掌握，也要關注學生的情感、態度和價值觀的形成與發展；既要關注數學學習的結果，也要關注他們在學習中的變化和發展與提高，促使學生全面發展是新課標的基本出發點。

二、高三數學課堂教學有效學習設計策略

1.問題設計與情景設計相結合。情景設計在高一、高二新課導入中更容易觸及，從問題情景的導入，到提出問題，再到解決問題會水到渠成。到高三教師就得下更大的功夫，轉換不同的角度和思維，可利用知識點或一些案例設計，一些低起點的問題情景，降低認知起點，并層層深入，激發學生的求知欲望，在情景中設計明確的研究方向，設計一些能激起學生主動探究的問題，讓學生產生發自內心的學習動力。

2.問題設計與有效教學目標相結合。高三數學教學目標，更深層次的體現在學生深層次的理解和掌握知識，以及解決問題能力的提高。而建構有效的課堂教學，必需依靠學生的有效思維活動，有效思維活動的前提條件是學生的主動參與，設計適合不同學生層次的有效目標，利用有效目標去引導教學活動，以有效活動提高課堂教學的有效性和針對性。多設計具有開放性、多維性、批判性的教學問題，更能體現高三數學課堂的有效性，這樣能引導學生多角度思考，培養學生的創新、創造能力。

3.問題設計與教學環節相結合。與高一、高二的教學環節相比，高三數學課堂的教學環節應更具有多樣性。設計一些陷阱問題去引導學生提出問題，培養學生的問題意識，設計一些方法多樣性的小組討論，設計一些合理的合作交流教學環節，讓學生帶著問題進行合作交流，使他們成為發展的學習主體。

三、高三數學課堂教學的有效學習教學環節實施策略

1.關于情景創設的有效性。教學情景的創設應有多種形式，可以延用高一、高二數學教學某些教學實例，也可以利用復習課的知識框架、某些知識點、解題方法的再現等，多種形式的情景創設可激活高三的課堂教學，使課堂充滿生機。

2.關于問題探究的有效性。設計課堂教學問題一定要有可及性并具備挑戰性，問題設計的可及性能使學生有成就感，問題的挑戰性能更有效地激發學生的求知欲，更能喚起學生內心的潛在動力。高三數學課堂教學的問題設計同時要體現高層次的數學思想方法，問題的設計要包含豐富的知識內涵，要具有一定的層次性、連貫性、系統性，能使學生在探索中掌握重要的知識點，掌握知識網絡框架。

3.關于知識建構的有效性。高三的知識結構是較為復雜的網絡性的知識，有系統性較強，思維的多面性，以及跳躍性大等特點。可利用框架式的知識結構，提倡“問題+探究”“啟發+講授”“練習+總結”等多種方式呈現，還可用問題與方法的總結的形式去了解學生所掌握的知識與方法，用例題的變式來實現知識與思想方法的建構。

4.關于例題教學的有效性。高三數學教學的例題更能體現數學思維能力，教師應選擇一些有高度概括性的、有代表性的、有更大拓展空間的例題，引導學生審題，展示學生思維，進行變式教學，變式要圍繞重要的知識與重點的數學思想方法，用多維變式、條件變式、結論變式、方法變式、已知與未知變式、圖形變式、逆向變式等，多采用學生合作交流、解題后反思等方式來實施這一教學環節。

5.關于課堂小結的有效性，力爭做到形式的多樣化，不能停留在單純知識性的小結，應更系統化的知識小結，串聯成知識網絡，方便學生掌握知識結構，深度挖掘章節隱含的數學思想方法。實施時盡可能多地讓學生表述，讓每一個學生都得到應有的發展。

第5篇：高三數學學習總結范文

【關鍵詞】中學數學；復習；效率；提升

中學數學不論在中考還是高考中都是分值最大的考試項目，與中考相比，高考的數學有著明顯的區分性，不僅注重知識的理解同時更注重知識的有效應用與拔高。高中學生在高三一年中必須將三年的六本必修加相應的選修課本的知識全部掌握熟練，并能夠靈活使用，這就要求高三學生能夠實現高效率的有效學科復習。但事實是，很多學生并沒有能夠很好掌握數學復習的方式，效率低下，導致高考成績很不理想，嚴重影響著高考總分和大學學校檔次的選擇，甚至廣泛的流傳的一句話“得數學者得天下”，而這句話確是高考結果的真實寫照。因此，當下高三學生必須尋找到提升數學復習效率的方式，幫助自己更好地復習數學內容。

一、數學復習中存在的問題

（一）題海戰術，忽略基礎知識

對于高三學生而言，復習數學最好的方式就是題海戰術，各種各樣的考試卷和題冊，在學生的課桌上壘砌起高高的堡壘將學生掩埋其中。基本每個高三考生在高考前都做過好幾斤重的試卷，然而這樣的方式似乎在阻礙著學生的復習進度。數學題是做不完的，而且每張卷子的題量很大，本身就很耗復習時間。每天一張數學卷子的練習并沒有很好的達到對數學有效復習的目的，學生們在做完所有的題之后仍然有知識漏洞，每張卷子仍然有不會的內容，因此通過這樣復習的效果何在？而題海戰術是現在每所中學都在貫徹的復習方式。然而，事實是單純的題海戰術只是在耗費復習的時間，降低高三學生的數學復習效率。

（二）缺少對方法融匯貫通

高三學生還有一個嚴重的問題，那就是他們只是在機械的記憶各種答題方法，卻很少有人能夠在答題方法中找到規律性思路而融會貫通，或者說學生通過做無數套卷子掌握一種題的答題方式，可當這種題改編之后學生又不會解答，而這正是影響高三學生復習效率的重要問題之一。學生通過很多試卷積累著各種答題方式，但它們永遠都是獨立的個體，缺少一個銜接與交集，缺少對答題思路的提升，方法永遠像斷線的珍珠沒有能夠連接起來。在遇到另一道題時，發現自己不會做時就重新立刻記錄下來當成新的方法，殊不知它與之前做過的題具有一樣的答題思路。學生一直在依靠老師幫助他們總結思路，而沒有自己總結的意識，不懂得將各種方法總結提煉而實現融會貫通，這樣的學生在數學的復習方面呈現出事倍功半的效果，不僅影響著自己數學復習的效率，而且加重了本就很重的記憶負擔，經常出現學生在考場上一緊張就將答題方法忘的一干二凈的狀況。

（三）缺少對錯題的認真分析

高三學生數學復習效率最低的原因是因為很多人懶惰，寧愿大量做題也不愿意進行有效的試卷錯題總結。絕大多數高三學生拿到試卷并聽完老師講解完錯題后就仍在一邊不聞不問，直到高考前當廢紙賣掉。這樣，學生并沒有發掘出試卷的價值所在，沒有認識到每一張試卷的重要性，而錯過了最好的提升數學復習效率的方式。但是，現實中有些學生會進行錯題總結，卻也依然效率不高。這樣的學生往往只是做搬運工的活，將自己的錯題搬到錯題本上，并沒有進行實質性的分析、總結、概括自己的錯題，錯誤依然只是錯誤，沒有能夠成為銘記于腦海的警醒。

二、提升中學數學復習效率的方式

（一）加強基礎知識的理解

高考題相較于中考題雖然更重視拔高，但是卷面絕大多數的題都是基礎，因此打好基礎是非常重要的。學生不能一味的只重視做題，而忽略基礎知識的掌握。最好的方式是將課本吃透，明確每一模塊講述的內容與邏輯，掌握每一道例題的解答方式與解題思路，將最基本的笛е識打扎實，才可以在答題速度和考試成績有質的飛躍。雖然打好基礎的過程顯得費力不討好，感覺很浪費時間，但是它卻可以在后期復習中極大的提升學生復習的效率，不會因為在試題中發現基礎不扎實而返回頭重新學習，這樣補漏式的學習是沒有窮盡的。因此高三學生必須重視知識基礎，在確保基礎扎實的基礎上實行題海戰術，才可以從根本上提升復習效率。

（二）積累方法，學會遷移

高三學生要重視方法的積累與遷移，不光是要達到量的充分，更要實現質的突破。要對自己積累的方式進行總結概括，善于從中找到一類題的答題思路與技巧，將知識與技能進行有效遷移，避免做無用功。在積累的答題方法是要注意分類，將每一主題分成大的類別再進行深入記錄，這樣的分類工作既方便內容的查找，同時有方便總結積累與相類似問題的融會貫通，很大程度上減輕復習的內容量，而將題型技巧的融會貫通又會使自己掌握一類問題，實現對一類問題的有效解答，而從極大提高復習效率，實現有效學習。

（三）重視試卷分析

高三學生還要重視對自己試卷的分析與總結，掌握自己薄弱或沒有掌握的地方。在試卷分析中首先要分析自己出現的問題以及出現這種問題的原因，明白自己錯在哪里，為什么錯；其次要分析試卷中有無值得自己注意與借鑒的地方，如沒有見過的新題型或答題方式；最后要分析試卷的整體結構，也就是出題者的考察內容與考察角度。只有這樣全方位的分析，才能掌握好自己當前的問題所在，掌握出題者常考察的方式，更好的認識考題，認識試卷，掌握更多出題規律，幫助自己提高復習的效率，實現即使不通過費時費力的題海戰術而仍然可以達到同樣甚至更高的復習效果。

三、小結

高三學生的學業任務量繁重，需要很高的復習效率，而這也是當前高三學生最缺失的內容。學生沒有認識到自己在效率低甚至在做無用功，沒有意識到自己復習方式的問題所在，因此使得他們的復習效率一直處于低下的狀態。而這樣的現狀就需要高三學生進行反思，改變自己的學習方式，提高復習的效率，用更短的時間做更多有效的事，實現高效學習。

【參考文獻】

[1]顧彥.體現學生的主體性，提高高三復習的高效性[J].中學生學習報，2012年第10期

第6篇：高三數學學習總結范文

本學期，我市中學數學學科的教研工作，要認真學習和領會《全國基礎教育課程改革綱要》的精神，深入學習初中、高中《數學課程標準》，全面推進新一輪課程改革。要以提高學科教學質量為著眼點，以促進學生全面發展為根本宗旨，堅持以人為本，轉變教育觀念，積極探索課堂教學的新模式，切實提高數學學科的教學質量。

二、工作要點

1.認真做好課改年級教師的新教材培訓工作。

各完、高中學校要認真組織高一教師參加各級組織的新教材培訓工作。

初中教師新教材培訓分兩輪進行：

第一輪，組織骨干教師參加徐州市級的培訓，七年級、八年級每校一人。

第二輪，全員參加邳州市級培訓。

整個培訓工作2月底前結束。

要求各校要認真組織，做到全員參與，全程參與，切實提高培訓質量。

2.貫徹落實新課標精神，優化課堂教學。

在認真領會課標精神實質的基礎上，廣大教師要形成共識，在實際教學中能以新課標的精神為指導，不斷更新教育觀念，運用合理、有效的教學方法，關注學生的學習方式、學習愿望和學習能力的培養，采取科學的評價體系，努力創設一個師生互動、平等參與的課堂景觀，使學生在課堂中樂于探究、主動參與、勤于動手，充分發展其創造思維能力。各校教研組要堅持進行集體備課、不斷總結、反思課堂教學的情況，積極開展教學研究活動，針對課堂教學過程中的實際問題，及時進行調查研究，提出解決的對策和建議，真正把課堂教學的重點放到上好每節課、提高每節課的教學效率上來。

3.積極開展教研活動。

要完善以校為本的教研制度，充分發揮數學教研組、備課組的作用，營造嚴謹務實，民主寬松，開放高效的教研氛圍。通過教研活動提高教師課堂教學水平；通過教研活動培養一批具有示范作用的骨干教師；通過教研活動提高教師的群體素質。

開展豐富多彩、務實有效的教研活動。結合我室開展的各項教研活動，拓展教研活動的時空，豐富教研活動的內容，加大教研活動的力度。

努力提高教研活動的質量。開展教研活動的根本目的是培養教師，提高教學質量。各校數學教研組的教研活動都要力戒形式主義，不要追求形式上的轟轟烈烈，要力求實現內容上的踏踏實實；不僅要學習新的教學理念，更要注重研究解決課堂教學中遇到的具體問題，每次活動解決一個問題，長期堅持，形成制度。

4.加強畢業年級的復習指導，努力提高數學學科的教學質量。

教學質量是學校工作的生命線，抓質量的意識任何時候都不能松懈。數學作為一門基礎學科，在提高教學質量中的作用是不言而喻的。所有數學教師都要提高認識，積極探索，努力工作，為提高學生的整體成績作出應有的貢獻。

要加強初三、高三的復習指導工作，提高復習教學的質量。要落實我室召開的初三一檢、二檢分析會、中考復習研討會，高三三次質量檢測分析會議的精神，科學的制定各輪次的復習計劃，明確復習重點，落實訓練任務，增強復習的時效性，提高優分率；初三、高三教師都要加強對初、高中《考試說明》的學習，增強復習工作的針對性，使復習工作切實做到“對路、到位”；要加強畢業年級的集體備課，做到人人參與，共同研討，集思廣益，以老帶新。要做好弱科輔導和中轉優工作，規范復習資料的使用。

高三年級：教研室將根據一輪復習中存在的問題進行二輪復習工作的專題調研，發現問題，提出問題，解決問題，對二輪復習提出指導意見。要充分發揮數學中心組的力量，集中精力研討、制定高三二輪復習計劃，編制復習要點，指導各校高三二輪復習工作。高三二檢結束后，及時召開二檢質量分析會，進一步改進和加強高三后期復習工作。要組織全體高三教師認真學習高考《考試說明》，增強復習工作的針對性，使復習工作做到“對路、到位”。高三教師要認真鉆研近年來各地的高考數學試卷，特別是江蘇省去年的高考試卷，把握命題趨勢，分析高考動向，使復習工作有的放矢。要加強高三年級的集體備課和校本教研，共同研討，集思廣益，實現資源共享。

初三年級：根據以往的復習經驗，今年初三總復習仍建議分為三個階段。第一階段從新課結束至四月底，主要是雙基的復習；第二輪從從五月初至五月底，主要是專題復習；第三輪從六月初至中考，主要是模擬練習。各校要認真落實初三復習研討會精神，制定各輪次的復習計劃。要規范復習資料的使用，初三進入總復要的復習資料是徐州市教研室編制的復習指導用書，其它的資料只能是參考資料。所有下發給學生的練習、講義、試卷必須經過認真的篩選，并且年級組要統一。要加強質量檢測和試卷講評工作。

初三各科要加強對教研室提出的復習備課新要求的學習和研究，在實踐中不斷地總結和完善，切實提高復習備課的針對性、實用性和有效性。

主要工作安排

初、高中教師新教材培訓會議（2月）

全市優質課評選（3月）

初三一檢考試及其質量分析會（3月）

初三數學復習研討會（4月）

高三二輪復習調研（4月）

第7篇：高三數學學習總結范文

一、高三文科數學學業不良學生的特點分析

在高三文科班中，數學學業不良者所占比例較高。相當一部分學生對數學學習沒興趣，甚至存在畏懼心理，認為學習數學是迫不得已。學生鄭某的心理反映了不少同學的真實情況，她說：“我當初選擇文科并不是因為喜歡文科，而是因為理科太差，不得已而為之”。當然，絕大部分學生還是出于對文科的喜愛而選擇文科的，由于思維方式、學習方法等因素導致數學學習不良。這些學生在班里占有相當大的比例。如何幫助數學學業不良學生“脫困”，是值得我們思考和研究的。

在情感方面。高三學生承受著家庭、學校、社會的多重壓力，時間緊，學業任務繁重。對文科數學學業不良的學生來說，一方面思想上渴望進入理想的大學，急于提高成績，一味求多求快。另一方面，由于基礎不扎實，學習方法不當，導致數學學業不良。當現實與愿望產生矛盾時，許多學生便產生焦慮、浮躁等情緒，這種情緒若得不到有效控制，將會影響到其他學生，甚至影響整個班級的士氣。這些學生在長期的學習中，不時地遭受失敗和挫折，自信心嚴重受挫。有的對數學學習采取回避態度，不愛動腦、動手，缺乏自制力，不能堅持到底，眼高手低，不求甚解，心理脆弱，耐挫能力差，幾乎喪失了走出學業不良這一怪圈的能力和勇氣。

在知識儲備方面。每次質量檢測后，總會有學生說：“我會做的，可就是算錯了。”這是非常遺憾的事情，但仔細想想，所謂的遺憾，對某些學生來說是必然。究其原因，是運算能力不夠。在教學過程中經常會發現高三文科學生有的不會計算長方體的體積，有的不會畫二次函數的圖像，這些其實都是數學知識儲備不足的表現。

我們對數學學業不良學生的調查表明，有25%的學生認為造成數學學業不良的根源在于小學、初中的數學基礎未打扎實，有53.5%的學生認為造成數學學業不良的原因是初高中銜接時未注重學習方法的轉換，學習松懈。不管哪種原因，都導致了數學知識儲備不足。前者表現為運算技能不足，后者表現為對數學概念、原理、性質、公式、定理的發生、發展過程沒有深刻地理解，對一些概念只從表面上感知而抓不住本質。

在思維能力上，文科學生以學習陳述性知識為主，習慣于形象思維，不善于抽象思維，而數學本身是由概念、符號構建的邏輯體系，需要運用抽象思維才能真正地理解和把握它。曾遇到像姚某這樣的學生，學習態度認真，非常勤奮，但數學成績始終不理想，通過分析發現，這些學生在數學學習方法和解題思維上都存在問題，他們總喜歡像學習政治歷史那樣，拼命去記住數學的某一結論和方法，不注重這些結論方法產生的過程，缺乏發現問題、分析問題、解決問題的能力。

二、高三文科數學學業不良學生的轉化策略

布盧姆的“掌握學習策略”的理論明確提出：學生的學習雖有快慢之分，但只要給他們足夠的時間和適當的幫助，幾乎每個學生都能掌握課程要求的各項教學內容。為了幫助學生盡快走出困境，我制訂了“幫助成功”“嘗試成功”“自主成功”三步走的轉化策略。

1.幫助成功階段

“幫助成功”這一階段是轉化數學學業不良學生的“哺乳期”。以教師幫助、觸發學生為主，目的是誘導學生積極參與學習活動。有研究表明：只有2%～3%的智力低常者無法正常搞好學習，突出人才和平庸者之間最顯著的差異，并非決定于智力水平的高低，而決定于是否有自信心、堅持性及自制力等非智力因素。要使學生能快速獲得成功體驗，需要“低起點，嚴要求”，要摸清學生的相關知識、基礎、能力和心理實際，把起點放在學生努力一下就可以達到的位置上，把教學內容按由易到難、由簡到繁的原則分解成合理的層次，然后分層漸進，把產生挫折事件的頻率減至最低，使學生層層有進展，處處有成功，經常處于積極學習的狀態，感到自己有能力，從而不斷增強學習的信心。

在幾次摸底考試分析中發現，三角函數相關內容的得分在學業不良學生中很低，在平時作業中也是“談三角色變”。而三角函數相關內容在高考中是基礎題，占分較高。為此我就抓住這一契機，從三角函數入手，使學生找到成功的感覺。

首先要求學生熟記三角函數的相關公式，引導他們尋找公式的特征，比如對誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”的理解，兩角和與差公式和二倍角公式中的角與函數名之間的變化關系等，使他們在記憶公式的過程中理解角與三角函數；然后給出相關例題進行演示，并讓他們模仿；再讓他們小試牛刀，獨立解決稍難的題，體會成功的喜悅；最后進行限時綜合訓練，內容是選擇、填空題，加一道三角函數大題，要求“快節奏，多變化，快反饋，多矯正”，通過多次訓練，學生們在做三角函數題時信心十足，三角函數終于成了紙老虎。

2.嘗試成功階段

當這些學業不良學生踏入教師的“成功圈套”時，就乘勝追擊，加大學生嘗試成功的力度，目的是推動學生主動參與學習活動，鞏固學習方法。在嘗試過程中，讓學生主動爭取成功，成功心理得到高層次的發展，逐步產生自我期望。所以第二階段要求學生總結三角函數的學習方法，找到利于其他章節的學習方法，并作交流。然后趁熱打鐵，對向量、數列知識嘗試展開有計劃、有層次地自主復習，進而形成一般的數學學習方法，掌握一定的學習策略，同時讓學生懂得只要耐心去做了就會成功。通過學生自己爭取成功，促使他們逐步形成積極、穩定的自我學習的內部動力機制。

3.自主成功階段

高三數學具有學習內容綜合性強、范圍廣、知識深化等特點，學生的認知結構發生了根本變化。通過前面的過程實施及成功體驗，使他們對高中數學內容和體系僅就章節而言得到一定程度的把握，但是如果綜合起來就顯得知識零亂、缺乏系統性，做題時發現不了符號后面的思想內涵，找不到條件和結論之間的聯系，找不到圖所傳遞的知識間的縱橫聯系交叉融合的信息，根據問題自身特點作出靈活機智反應的能力有所欠缺。所以“課好像聽懂了，但課后就是不會做題或一做就錯，經老師稍微點撥一下就明白了”的現象時有發生。因此，在這一階段需要重點改善學生的思維方式，使學生盡快脫離教師的“哺乳”期，培養其自覺攝取的能力，能積極主動地進行訓練。這一階段的特點是以學生自主學習為主，要求教師幫助學生產生自我期望和要求，自己主動爭取成功的機會，形成無論成功還是失敗都能自我激勵的機制。

經多次高三文科班教學的實踐證明，這樣的轉化策略是有效的。只要認真分析學業不良學生的心理特點，并對癥下藥，努力教化，在教學中重視發展學生的學習策略，引導他們自覺地掌握和運用盡可能多的有效學習策略，就能極大地促進學習，收到意想不到的效果。

參考文獻：

[1]布盧姆.掌握學習[M]，1968.

[2]坎貝爾.多元智能教與學的策略[M].王成全，譯.中國輕工業出版社，2001.

[3]劉琦，劉儒德.當代教育心理學[M].北京師范出版社，2007.

第8篇：高三數學學習總結范文

【關鍵詞】新課程背景下 高三數學 復習效率

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0143-02

新課程背景下要求學生掌握學習的方法，打破傳統的死記硬背的方式，從根本上減輕學生的學業負擔。但是，由于高三是學校教育殊的階段，學生要備戰高考，課業負擔和心理壓力都會很大。因此，通過采取有效措施幫助學生提高數學復習效率，可以讓學生有充足的時間備戰高考。

一、高三學生數學復習現狀

高三學生時間緊任務重，學生就會擠出更多的時間學習，但是很多學生付出的比別人多可就是不出效果，這也正是當前我國高三學生復習的現狀。（1）學生學習存在盲目性。高三學生面對繁重的學習壓力，有的時候復習會沒有頭緒，隨便抓起一門科目就復習，毫無計劃。（2）復習方法不當。很多學生對學科復習的基本方法就是采用題海戰術或者是大量背誦，對于解題技巧的反思并不重視，這樣既浪費了時間，還不能保證復習的效果。（3）忽視對于教材的復習。教材是學生學習的基礎，只有把握好教材中的教學內容，學生做題時才能夠運用自如。但是目前高中學生很少重視對于教材的復習，這也是學生復習效率低下的一個重要原因。（4）課堂上教師給予學生練習的時間少。新課程要求教學要以學生為主體，但由于傳統教學的影響，在課堂上教師大篇幅的講解，留給學生思考的時間很少，這樣就容易導致學生表面上掌握了教學內容，在實際練習中卻不會的現象。（5）教師對于學生復習方法的指導不夠。教師指導是學生進步的關鍵，目前我國學校教育中仍有一部分教師只是把完成教學作為任務，缺乏對于學生解題的指導。

二、提高高三數學高效復習的措施

高三數學學習任務繁重，既要學習新的課程，還要對以往的知識進行復習，學生學習可謂是“量大面廣”，加重了學生的負擔。這明顯的與新課程要求存在很大差距，如何才能提高學生的復習效率，減輕學生的學業負擔，可以從以下方面進行參考。

1.重視基礎，回歸教材

教材是學生學習的基礎，教材上的題都是最基礎的，學生只有真正的把例題看懂才能夠掌握數學做題的技巧。高考數學一般都會有專門的考試大綱，學生應該仔細研究大綱，總結出考試的重點以及考試的范圍，根據考試的重點展開復習。這樣既有針對性，還能夠減少不必要的復習。很多學生在做題時總是搞不清題目考的重點是什么，原因就是對于教材上基礎的知識沒有掌握好。在高三數學復習中，作為教師應該指導學生看透課本，扎實掌握基礎的數學知識，這樣學生在做題時就可以一眼看出題目考查的重點。（1）對于重點知識的形成應該做到心中有數，重視知識形成過程的數學思想。（2）高考考的是整個高中階段學的數學知識，所以學生應該把高中數學的知識點串聯起來，熟練背誦相關的數學公式、概念及法則。（3）加強對教材中典型例題的重視，高考試題都是在例題的基礎上演變而來，只有掌握例題才能更好的解題。

2.注重知識整合，提高數學解題能力

高中數學知識點比較多，學生掌握起來比較困難，新課程背景要求學生掌握學習技巧、自主學習，所以學生在日常的學習中應該先掌握好方法，運用方法進行解題。目前，高考數學命題更注重各知識點之間的整合，這對于學生的知識結構要求更加嚴格。學生只有真正做到對于數學知識體系的整合，才能夠順利看透出題者意圖，結合知識點熟練解答題目。從最近兩年的高考題看，有函數與方程、不等式的綜合；函數、導數、不等式的綜合；數列、函數、不等式的綜合；向量與三角函數，向量與解析幾何，向量與立體幾何的綜合等[1]。因此，學生通過對高考真題的分析，在對知識點復習中，應該注意對相關知識點進行整合，全面提高學生的解題能力。作為教師，在設置練習題時，也應該遵循高考的原則，注意將整合后的知識點作為考點，讓學生在平常的練習中就鍛煉這種思維，久而久之，學生在面對高考試題時就能及時梳清知識脈絡，從容應對。

3.注意反思，掌握技巧

學生在高三進行數學復習時，經常會做一些練習題檢驗自己的水平。但是很多學生卻并不重視對于錯題的反思，錯必定有原因，究竟是因為知識點沒掌握還是由于自己粗心導致，這都是學生必須考慮的。只有反思這些，學生才能知道自己在哪些地方欠缺。因為反思就是一種進步，學生可以在反思中掌握做題技巧，節省做題的時間。在高考數學試卷的答題過程中，學生用于審題的時間大約是15分鐘，抄寫答題及填涂答題卡的時間大約在20多分鐘，因此，用于思考解題、演算的時間最多只剩85分鐘，若想在高考中數學得高分，試卷中至少要有15道題答題順利，不占用過多思考時間[2]。由此可見，高考時間非常緊張，學生必須在平常練習中注意對于做題技巧的積累，在不斷地練習中鞏固技巧的掌握。學生還通過對一道典型例題的研究，掌握這一類題的做題方法，在研究中不斷反思、不斷進步。

4.調整心態

心態決定一切，高三學生學習壓力本來就大，隨著高考倒計時越來越近，很多學生都感覺時間緊張，準備不充分，這無形中就給自己增添了心理負擔，導致自己無法安心學習。越到最后越是考驗學生心理素質的時候，學生心理素質好就可以變壓力為動力，更加努力的學習。而有些學生心理素質較差，面對高考緊張的環境，日夜焦慮，無心學習。為了更好地備戰，學生應該放松心態，努力學習，多和同學、老師進行溝通，輕松應戰。作為教師在關鍵時刻不能只關心學生的成績，而應該對學生進行心理疏導，幫助學生慢慢調試到心里最佳狀態應對高考[3]。

復習也是一門功課，有的學生就能夠在學習中找到不斷進步的方法。在復習中，教師應該注意引導學生多思考、多總結，讓學生在反思中取得進步，并掌握學習的技巧。高三數學復習作為備戰高考的關鍵，需要教師和學生共同努力，才能夠真正取得最后的勝利。

參考文獻：

[1]劉冰.新課程背景下高三數學復習的有效教學策略研究[D].東北師范大學. 2011（05）

第9篇：高三數學學習總結范文

關鍵詞：高中數學；復習鞏固；對策

高三數學復習是高中數學學習最重要的階段，是查漏補缺、鞏固提高的重要環節，對于學生提高學習成績，能夠將所學數學知識系統地串聯起來具有重要作用。在多年的教學經驗中，筆者遇見很多學生在高一、高二時，數學成績不是很突出，但是一旦進入復習階段，將所有的知識點串聯起來，學生能夠融會貫通所學知識，成績就會有大幅度的提高。作為一線的高考教師，要充分重視高三數學復習的方法與成果，有效引導學生在復習過程中夯實基礎，提高效率。對此，筆者結合多年的教學經驗，提出了以下幾點看法。

一、用專題形式有效串聯知識點

高中復習一般分為三輪，第一輪是按照書本的教學進度整體過一遍，喚醒學生腦海中沉睡的知識，以課本為主體梳理知識點，為第二輪復習打下基礎。這個階段一般是一節課復習一個知識點，每一節課基本就是一個專題，這個階段的復習時間也是最長的，是學生日后二輪復習的基礎所在。教師在這個階段上應該梳理好知識間的縱深與橫向聯系，以多角度、全方位的視角將歷年與該知識點相關的高考試題進行解析，讓學生明白知識的重點在哪里，師生一同進行探究和歸納，一輪復習過后要讓學生明白每個知識點可以怎樣聯系，出題人的思路，常考常新的重點知識是什么，這對于學生融匯各個知識點是非常重要的。這個階段的教學過程是面向全體學生的，教師注重的也是學生對基本知識的把握，并不要求一定要達到高考的深度。

二、由淺入深的復習方法幫助學生鞏固提高

一輪復習結束以后，學生對于高中階段所學的知識應該有全面的了解，教師在此時就應該針對學生的易錯點、易誤點給予警示，強化學生對于題目的敏感度。在復習材料方面，可以精選由淺入深、由簡到繁的習題，一方面培養學生的自信，一方面也可以幫助學生找出解題的一般思路和方法。新課程要求培養學生的創新意識，這點在高考中也會有體現，教師可以利用自己的知識體系設計一些一題多解、一題多變的習題，換一個條件或者換一個問法，解題思路可能完全不同，這樣還可激發學生興趣，培養學生解題的靈活性、思維的靈活性。這期間教師可以利用“陷阱式”教學方法，即先讓學生犯錯或者老師自己故意犯錯，來讓學生提高對某些易錯問題的警惕性，由此來提高數學復習課的復習效率。“老師也犯錯”，這樣的記憶在學生腦海中是非常深刻的，師生一同探究錯誤的根源在哪里，理解錯誤的本質之后就能有效地幫助學生規避犯錯風險，進而修正他們對知識的理解，這在高三的數學復習中是非常有價值的教學實踐。

三、圍繞教材難點有針對性的復習

高考有重點，自然我們的復習課也應該有重點，教師首先自己要意識到重點在哪里，復習時才能針對教材重點和難點設計復習進度和材料。因此，教師在選取復習案例時要有明確的目標，并且把握好難度，要充分體現教學案例與理論知識的結合，要與整體教學環節相匹配，’要包含重要的信息，能培養學生準確理解數學原理，提高分析問題和解決問題的能力。

四、利用好課后作業幫助學生提高成績