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摘要:控制工程理論的數學基礎往往是專業課所忽略的。在拉氏變換、分式展開、勞斯表、離散化微分等公式中補充和強調了相應的數學基礎，建立了不能求得傳遞函數的彈簧－質點－干摩擦系統的數學模型，提出了轉子系統的黏性力矩阻尼系數命名。研究易化了該學科的理論。

關鍵詞:機械控制工程基礎;數學推導;二次假設;差分方程;黏性力矩阻尼系數

在工業生產上，往往需要控制一些關鍵參數，如溫度、壓力、氣體含量等，這屬于機械控制工程［1－3］。機械控制工程已形成了較固定而完備的理論［4］，但是在一些計算公式的推導過程中，由于學生都學習過高等數學、線性代數等數學課程，往往忽略一些重要的數學推導步驟，這給初學者帶來負擔。在一般院校，尤其是職業教育院校，學生的數學基礎往往不夠扎實，難以理解被省略的數學推導步驟，導致該課程的學習難度高。本文研究理論性強的公式、系統建模及其必要的數學推導過程。

1拉氏變換微積分步驟

由于微積分是高等數學的基本知識，專業著作［5］中往往省略關鍵步驟。

1．1指數函數的拉氏變換

補充復合函數的定積分及以下求導結果:ex()'=dex()dx=ex，e－sx()'=－se－sx，則該式的拉氏變換為LAe－αt[]=∫∞0Ae－αte－stdt=A∫∞0e－(α+s)tdt=A1－(α+s)∫∞0e－(α+s)td[－(α+s)t]=A1－(α+s)e－(α+s)t∝0=A1－(α+s)e－(α+s)∝－e－(α+s)0[]=A1－(α+s)[0－1]=As+α

1．2一次冪函數的拉氏變換

補充如下分部積分的詳細計算及求不定式的洛必達法則(L'Hopital'srule)計算式:u=t，v'=e－st，u'=1，v=e－st－s，∫udv=∫uv'dt=uv－∫vu'dt=uv－∫vdu，∫baudv=∫bauv'dt=uvba－∫bavu'dt=uvba－∫bavdu，limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f'(x)g'(x)，式中:fx0()=0gx0()=0{}或fx0()=∞gx0()=∞{}。則該式的拉氏變換等于以下兩項:L[At]=∫∞0Ate－stdt=Ate－st－s∞0－∫∞0Ae－st－sdt，上式的第一項為At－sest∞0=At－sestt=∝－At－sestt=0=(At)'－sest()'t=∝－A·0－ses·0=A－s2estt=∝－0=－0－0=0，則該式為L[At]=∫∞0Ate－stdt=－∫∞0Ae－st－sdt=As∫∞0e－stdt=As2。

1．3正弦函數和余弦函數的拉氏變換

補充復變函數的歐拉公式及復數定義:j2=－1，sinωt=12jejωt－e－jωt()，cosωt=12ejωt+e－jωt()。正弦函數的拉氏變換推導過程為L[Asinωt]=A2j∫∞0(ejωt－e－jωt)e－stdt=A2j1s－jω－A2j1s+jω=A2j1(s+jω)(s－jω)(s+jω)－A2j1(s－jω)(s+jω)(s－jω)=A2j1(s+jω)s2－j2ω2()－A2j1(s－jω)s2－j2ω2()=A2j1(s+jω)s2－j2ω2()－1(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2j(s+jω)－(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2j·2jωs2+ω2=Aωs2+ω2。余弦函數的拉氏變換推導過程為L[Acosωt]=A2∫∞0ejωt+e－jωt()e－stdt=A21s－jω+A21s+jω=A21(s+jω)(s－jω)(s+jω)+A21(s－jω)(s+jω)(s－jω)=A21(s+jω)s2－j2ω2()+A21(s－jω)s2－j2ω2()=A21(s+jω)s2－j2ω2()+1(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2(s+jω)+(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2·2ss2+ω2=Ass2+ω2。

2代數運算

2．1傳遞函數的部分分式展開法

該展開式是根據二次方程的求根公式和數學建模的待定系數法而獲得的。將函數的分子和分母分別因式分解，二次項因子由求根公式獲得兩個一次項相乘的形式，假設該函數可展開為F(s)=B(s)A(s)=r1s－p1()+r2s－p2()+…+rns－pn()，式中ri為待定系數，稱為留數。留數由特殊情況確定，在s=pi時，可以將s－pi()乘以等號兩邊，左邊能算出來，右邊為留數。由于等式仍然成立，所以可求得該待定系數。分子的冪次如果大于分母的，則須用分母去除分子而得到合理的分式。如可補充多項式相除的豎式計算方式而獲得:G(s)=s3+5s2+9s+7s2+3s+2=s+2+s+3(s+1)(s+2)。該豎式為

2．2勞斯表及其兩個特例

計算二階行列式可采用以下簡易計算式:a1，1a1，2a2，1a2，2=a1，1a2，2－a1，2a2，1。勞斯表是判斷系統穩定性的，有時會出現兩個特殊情況:1)在新行中，首列元素等于零。為避免被零除，該項須用很小的正數代替，如－22010⇒⇒－22ε1ε=－2－2εε=2－2ε。2)新行的所有元素均為零。這導致以下所有元素均為零。將上一行所對應的多項式求導，由求導結果確定該新行。所依據的理論是洛必達法則。如s(6)s(5)s(4)s(3)182016212160212160→80→240→0分別對應于多項式:s(6)s(5)s(4)s(3)As(6)()=s6+8s4+20s2+16As(5)()=2s5+12s3+16s1+0As(4)()=2s4+12s2+16As(3)()=A's(4)()=8s3+24s1+02．3基于二次假設將系統微分方程轉化為差分方程設采樣周期為T，用差分代替微分，根據后(左)向差分的定義及二次假設，變量x的一階和二階差分為［6－7］:Δx(k)=0．53x(k)－4x(k－1)+x(k－2)[]，Δ2x(k)=x(k)－2x(k－1)+x(k－2)。將以下微分方程離散化:md2xdt2+cdxdt+kx=0，mx(k)－2x(k－1)+x(k－2)T2+c0．53x(k)－4x(k－1)+x(k－2)[]T+kx(k)=0，m+1．5cT+kT2()x(k)+(－2m－2cT)x(k－1)+(m+0．5c)x(k－2)=0。經典的轉化算法是基于兩層線性假設的，必然沒有上述基于二次假設的準確。

3數學建模

3．1彈簧－質點－干摩擦系統的數學模型

忽略最大靜摩擦力大于動摩擦力的特性，圖1所示系統可建立如下分段方程:－md2xo(t)dt2－fsigndxo(t)dt()+kxi(t)－xo[(t)]=0，式中:sign(v)=+1，v＞0，[－1，+1]，v=0，－1，v＜0。{圖1彈簧－質點－摩擦振動系統模型Fig．1Spring-particle-frictionvibrationsystemdiagram該方程不能用來建立傳遞函數。數值算法可處理分段形式的微分方程，而傳遞函數算法不能。

3．2受到阻尼的轉子系統模型

設轉子受到阻尼力和外力矩M，則力矩平衡方程為－Jdωdt－fMω+M=0，式中:J為轉子的轉動慣量;ω為轉子的角速度;fM為黏性力矩阻尼系數，如果半徑為r，阻尼系數為c，則該系數為cr2，目前將其定義為摩擦系數不確切。

4結束語

S(科學)T(技術)E(工程背景)M(數學)教學理念引領教學內容的改進［8］。其中，數學基礎往往是各專業課所忽視的。本文補充的數學推導表面上創新性平常，實際上使高難度知識點簡易化，比一般的理論創新更有實踐價值。本文的理論創新可直接沉淀到教材，因此，也是山東省本科教育改革研究重點項目(Z2020057)的研究內容。

作者:李春明 尹曉麗 張曉玲 單位:中國石油大學(華東)機電工程學院 山東石油化工學院