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第1篇：數學建模路徑規劃范文

關鍵詞:精確建模;斜齒輪;參數化;掃掠

引言

齒輪傳動是機械傳動中應用最廣泛的一種傳動方式,由于漸開線的特點,漸開線齒輪又是齒輪傳動最常用的齒輪類型。近年來隨著CAD/CAE/CAM/CAPP技術的迅速發展,為了便于利用計算機仿真軟件對齒輪傳動進行運動、振動噪音、輪齒修型等分析,齒輪的精確參數化建模已經成為一個必要過程,而齒輪的建模精度又對計算結果起到決定性的作用。漸開線直齒圓柱齒輪由于螺旋角為零,因此精確建模已經沒有問題,而漸開線斜齒輪由于齒面為空間漸開線螺旋面,且其端面齒形與法面齒形不同,三維精確參數化建模過程比較困難。在目前所能查找的論文中提出了很多斜齒輪精確參數化建模的方法,但仔細研究發現里面所提到的很多方法根本就無法實現斜齒輪的精確參數化建模,為此先從理論上對斜齒輪參數化精確建模進行討論。

一、參數化建模中齒數與模型分析

在斜齒輪的精確建模中有一部分文獻沒有考慮到齒數對建模的影響[1][3][4][5][6][7][8]。沒有考慮齒根圓與基圓之間的大小關系,根據斜齒輪的齒根圓與基圓公式有:

df=d-2?mn(h*an+c*n)(1)

db=d?cosat(2)

df=db=d-2?mn(h*an+c*n)-d?cosat(3)

由公式(3)可以得到

=z?--2.5(4)

如果斜齒輪的齒根圓 與基圓 相等,則公式(4)右邊等于零。

z?--2.5(5)

對應標準齒輪有an=200,這樣斜齒輪的齒根圓與基圓之間的大小關系就是螺旋角β、齒數z和法面模數mn的函數。當齒根圓與基圓相等時,那么斜齒輪的齒數z與斜齒輪的螺旋角β就成一函數關系,在此把這個函數關系用z=f(β)來表示,這說明斜齒輪的齒根圓與基圓相等的分界線是變化的,而不是恒定的。

齒輪精確建模時,當齒根圓小于基圓的時候,齒根圓與基圓之間是沒有漸開線的,這部分曲線是刀具的齒頂加工出來的過渡曲線;當齒根圓大于基圓時,齒廓曲線全部為漸開線。所以斜齒輪精確建模一定要分這兩種情況來討論,為了方便在此用表格來給出兩者的數據關系。

二、螺旋角與斜齒輪模型的關系分析

現有很多論文中斜齒輪的精確參數化建模都是先利用漸開線表達式生成漸開線一條齒廓曲線,把這個端面曲線沿螺旋線進行沿引導線“掃掠”或“曲面已掃掠”命令來生成一個斜齒輪的輪齒,然后利用環形陣列生成斜齒輪的精確模型[1][2][3][4][5][6][7][8]。

(一)螺旋角的關系推導

斜齒輪的螺旋角是指分度圓上螺旋線的切線與軸線之間所夾的角度。由下推出[10]:

tanβ=(6)

L-螺旋線的導程;

π?d-斜齒輪分度圓上的直徑;

可以看出螺旋角是齒輪分度圓的一個函數,在同一齒輪中,任意圓周di上的螺旋角為:

tanβi=(7)

通過公式(7)可以看出,在不同的圓周上螺旋角是不同的。

(二)沿引導線掃掠策略

掃掠體的數學模型是,先進行路徑規劃,即將掃掠路徑進行離散,求解出t時刻通過掃掠路徑曲線上節點si的坐標,然后確定在每個節點上的投影面(法平面)方程,然后將物體向投影面(法平面)投影,當時間間隔足夠小時,在滿足一定的精度情況下,把時刻t和t+t時刻之間生成的掃掠體看成是由這些投影曲線組成的面域繞轉動極軸轉動生成的實體。

為了簡化求解過程, 掃掠路徑通常寫成式的參數形式:

那么要想對一個物體進行掃掠必須給出掃掠路徑和掃掠物體,在斜齒輪精確建模中,掃掠路徑是空間螺旋線,掃掠物體為漸開線的齒廓,這樣掃掠出來的齒形隨可以參數化,但在齒形上的每一點的法線都為掃掠路徑的切矢量,如果在創建時,給定的掃掠路徑是分度圓上的螺旋線(在軟件中這個命令是單參數的),則得到的輪齒是任意一點的螺旋角都等于分度圓上的螺旋角,通過公式(7)可以看出這是不正確的。三維模型圖參考圖1.4。

(三)沿多條引導線已掃掠策略

一條螺旋線不可能得到正確的輪齒,如果采用多條螺旋線做掃掠路徑只能使用軟件中的“曲面已掃掠”命令來實現,當掃掠路徑比較多的時候可以得到比較精確的輪齒模型,但這個命令是不支持參數化的,也得不到參數化模型。

下面用一個實例進行驗證:

圖四是將端面的一個齒廓面沿引導線掃掠生成的輪齒形狀,此螺旋角為β=200,可以看出輪齒的形狀發生了嚴重的扭曲,且隨著螺旋角的度數增大,扭曲現象就越明顯。

圖五是將端面的一個齒廓面利用曲面里面的已掃掠生成的輪齒形狀,可以看出當使用一條螺旋線的時候,輪齒發生了扭曲,不可能產生精確地輪齒。當增多引導引導線串時,扭曲程度降低,另外通過圖三與圖二的對比可以看出兩個操作都產生了扭曲,但扭曲程度是不一樣的。

通過上述論證,要想得到參數化的精確模型,必須使用掃掠命令來實現,可以對此命令進行二次開發,給定分度圓上的螺旋角,然后設定漸開線上上段的個點螺旋角的值是線性遞增的,下半段式線性遞減的,使遞增和遞減的值分別等于齒頂圓上螺旋角和齒根圓上的螺旋角,這樣既可以參數化又可得到精確的模型

三、陣列操作與參數化分析

在很多文獻中當單個齒生成后通過陣列的方法來生成整個斜齒輪模型,通常在軟件中有兩種生成方法:第一種是特征操作下的陣列(引用下的環形陣列)第二中方法是變換下的環形陣列,這兩種方法本質上是不同的,引用下的環形陣列是不能參數化的,而特征操作下的環形陣列是可以參數化的。

所以要想進行參數化設計必須采用特征操作下的沿引導線掃掠來生成輪齒,然后再進行特征操作下的環形陣列來得到參數化模型。

四、結束語

本文主要對已有的斜齒輪精確參數化建模的方法進行分析,推導出其不能得到精確參數化模型的理論原因,為以后斜齒輪的精確建模提供理論上的參考依據。精確模型一定是理論上推導證明出來的精確,還要注意當通過計算機算法去實現出來后一定存在誤差的,那么必須對誤差進行分析,確定誤差的范圍是不是在后續分析的允許范圍內。

參考文獻:

[1]白劍鋒等.UG在漸開線斜齒輪參數化設計中的應用[J].機械設計與制造,2006,(70).

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[3]趙向前,徐洪濤.基于UG4.0的斜齒圓柱齒輪的三維精確參數化建模[J].金屬加工,2008,(2).

[4]魯春艷.基于UG的齒輪齒條式轉向器的虛擬設計與分析[J].蘇州市職業大學學報,2009,(3).

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[6]孫江宏,姚文席,吳平良.基于UG的斜齒輪三維參數化設計方法-掃描成型法[J].2003,(2).

[7]徐江敏,孟慧亮,蘇石川.漸開線斜齒輪的參數化設計與應用[J].計算機應用技術,2008,(11).

[8]沈軍,文軍.斜齒圓柱齒輪三維參數化建模運動仿真及其在機床設計中的應用[J].組合機床與自動化加工技術,2004,(11).

第2篇：數學建模路徑規劃范文

關鍵詞：車輛路徑問題；遺傳算法；ExtendSim；仿真；優化

中圖分類號：U116.2 文獻標識碼：A

Abstract： This article has introduced the classical vehicle routing problem（VRP）in the field of logistics and the algorithm which can solve the problem firstly， then discusses that how to apply genetic algorithm to solving VRP， and describes how ExtendSim simulation software construct a model and make a optimize for an certain VRP in detail， with this method， finally concludes the optimal solution， and proves that the simulation optimization method is an effective way to solve the VRP.

Key words： vehicle routing problem； genetic algorithm； ExtendSim； simulation； optimization

我國國家標準《物流術語》（GB/T 18354-2006）中，給物流下的定義是：“物流是指物品從供應地向接收地的實物流動過程。根據實際需要，將運輸、存儲、裝卸、搬運、包裝、流通加工、配送、信息管理等基本功能實施有機結合。”物流有多方面的功能，而運輸和儲存保管則是其主要功能。在整個物流活動過程中，運輸是其中各項子活動的核心活動，它是第三利潤源的主要的源泉[1]。

日本在20世紀70年代就對物流有深刻的認識了，日本早稻田大學的西澤修教授在其著作中把物流稱作不為人知的利潤源泉，他認為，物流能為企業創造價值，是企業的利潤源泉。石油危機后這一觀點得到證實，物流也因而在企業管理中得到更加重視。目前我國生產型企業的物流成本占到總成本的20%～30%，而發達國家的則為10%左右[2]。因此，為了降低企業經營成本，獲得更多的利潤，必須盡量降低物流成本的比重，這對于國民經濟的更好發展具有十分重要的作用。

在商品經濟社會中，人們的生活質量與商品消費息息相關，而商品的價格直接影響人們的生活水平，如果商品價格不合理，超出人們普遍的可接受范圍，那么人們的生活幸福度將會大大降低。而商品價格的構成部分除了有生產成本，還有更重要的一部分是物流成本，并且物流成本中的運輸費又占了較大的比重。商品運輸需要耗費大量的能源動力，消耗越多，花費成本越高，如果運輸組織的不合理，就會加大運輸成本，因而抬高物流成本，商品價格也因而升高，結果是不僅降低企業的利潤，也間接提高人們的生活成本。

所以，運輸問題是物流領域中值得研究的關鍵問題。其中車輛路徑問題（Vehicle Routing Problems，VRP）是運輸問題中的一個熱點問題。該問題是指：在物資流通過程中，每個需求點的位置和需求量已知，供方如何調度車輛和安排行車路徑向需方供應物資，使得在滿足需方需要的同時也達到某些關鍵目標（如車輛數盡量少、花費時間盡量少、費用最少、路程最短等）。

學者們很早就開始對車輛路徑問題進行了研究，積累了豐富的研究成果。在20世紀50年代末，車輛路徑問題首先被G.Dantzig和J.Ramser[3]提出，兩位學者根據如何運送汽油到加油站這個現實中的問題，利用數學方法對其建立模型，并得出求解算法。在1964年，Clark和Wright這兩位學者研究了G.Dantzig和J.Ramser的方法后，認為后者的方法有改進的空間，并最后提出了Clark-Wright節約算法（即C-W算法）。從此VRP成為運籌學領域的研究熱點。五年后，Christofides與Eilon又想出新的方法，他們應用2-opt和3-opt處理VRP，取得較好的效果。到1981年，Fisher、Jaikumar和Gullen、Ratliff、Jarvis提出不同的研究方法。前者主要利用數學規劃，來對VRP進行最優化處理，后者則是運用人機互動的啟發式方法處理VRP。到90年代，學者們開始利用人工智能構造大量的啟發式算法來解決VRP，如禁忌搜索發、模擬退火法、遺傳算法等。首先采用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）的學者是Holland[4]，他利用遺傳算法中的編碼方法處理了VRP。在這幾種人工智能方法中，遺傳算法能較好地逼近最優解的同時具有較高的運算速度和效率，具有很好的發展前途。

1 VRP數學模型及遺傳算法

1.1 VRP的基本數學模型

VRP的一般描述[5]：

（1）車輛的載重量大于等于配送路徑上總的需求量；

（2）任一配送路徑的長度小于等于車輛在一次配送任務中的最大行駛距離；

（3）每個需求點的需求都只能被同一輛送貨車滿足；

（4）設定每輛車都是從中心出發開展配送任務，任務完成后再重新回到中心。

將一個配送中心編號設為0，該配送中心擁有車k輛，車輛數m，車的額定載重量為q，該中心面向L個客戶，第i個客戶需求量為g■，且g■≤q（i=1，2，…，L），VRP的基本模型如下：

minz=■■■c■x■ （1）

■g■y■≤q ？坌k （2）

■y■=1 i=1，…，L （3）

■x■=y■ j=0，1，…，L； ？坌k （4）

■x■=y■ i=0，1，…，L； ？坌k （5）

x■=0 or 1 ？坌i，？坌j，？坌k （6）

以上式（1）中，c■表示由點i到點j的運輸成本，該函數為最小運輸成本目標函數；（2）為車容量的約束；（3）表示每個客戶僅有一輛車服務；（4）、（5）表示到達和離開某一客戶僅有一輛車。x■和y■為變量，定義為：

x■=■

y■=■

1.2 遺傳算法

本文中的仿真軟件ExtendSim擁有一個自帶遺傳算法的優化模塊。遺傳算法在處理車輛優化調度問題時，有以下幾個步驟：

（1）確定染色體的編碼和初始群體

對可行路線編碼，如長度為1+m的染色體編為：

0，i■，i■，…，i■，0，i■，…，i■，0，…0，i■，…，i■

i代表著每一項運輸任務，此染色體可理解為車輛從配送中心0出發，完成i■，i■，…，i■后返回配送中心0，形成子路徑1；然后又從0出發，完成i■，…，i■后返回0，形成路徑2，如此反復直至完成所有的任務。這個過程中，行走路徑不斷改變，使得函數目標也改變，這樣的遺傳迭代就能讓函數目標最小，也即趨向于最佳路徑。

（2）確定目標函數

根據所研究的具體問題，數學模型的目標函數可以表示相應問題（如運費最少問題、車輛數最少問題、路徑最短問題、運輸時間最少問題等）的最優解方程。

（3）約束的處理

遺傳算法中各個染色體對應的解在群體中是占有一定比重的，在遺傳算法迭代運算進程中，如果某個染色體的解不符合約束條件，則會受到遺傳算法的懲罰機制的懲罰，使得其在群體中所占比重越來越小，而相反，可行解則越來越大，通過這樣的一個機制最終可以得出最優解。

（4）遺傳算子

遺傳算子一般包括復制、交叉、變異。復制的目的是保留優良個體，提高全局收斂性和效率；交叉的作用是組合新個體，降低對有效模式的破壞概論；變異的目的，是為了減少基因的缺失和不成熟收斂對結果的影響。

（5）確定最終方案

經過上述遺傳過程后，最終產生性能最優的染色體串。

2 仿真優化方法在VRP上的運用

對VRP的研究，大多停留在理論層面上，這些研究是通過分析問題，運用運籌學知識，用各種數學符號將問題抽象為一系列公式，形成能解決VRP的數學算法。這一類方法稱為解析法，是通過建立某種符合邏輯推理的數學模型來解決VRP，具有精確求解的優點，但不足的是，它完全以數學公式的形式存在，所以它不易于理解，不具備良好的人機交互及可視化，也就無法讓人直觀地感受到所描繪系統是如何運行變化的。相反，仿真方法卻可以直觀方便地處理問題。

仿真方法是利用以計算機和軟件為工具的仿真技術對實際或者設想的系統進行建模并運行，結合某種算法對系統分析，從而得出結果。它結合優化算法來計算模型，則可以求解出最優解。

李先永[6]根據VRP模型，利用EM-Plant仿真軟件構建了相應的仿真模型，同時結合啟發式求解方法計算和優化，從而驗證了該仿真方法的可靠性。劉芳華、楊娟都采用了仿真平臺MATLAB結合遺傳算法對具體的VRP進行參數輸入并運算，得到很好的效果。白雪利用ProModel對某汽車租憑公司的運營方案進行建模優化并評比備選方案，得出最優排程方案。孫姝婷利用 VISSIM 微觀仿真軟件對城市配送線路進行優化搜索，對多條配送路線進行評價分析，為配送車輛選出最優配送線路。陳靜靜[7]針對定位—路徑—庫存問題（Location—Routing—Inventory Problem，LRIP）這一物流領域中新的研究熱點問題，采用ExtendSim仿真軟件構造了該問題的模型，并用軟件的遺傳算法對其優化計算，求解出LRIP的最優方案。

3 ExtendSim對VRP建模優化

3.1 運輸問題

運輸問題，解決的是如何組織一個合理的運輸方案，使得物資在供求地運送到需求地所需要的總運費最小。其數學模型如下[8]：

設有m個產地，記為A■，A■，…，A■，生產某種物品，可供應產量分別為a■，a■，…，a■；有n個需求地，記為B■，B■，…，B■，其需求量分別為b■，b■，…，b■；供需平衡，即■a■=■b■。從第i個產地到j個需求地的單位物品的運費為c■，在滿足各地需要的前提下，求使得運費最小的調運方案。

設x■i=1，2，…，n為第i個產地到第j個需求地的運量，則該運輸問題的數學模型可寫為：

minz=■■c■x■ （7）

■x■=a■ i=1，2，…，m （8）

■x■=b■ j=1，2，…，n （9）

x■≥0 i=1，2，…，m j=1，2，…，n （10）

3.2 對具體問題建模

設有A■，A■兩個工廠面向B■，B■，B■三個客戶服務，工廠可供應產品數量分別為10，8個單位，客戶需求量分別為5，6，7個單位，A■到B■，B■，B■的每單位產品運費分別為3，2，6個單位，A■到B■，B■，B■的每單位產品運費分別為5，3，8個單位。根據以上信息，如何安排一個運輸計劃，使總運費最少。

對此問題，本文采用ExtendSim仿真軟件，實現了模型的整體構建。其整體結構如圖1所示。

3.3 模塊說明

ExtendSim中的每一個模塊都有其特定的功能，這種功能可以是多個的，另外模塊內部還有能輸入和輸出參數的結構。

首先，上述運輸問題是一個離散事件，需要放置Executive仿真時鐘模塊，讓軟件自動推進事件的發展。兩個Create模塊表示兩個工廠生產產品，Queue模塊表示存放產品的倉庫，Select item out模塊表示選擇不同的送貨路徑，Gate是個路徑開關，與Information、Math、Decition共同作用，具有能根據客戶是否得到滿足而控制路徑開通與否的功能。Get模塊可設置此路徑上每單位產品運費，而Activity模塊則是計算運送給某個B客戶的總成本，整個產品送貨流程以Exit模塊結束。

3.4 優化

以上模型只能直觀地演示系統的運行，還不能對該系統進行計算最優方案，所以要求解最佳方案，必須使用優化模塊Optimizer。

該模塊內置遺傳算法，在本問題中，有六個決策變量，該模塊對這六個量分別隨機編碼成二進制的基因b■i=1，2，…，n，并使它們連接組成每一個都擁有六個基因的染色體個體，然后模塊自行隨機產生初始種群數，再根據目標函數來確定能評價染色體優劣的適應度函數，在本題中以值越小越優，并接著按照一定概率選擇較優個體淘汰較劣個體進而產生一個種群，然后按一定概率對這種群里的個體進行交叉、變異運算，最終產生新一代的種群，這一代個體的適應度的數值和平均值都比上一代的有了明顯的改進，也就是說向最優值靠攏，接著再繼續對這新一代種群不斷循環運算，經過運算多代直至不能搜尋到更優的解后，就停止運行并顯示最優解了。

在Optimizer的Objectives中，對分別輸入運量的最小值0和最大值（客戶B的需求量），以及表示總費用最少的目標函數：Mincost=yunfei1+yunfei2+yunfei3。

在Optimizer的Constraints中，輸入決策變量的約束條件：

if（yunliang1+yunliang4 ！=5） reject=true；

if（yunliang2+yunliang5 ！=6） reject=true；

if（yunliang3+yunliang6 ！=7） reject=true；

if（yunliang1+yunliang2+yunliang3 ！=10） reject=true；

if（yunliang4+yunliang5+yunliang6 ！=8） reject=true；

最后，點擊New Run，系統自動運行，最終求解出最優結果，結果顯示，軟件運行了24秒，最小總成本值為82，最優解方案為best行：A■向B■，B■，B■分別運送1、3、6單位的產品；A■向B■，B■，B■分別運送4、3、1單位的產品。

4 結 論

本文論述了當前物流領域熱點問題車輛路徑問題及前人對其研究出來的解決方法，這些方法當中以某種算法來建立數學模型的理論研究居多，仿真建模層面上的研究比較少，因此重點探討了仿真優化方法在VRP上的應用，并基于ExtendSim仿真優化軟件對某一VRP問題進行了建模和優化，得出可靠結果，突顯出了仿真軟件界面友好、可視化強、操作簡單易懂、運算速度快的特點，是解決物流領域中VRP的一種有效的途徑。

參考文獻：

[1] 鄧紅星，韓銳，武慧榮. 物流技術[M]. 哈爾濱：東北林業大學出版社，2010.

[2] 紀紅任，游戰清，劉克勝，等. 物流經濟學[M]. 北京：機械工業出版社，2007.

[3] C.G.Dantzig， J.Ramser. The truck dispatching problem[J]. Management Science， 1959（6）：80-91.

[4] J Holland. Adaptation in Natural and Artificial System[D]. The University of Michigan Press， Ann Arbor， MI， 1975.

[5] 彭揚，伍蓓. 物流系統優化與仿真[M]. 北京：中國物資出版社，2007.

[6] 李永先. 車輛路徑問題的仿真模型及優化方法研究[D]. 大連：大連理工大學（博士學位論文），2008.

第3篇：數學建模路徑規劃范文

【關鍵詞】超聲；數學建模；CAD模型

0 引言

第一壁壁板屬于聚變堆屏蔽包層材料，而屏蔽包層作為國際熱核聚變實驗堆（ITER）的關鍵部件之一，其主要作用是作為直接面對等離子體的部件，承載聚變反應過程中的高熱及中子輻照，因此屏蔽包層技術是ITER的關鍵技術之一。屏蔽包層包括第一壁和屏蔽塊兩個部分，第一壁直接面對等離子體，屏蔽塊在第一壁的后面，其主要作用是帶走聚變反應過程中的核熱及屏蔽中子輻照。為了使第一壁及屏蔽包層能夠承載高的核熱，達到聚變試驗堆安全運行的目的，對聚變試驗堆屏蔽包層的結合質量檢測就顯得尤為重要；若第一壁壁板不進行結合質量的檢測，在等靜壓和電子束焊接的過程中，或者在材料加工過程中難免會造成一些缺陷和裂紋，而這些缺陷和裂紋對第一壁和屏蔽包層整體功能的影響很大，對于反應堆來說甚至是致命的[1]。因此，為了保證將來反應堆的安全運轉，必須對第一壁壁板的結合質量進行無損檢測。

2008年，中國核動力研究設計院開發的原理樣機只能檢測平面型屏蔽包層材料的結合質量，而第一壁壁板結構為曲面的鈹瓦表面，檢測難度很大。目前，國內外還沒有專門系統檢測這種工件，其主要難度在于超聲檢測曲面工件，需要確認探頭和工件要始終保持垂直，以此保證探頭能接收工件所反射回的超聲波信號。而本文采用超聲技術與數學建模技術相融合的方式，成功地研制了第一壁壁板超聲自動檢測系統，通過實際應用，證明該技術能夠準確的檢測第一壁壁板的結合質量及平面模塊的結合質量，為國際熱核聚變實驗堆的安全運行提供技術保障。

1 檢測對象

檢驗對象為第一壁板工件，其最大長度尺寸約為660mm，最大寬度尺寸約為200mm，最大厚度尺寸約為200mm。圖1為第一壁板工件CAD圖，檢驗面為帶曲面的鈹瓦表面。

圖1 第一壁板CAD圖

1.1 檢驗原理

由于檢驗面為曲面，為了準確跟蹤工件檢驗界面、保持探頭與檢驗面的垂直，檢驗前需對檢驗面進行建模，使用超聲波方式測定探頭與工件表面距離及五維運動坐標來進行數學建模，建立好曲面模型后，進行自動檢驗，在每個采集點根據曲面模型適時調整探頭與工件垂直，在調整好探頭的基礎上，采集超聲儀檢驗數據，并處理存儲[2]。

1.2 數學建模

由于被檢面為一曲面，為了使超聲波探頭在整個檢驗過程中始終保持與工件表面相垂直，需要對工件被檢面進行數學建模，建模使用超聲波原理，利用聲束入射角與表面波時域特征值之間關系。主要步驟為：

（1）根據所提供的工件信息，初步將工件表面劃分出多條掃描線；

（2）人工確定測量點之間的間距，根據此間距在掃面線上設定測量點；

（3）啟動自動測量程序，移動探頭到第一個測量點，調節五自由度機械手，使聲束與測量點垂直，記錄三維坐標值及二維轉動關節變量并保存；使用同樣方式記錄每一個測量點的三維坐標值及二維轉動關節變量；

（4）根據已測點的坐標值分析曲面曲率，若曲面變化顯著則縮小測量點間距（具體原理詳見2.3.1～2.3.2），若曲面曲率變化不大則按原初始規劃的間距進行測量；

（5）根據最終確定測量點的自動測量，并由反求軟件建立鈹銅工件的CAD建模。

1.2.1 測量點規劃

測量點分布在各掃描線上，其影響因素主要有三點：（1）掃面線的走向；（2）相鄰掃面線的間距X；（3）相鄰測量點的間距Y。

測量點自動規劃思路如下：

（1）被檢工件檢驗面的特點選定測量的初始規劃，利用聲束自動對正的方法完成第一條掃面線上，初始規劃測量點的三維坐標拾取；

（2）根據已測點的三維坐標分析掃描線的曲率，在曲率變化不大處按初始規劃的間距進行測量，在曲率變化顯著處縮小測量點間距，實現測量點的自動規劃；

（3）完成一條掃描線的測量后，同樣根據工件表面曲率變化情況調整兩條相鄰掃面線的間距。

1.2.2 曲面曲率的分析

曲面曲率是根據一條掃描線上相鄰3個測量點兩兩組成的線段夾角來進行分析的。首先將相鄰的兩個測量點用線段連接起來，從而得到一系列逼近兩點間曲線的線段。

相鄰兩條線段之間夾角能夠反映該段掃描線的曲率變化，給定一角度誤差δ（可以人工設定），若ωi≥δ，則認為這兩條相鄰線段所代表的掃描線之間曲面曲率變化劇烈，因此需要在這段區域內需要所點測量點間距，以增加測量點從而反映曲線劇烈的變化；若ωi≤δ，則說明這2條相鄰線段過渡平緩，可認為這段掃面線曲面曲率變化平緩，不需要增加測量點。

2 建模實驗

在對檢驗面進行曲面建模及測量點自動規劃后，方可實施對工件100%的檢驗。檢驗路徑：探頭先沿工件寬度方向運動，到工件邊緣時，再沿長度方向運動，如此反復，直到檢驗完整個工件。

在檢驗過程中，根據所建立模型的數據，對探頭進行適時調整，使探頭與工件表面始終保持垂直；檢驗數據能夠進行采集、存儲及處理。

檢驗裝置在檢驗過程中，工件固定良好；探頭的調節能滿足被檢工件的檢驗要求，方便、精確、自鎖；檢驗全過程中，探頭位置、運動速度等檢驗條件不允許發生改變；檢驗裝置具有自動開始和末端停止掃描功能及相應的安全連鎖裝置，掃描停止，探頭自動歸零位；實現并完成對工件的檢驗，可以使用控制器按扭進行控制，也可以利用所編制的軟件，通過檢驗參數的輸入進行程序。

具體實施過程為：

圖2 第一壁壁板數學模型圖

（1）建立工件的數學模型，如圖2所示。采用超聲波技術，利用工件表面反射波幅；根據所提供的工件信息，初步確定將工件表面劃分出3條掃描線，如圖3所示，圖中虛線為掃描線。每條掃描線上的掃描點間距間隔10mm。以上要求可以根據工件的曲率變化進行調整，曲率變化較大時可以適當增加采樣點，即縮短掃描點間距。

（2）能對工件實施100%掃查，掃查過程如圖3中虛線所示：探頭先沿工件寬度方向運動，到工件邊緣時，再沿長度方向運動，如此反復，直到檢驗完整個工件。

圖3 掃查示意圖

（3）在檢驗實施過程中，能夠根據所建立模型的數據，對探頭進行適時調整，使探頭與工件表面始終保持垂直。

（4）對檢驗數據能夠進行采集、存儲及處理，檢測結果如圖4所示。

圖4 檢測結果圖

3 結論

本文采用超聲技術與數學建模相結合的方法，根據超聲波回波情況，獲得探頭與工件表面距離及五維坐標，應用曲面反求技術重構工件的數據模型，進而建立被檢工件的CAD模型。利用研制的第一壁壁板專用檢測系統對建立的CAD模型進行了實驗，實驗表明，所建立的CAD模型能與檢測系統相融合，檢測結果達到設計要求。

【參考文獻】

第4篇：數學建模路徑規劃范文

關鍵詞 OPNET 網絡仿真 協議 流量

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A

當今業界使用的計算機網絡仿真軟件主要有OPNET和NS2，NS2由于是源代碼開放，很受科研人員的歡迎，但由于其運行環境是LINUX，且其圖形界面也過于簡單因此不太適合于在教學環境中使用。而OPNET則支持在Windows環境下運行，且其圖形界面非常豐富，可以為網絡規劃和設計提供客觀、可靠的定量依據，可以構建接近真實的網絡環境和業務，測試網絡產品性能指標。而且OPNET具有：網絡模型、節點模型、進程模型三層建模機制；豐富的模型庫；綜合統計量收集和分析工具等特點可以很好地完成網絡實踐中各種難以實現的實驗項目。使用OPNET可以使各種抽象的問題變得更加直觀，易于接受。使網絡知識的理解和掌握變得更加容易，從而激發學生的學習積極性和學習興趣。通過OPNET建模并搭建各種不同參數的網絡仿真平臺，可以全面理解各種網絡協議的性能。利用OPNET節點編輯器、進程編輯器不僅可以學習各種網絡協議的工作原理及其工作過程，還可以自行研究和設計網絡協議，從而加深相關知識的理解。利用OPNET提供的仿真結果及分析報告功能，可以為網絡優化提供依據。仿真報告直觀地顯示網絡性能參數可以通過這些參數提出設計和優化方案，再結合OPNET支持的VC聯合調試功能快速地驗證仿真實驗結果和仿真中存在的問題，從而拓寬實驗項目；設計和優化各種新的網絡協議并比較不同設計方案的性能，從而激發學生的學習主動性和創造能力。下面就介紹幾種OPNET在網絡技術仿真實驗中的運用。

局域網的仿真分析：構建局域網關鍵的因素是其流量和延遲時間的分析，這一點非常難于掌握，這個問題可通過OPNET加以解決。首先利用OPNET提供的圖形界面構建相應的局域網，然后運行仿真并提取統計量，最后通過圖形界面顯示其流量和延遲時間，對局域網的流量和延遲時間有一個直觀的認識。可進一步通過圖形方式增加路由器和其它的局域網，再次運行仿真，提取相應的流量和延遲時間，并通過圖形方式和原局域網的流量和延遲時間相比較，掌握局域網的規模對流量和延遲時間的影響，可起到事半功倍的效果。

傳輸層的滑動窗口算法的仿真分析：滑動窗口算法在計算機網絡中，不僅用在鏈路層的流量控制，而且也用在傳輸層的流量控制，因此非常重要。但由于其內容過于抽象學生很難確切地掌握該算法，這個問題可通過OPNET加以解決。首先利用OPNET提供的圖形界面構建兩個連接在互聯網的局域網，然后設置相應的應用和業務，運行仿真并提取統計量，最后通過圖形界面顯示滑動窗口大小的變化，對傳輸層協議如何利用滑動窗口來控制流量有一個直觀的認識。

路由信息協議和開放式最短路徑優先協議的仿真分析：計算機網絡中的網絡層的概念非常重要，它負責把數據包從源節點依據某個路由算法傳送到目的節點。實現網絡層的路由選擇算法非常多，這里只選擇路由信息協議算法和開放式最短路徑優先協議算法加以說明，這可直觀地了解在互聯網中數據包傳遞到目的地的方式。首先利用OPNET提供的圖形界面構建多種路徑相互連接的多個路由器，然后通過選擇路由信息協議為路由算法，并運行仿真，得到相應的路由表，使學生掌握路由表的概念。然后選擇開放式最短路徑優先協議為路由算法，運行仿真，得到直觀的路由路徑圖。并可選擇自治區域范圍，運行仿真并得到路由路徑圖，讓學生直觀地了解在采用自治區域后，開放式最短路徑優先算法的路由選擇變化。并可在選擇路由算法的流量平衡選項后，運行仿真得到路由路徑圖，使學生直觀地掌握選擇流量平衡后，開放式最短路徑優先算法的路由選擇結果。

第5篇：數學建模路徑規劃范文

摘 要：在查閱大量文獻的基礎上對多機器人路徑規劃的主要研究內容和研究現狀進行了分析和總結，討論了多機器人路徑規劃方法的評判標準，并闡述了研究遇到的瓶頸問題，展望了多機器人路徑規劃方法的發展趨勢。

關鍵詞：多機器人；路徑規劃；強化學習；評判準則

Abstract:This paper analyzed and concluded the main method and current research of the path planning research for multirobot.Then discussed the criterion of path planning research for multirobot based large of literature.Meanwhile，it expounded the bottleneck of the path planning research for multirobot，forecasted the future development of multirobot path planning.

Key words:multirobot；path planning;reinforcement learning;evaluating criteria 

近年來，分布式人工智能(DAI)成為人工智能研究的一個重要分支。DAI研究大致可以分為DPS（distributed problem solving）和MAS（multiagent system）兩個方面。一些從事機器人學的研究人員受多智能體系統研究的啟發，將智能體概念應用于多機器人系統的研究中，將單個機器人視做一個能獨立執行特定任務的智能體，并把這種多機器人系統稱為多智能體機器人系統（MARS）。因此，本文中多機器人系統等同于多智能體機器人系統。目前，多機器人系統已經成為學術界研究的熱點，而路徑規劃研究又是其核心部分。

機器人路徑規劃問題可以建模為一個帶約束的優化問題，其包括地理環境信息建模、路徑規劃、定位和避障等任務，它是移動機器人導航與控制的基礎。單個移動機器人路徑規劃研究一直是機器人研究的重點，且已經有許多成果[1~3]，例如在靜態環境中常見的有連接圖法、可視圖法、切線圖法、Voronoi圖法、自由空間法、柵格法、拓撲法、鏈接圖法、DempsterShafer證據理論建圖等；動態環境中常見的有粒子群算法、免疫算法、遺傳算法、神經網絡、蟻群算法、模擬退火算法、人工勢場法等。然而，多機器人路徑規劃研究比單個機器人路徑規劃要復雜得多，必須考慮多機器人系統中機器人之間的避碰機制、機器人之間的相互協作機制、通信機制等問題。

1 多機器人路徑規劃方法

單個機器人的路徑規劃是找出從起始點至終點的一條最短無碰路徑。多個機器人的路徑規劃側重考慮整個系統的最優路徑，如系統的總耗時間最少路徑或是系統總路徑最短等。從目前國內外的研究來看，在規劃多機器人路徑時，更多考慮的是多機器人之間的協調和合作式的路徑規劃。

目前國內外多機器人路徑規劃研究方法分為傳統方法、智能優化方法和其他方法三大類。其中傳統方法主要有基于圖論的方法（如可視圖法、自由空間法、柵格法、Voronoi圖法以及人工勢場方法等）；智能優化方法主要有遺傳算法、蟻群算法、免疫算法、神經網絡、強化學習等；其他方法主要有動態規劃、最優控制算法、模糊控制等。它們中的大部分都是從單個機器人路徑規劃方法擴展而來的。

1）傳統方法 多機器人路徑規劃傳統方法的特點主要體現在基于圖論的基礎上。方法一般都是先將環境構建成一個圖，然后再從圖中尋找最優的路徑。其優點是比較簡單，比較容易實現；缺點是得到的路徑有可能不是最優路徑，而是次優路徑。薄喜柱等人[4]提出的一種新路徑規劃方法的基本思想就是基于柵格類的環境表示和障礙地圖的。而人工勢場方法的基本思想是將移動機器人在環境中的運動視為一種虛擬人工受力場中的運動。障礙物對移動機器人產生斥力，目標點產生引力，引力和斥力周圍由一定的算法產生相應的勢，機器人在勢場中受到抽象力作用，抽象力使得機器人繞過障礙物。其優點是適合未知環境下的規劃，不會出現維數爆炸問題；但是人工勢場法也容易陷入局部最小，并且存在丟失解的部分有用信息的可能。顧國昌等人[5]提出了引用總體勢減小的動態調度技術的多機器人路徑規劃，較好地解決了這個問題。

2）智能優化方法 多機器人路徑規劃的智能優化方（算）法是隨著近年來智能計算發展而產生的一些新方法。其相對于傳統方法更加智能化，且日益成為國內外研究的重點。

遺傳算法是近年來計算智能研究的熱點，作為一種基于群體進化的概率優化方法，適用于處理傳統搜索算法難以解決的復雜和非線性問題，如多機器的路徑規劃問題。在路徑規劃中，其基本思想是先用鏈接圖法把環境地圖構建成一個路徑節點鏈接網，將路徑個體表達為路徑中一系列中途節點，并轉換為二進制串；然后進行遺傳操作（如選擇、交叉、復制、變異），經過N次進化，輸出當前的最優個體即機器人的最優路徑。遺傳算法的缺點是運算速度不快，進化眾多的規劃要占據很大的存儲空間和運算時間；優點是有效避免了局部極小值問題，且計算量較小。 

孫樹棟等人[6，7]在這方面較早地展開了研究，提出的基于集中協調思想的一種混合遺傳算法來規劃多機器人路徑方法較好地解決了避障問題。但不足的是該方法必須建立環境地圖，在環境未知情況下的規劃沒有得到很好的解決；且規劃只能保證找到一個比較滿意的解，在求解全局最優解時仍有局限。

文獻[8]中提出的一種基于定長十進編碼方法有效降低了遺傳算法的編碼難度，克服了已有的變長編碼機制及定長二進制編碼機制需特殊遺傳操作算子和特殊解碼的缺陷， 使得算法更加簡單有效。

智能計算的另一種常見的方法——蟻群算法屬于隨機搜索的仿生算法。其基本思想是模擬螞蟻群體的覓食運動過程來實現尋優，通過螞蟻群體中各個體之間的相互作用，分布、并行地解決組合優化問題。該算法同樣比較適合解決多機器人的路徑規劃問題。

朱慶保[9]提出了在全局未知環境下多機器人運動螞蟻導航算法。該方法將全局目標點映射到機器人視野域邊界附近作為局部導航子目標，再由兩組螞蟻相互協作完成機器人視野域內局部最優路徑的搜索，然后在此基礎上進行與其他機器人的碰撞預測與避碰規劃。因此，機器人的前進路徑不斷被動態修改，從而在每條局部優化路徑引導下，使機器人沿一條全局優化的路徑到達目標點。但其不足是在動態不確定的環境中路徑規劃時間開銷劇增，而且機器人缺乏必要的學習，以至于整個機器人系統路徑難以是最優路徑。

強化學習[10，11] (又稱再激勵學習)是一種重要的機器學習方法。它是一種智能體從環境狀態到行為映射的學習，使得行為從環境中獲得積累獎賞值最大。其原理如圖1所示。

強化學習算法一般包含了兩個步驟：a）從當前學習循環的值函數確定新的行為策略；b）在新的行為策略指導下，通過所獲得的瞬時獎懲值對該策略進行評估。學習循環過程如下所示，直到值函數和策略收斂:

v0π1v1π2…v*π*v*

目前比較常見的強化學習方法有：Monte Carlo方法、動態規劃方法、TD（時間差分）方法。其中TD算法包含Sarsa算法、Q學習算法以及Dyna-Q算法等。其Q值函數迭代公式分別為

TD（0）策略： V(si)V(si)+α[γi+1+γV(si+1)-V(si)]

Sarsa算法： Q(st，at)Q(st，at)+α[γt+1+γQ(st+1，at.+1)-Q(st，at)]Qs′學習算法： Qπ(s，a)=∑Pαss′[Rass′+γVπ(s′)]

近年來，基于強化學習的路徑規劃日益成為國內外學者研究的熱點。M. J. Mataric[12]首次把強化學習引入到多機器人環境中。而基于強化學習的多機器人路徑規劃的優點主要體現在：無須建立精確的環境模型，簡化了智能體的編程；無須構建環境地圖；強化學習可以把路徑規劃、避碰、避障、協作等問題統一解決。

張芳等人[13]提出了基于再激勵協調避障路徑規劃方法，把再勵函數設計為基于行為分解的無模型非均勻結構，新的再勵函數結構使得學習速度得以提高且有較好的魯棒性。同時，證明了在路徑規劃中，機器人的趨向目標和避障行為密切相關，對反映各基本行為的再勵函數取加權和來表示總的再勵函數要優于取直接和的表示方式，也反映了再勵函數設計得合理與否及其確切程度將影響再勵學習的收斂速度。王醒策等人[14]在動態編隊的強化學習算法方面展開了研究。宋一然[15]則提出了分段再勵函數的強化學習方法進行路徑規劃。其缺點是學習次數較多、效率不高，當機器人數目增加時，它有可能面臨維數災難的困難。所以，基于強化學習的路徑規劃在多機器人環境下的學習將變得比較困難，需要對傳統的強化學習加以優化，如基于人工神經網絡的強化學習[16]等。

3)其他方法 除了以上國內外幾種比較常見且研究較多的方法外，還有唐振民等人[17]提出的基于動態規劃思想的多機器人路徑規劃，把運籌學中的動態規劃思想與Dijkstra算法引入到多機器人的路徑規劃中，用動態規劃的基本思想來解決圖論中的費用流問題和路徑規劃中的層級動態聯盟問題。其選擇距離鄰近法作為聯盟參考依據。一個機器人的鄰居是指在地理位置上分布在這個機器人周圍的其他機器人；與該機器人最近鄰的機器人為第一層鄰居，第一層鄰居的鄰居為該機器人的第二層鄰居， 依此類推。那么層級越高（即越近)的鄰居，它滿足協作要求的可能性越大。動態規劃算法實質上是一種以空間換時間的技術，它在實現的過程中，必須存儲產生過程中的各種狀態，其空間復雜度要大于其他算法，故動態規劃方法比較適合多機器人的全局路徑規劃。

孫茂相等人[18]提出了最優控制與智能決策相結合的多移動機器人路徑規劃方法。其首先構造一個以各機器人最優運動狀態數據庫為核心的實時專家系統， 在離線狀態下完成; 然后各機器人在此專家系統的支持下， 以最優規劃策略為基礎， 采用速度遷移算法， 自主決定其控制。該方法擁有較好的穩定性與復雜度。焦立男等人[19]提出的基于局部傳感和通信的多機器人運動規劃框架較好地解決了多機器人路徑規劃在局部在線規劃的系統框架問題。沈捷等人[20]提出了保持隊形的多移動機器人路徑規劃。以基于行為的導航算法為基礎，把機器人隊列的運動過程劃分為正常運動、避障和恢復隊形三個階段。在避障階段，引入虛擬機器人使隊形保持部分完整;當隊形被嚴重打亂時，規劃機器人的局部目標位姿使隊列快速恢復隊形。其算法重點為避障機器人進入避障狀態，暫時脫離隊列，并以虛擬機器人代替避障機器人。

2 多機器人避碰和避障

避障和避碰是多機器人路徑規劃研究中需要考慮的重點問題之一。避障和避碰主要討論的內容有防止碰撞；沖突消解、避免擁塞；如何避免死鎖。在路徑規劃中常見的多機器人避障方法[21]有主從控制法、動態優先法（建立在機器人之間的通信協商上）、交通規則法、速率調整法，以及障礙物膨脹法、基于人工勢場的方法等。

目前國內外對于多機器人避障展開的研究還不是很多，比較典型的有徐潼等人[22]以Th.Fraichard的思想為基礎，擴充并完善了路徑/速度分解方案來協調多機器人，設立集中管理agent進行整體規劃，為每個機器人規劃路徑；并根據優先級規則對運動特征進行分布式規劃以避免機器人間的沖突。周明等人[23]提出分布式智能避撞規劃系統，將原來比較復雜的大系統轉換為相對簡單的子系統問題，由各智能機器人依據任務要求和環境變化， 獨立調整自身運動狀態，完成任務的分布式智能決策體系結構。任炏等人[24]提出了基于過程獎賞和優先掃除的強化學習多機器人系統的沖突消解方法。該算法能夠顯著減少沖突，避免死鎖，提高了系統整體性能。歐錦軍等人[25]提出了通過調整機器人的運動速度實現多機器人避碰，將避碰問題轉換為高維線性空間的優化問題， 并進一步將其轉換為線性方程的求解。該方法的缺點是系統的復雜度較高、計算量太大。

人工勢場方法的特點是計算簡潔、實時性強、便于數學描述，且適合于多自由度機器人環境，但容易產生抖動和陷入局部極小。為了克服其缺點，景興建等人[26]提出了人工協調場的方法，在傳統排斥力場中增加一個協調力，并將吸引力、排斥力和協調力與局部環境下機器人的運動狀態和運動要求結合起來，有效地保證機器人的安全性，提高機器人在復雜動態環境下行為決策的準確性和魯棒性。

3 多機器人協作和協調機制

多機器人間的運動協調[27~31]是多機器人路徑規劃的關鍵，也是多機器人與單機器人路徑規劃相區別的根本所在。多機器人系統在復雜動態實時環境下，由于受到時間、資源及任務要求的約束，需要在有限時間、資源的情況下進行資源分配、任務調配、沖突解決等協調合作問題，而機器人間的協調與協作，能夠大大地提高整個系統的效率和魯棒性，成為系統完成控制或解決任務的關鍵。

目前已有的協調方式分為集中式、分布式和混合式三種。在集中式協調中，集中規劃器詳細地規劃出每個機器人的動作，通常的做法是將多個機器人看做一個多自由度的機器人進行規劃；而分布式協調規劃中，機器人之間進行合作，將一個任務分成多個子任務，根據各自的特點完成不同的子任務，從而共同完成總任務；混合式協調是集中式和分布式混合在一起的形式。

多機器人間典型的協調方法[32]有合同網協議[33]、黑板模型、結果共享的協同方法、市場機制。近年來強化學習在多機器人協作方面也得到很好的應用，陳雪江[32]在基于強化學習的多機器人協作方面展開了研究，提出了多智能體協作的兩層強化學習方法來求解在多智能體完全協作、有通信情況下的協作問題。其主要通過在單個智能體中構筑兩層強化學習單元來實現：第一層強化學習單元負責學習智能體的聯合任務協作策略；第二層強化學習單元負責學習在本智能體看來是最有效的行動策略。陳偉等人[34]提出基于多目標決策理論的多機器人協調方法；通過對環境的拓撲建模，從基于行為的機器人學角度出發，對任務進行分解并設計目標行為，以多目標行為決策理論作為決策支持，從而達到多機器人運動協調的目的。

4 多機器人路徑規劃方(算)法的判優準則

通常評價機器人路徑規劃方(算)法的標準文獻[35]有正確性、時間/空間復雜度、并行性、可靠性、擴展性、魯棒性和學習。而多機器人的路徑規劃除了以上一些衡量標準之外，還需要考慮整個系統的最優化以及機器人間的協調性。

1)正確性 是分析算法的最基本的原則之一。一般來說算法的正確性是指:在給定有效的輸入數據后，算法經過有窮時間的計算能給出正確的答案。但在多機器人路徑規劃算法中，正確性主要指:路徑規劃算法要生成多個機器人協調運動的無碰安全路徑;這條路徑是優化的。

2)安全性 一般指多機器人所生成的各路徑中節點與障礙物有一定的距離。但在實際的應用背景下，有人認為安全性可以從兩個方面來理解：a）狹義地講，它就是機器人在行走過程中所做的功。在一定的條件下，它與路徑長度準則是一致的。b）廣義地講，它是各種優化條件加權綜合而得到的結果。

3)復雜度 一個算法的復雜性高低體現在該算法所需要的計算機資源的多少上面。所需要的資源越多，該算法的復雜性越高；反之，所需要的資源越少，該算法的復雜性就越低。算法的復雜性包括時間復雜度和空間復雜度。

在多機器人的路徑規劃算法中，算法的復雜度分析顯得尤為重要。一般地，單機器人路徑規劃算法的時空復雜度已經頗高，它們的數量級至少是O(n2)；多機器人的路徑規劃算法不僅是m-O(n2)(即m個機器人路徑規劃簡單地疊加)，它們之間還存在著對運動空間競爭的沖突，面對不斷變化的沖突的協調需要花費大量的時間和空間。通常多機器人的路徑規劃算法與機器人的個數呈指數關系O(km×n2)（k為常數）。這對多機器人路徑規劃算法的時間/空間復雜度控制是一個很嚴峻的考驗。

4)并行性 算法的并行性從算法設計、編寫程序、編譯和運行等多個不同的層次來體現。路徑規劃過程需要大量的計算，當處理的環境比較復雜，機器人工作的環境過于緊湊，尤其是機器人數量很多時，算法的時間/空間復雜度勢必會成為算法效率的關鍵。因此，在算法設計和運行上的并行性是通常考慮的方法。對多個機器人的路徑規劃盡量采用分布式多進程的規劃機制，以實現每個機器人路徑規劃的并行性。

5)可靠性 把多個機器人及其工作環境看成是一個系統，多機器人處于它們各自的起始點時，稱該系統處于初始狀態；當它們處于各自的目標點時，稱該系統處于目標狀態。多機器人的路徑規劃就是在該系統的這兩個狀態間建立一串合理的狀態變遷。這一狀態變遷過程可能會歷經許多狀態，如果在狀態變遷過程中，路徑規劃算法控制不好各狀態間的轉移關系，就會導致系統紊亂，出現機器人間的碰撞、找不到路徑等惡性后果，使任務失敗。所以這就對算法的可靠性和完備性提出了挑戰。為了很好地克服這一困難，需要對系統的各種可能狀態建模，分析它們相互間的關系，建立有限狀態自動機模型或Petri網模型，并以此為指導，按照軟件工程的思想，構造恰當的算法輸入來對算法的可靠性進行檢驗。

6)可擴展性 在多機器人的路徑規劃算法中，可擴展性主要是指一種路徑規劃算法在邏輯上，或者說在實現上能否容易地從2D空間擴展到3D空間，從低自由度擴展到高自由度，從較少的機器人數到更多的機器人數。可擴展性在各種路徑規劃算法之間沒有一種量的比較標準，只能從實際的具體情況出發、從對環境描述的適宜程度出發、從算法解決這一問題的復雜度出發、從算法本身的自適應出發等來考慮。

7)魯棒性和學習 魯棒性對于多機器人系統非常重要。因為許多應用，如路徑規劃要求連續的作業、系統中的單個機器人出現故障或被破壞，要求機器人利用剩余的資源仍然能夠完成任務。學習是在線適應特定的任務。雖然通用的系統非常有用，但將它用于特定應用上時，通常需要調整一些參數。具有在線調整相關參數的能力是非常吸引人的，這在將體系結構轉移到其他應用時可以節省許多工作。尤其是多機器人系統中機器人的自身學習和相互間的學習能夠大大提高整個系統的效率和系統的穩定性。

8）最優化 對動態環境有優化反應。由于有些應用領域涉及的是動態的環境條件，具有根據條件優化系統的反應能力成為能否成功的關鍵。

5 結束語

綜上所述，國內外研究者在多機器人路徑規劃取得了一些成果，但是在協作、學習、通信機制等方面仍面臨很大的困難和不足。如何進一步提高機器人間的協調性，增強機器人自身以及相互間的學習以提高多機器人系統的效率和魯棒性都有待深入研究。近年來無線通信技術得到長足發展，但在目前的技術條件下，在多機器人系統中實現所有機器人之間的點對點實時通信還有較大困難，這也是大多數多機器人系統仍然采用集中通信方式的主要原因。因此，如何降低多機器人系統對通信速度的依賴程度也是一個非常重要的問題。

總之，多機器人路徑規劃設計和實現是一項極其復雜的系統工程，展望其能在結合計算智能方法，如差分進化、遺傳算法、粒子群算法、免疫算法、模糊邏輯算法、BP網絡、人工勢場的改進、模擬退火和環境建模方法等方面取得新的突破。

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第6篇：數學建模路徑規劃范文

【關鍵詞】交通建模；路阻函數；參數標定

1 路阻函數的作用

路阻函數包括路段和節點兩部分。

路段流量延誤函數，用于反映不同等級道路隨著路段車流量增加，行程時間延誤的增長規律。

節點的控制延誤及轉向排隊延誤是行程時間延誤中重要部分，是城市模型有別于公路模型的主要區別。在出行時間中，節點的延誤占有一定比重，特別是當節點擁擠或阻塞時，節點延誤可能會遠遠超過路段行駛時間，因此必須對路阻函數進行節點延誤的修正。當轉向在網絡的連線之間發生時，大部分規劃軟件程序允許用戶應用限制規則、處罰和延遲等。

2 路阻函數的模型使用階段

出行分布階段常用的重力模型方法被吸引來的交通量是與小區之間的距離有關。吸引力隨著出行時間降低的變化趨勢的規律，一方面與出行的目的有關，另一方面與出行的方式有關。描述這種趨勢的就是阻力函數。

方式選擇階段常用的Logit模型方法，基于出行距離、車輛擁有條件、出行費用、出行時間、舒適度、可達性等條件。不同方式的延誤時間，影響方式之間的競爭關系。

交通分配階段流量延誤函數是影響車輛隨著路段分配流量增加選擇路徑的主要依據。依據查詢道路網的最短行程時間判斷出行路徑的選擇。

3 節點路段化延誤函數構建

在交通分配模型中，采用的路段流量延誤函數模型有BPR函數、Akcelik函數、錐形擁堵函數以及IITRP函數。

交通模型中通過在節點進口道添加延誤函數的查詢索引，將節點處的控制延誤和停車延誤引入到交通分配中。節點流量延誤函數的形式一般分為兩種：一種是根據城市交通調查統計的按照相交道路等級分類的節點平均延誤（分級式節點延誤），以表格的形式存儲；另一種是根據調查數據統計回歸得到的節點流量延誤函數（聯動式節點延誤），以函數方程的形式存儲。

基于對模型精度、數據處理難易程度、后期維護的考慮，構建延誤函數型式如下式。其中路段延誤參考BPR函數型式，交叉口延誤則按照分段函數的型式。

d―總的延誤時間；

D―路段流量延誤；

I―節點轉向延誤；

Ti―路段零流時間；

αβ―參數值；

x―路段流量；

i―分類分轉向延誤調查數值。

4 調查及參數標定

4.1 調查方法

路段車輛延誤調查的方法主要有跟車法、觀測法、路段調查法等幾種，根據構建的延誤函數型式，路段延誤與節點延誤分開計算，因此路段延誤采用路段調查法。

調查節點延誤的方法主要有停車時間法和行程時間法，根據構建的延誤函數型式，節點延誤滿足與相交道路等級相關的控制延誤和停車延誤即滿足要求，因此調查采用停車時間法。

4.2 參數標定

通過對交通流規律的定性判斷，可以得出兩條基本結論：

（1）在同樣的道路負荷度下，單位長度高等級道路上的行駛時間短，這種差異性在負荷度越大的情況下越明顯。

（2）T=f（V/C）的函數曲線形狀向上彎曲，在BPR函數中的數學條件可以描述為β>1。

本文結合實際工作，提出了微觀擬合、宏觀校核的兩層次參數標定方法，宏觀層次的工作主要是參數的校核，利用微觀層次擬合的特性參數進行交通分配計算，得出城市的機動車出行宏觀指標如平均出行時耗、出行距離以及總體交通負荷度狀況等等，通過對宏觀指標的校核來調整微觀參數的選取。

在參數標定工作流程中以下三個環節是整個工作的重點和難點：

（1）調查數據準確度的保證；

（2）微觀層次參數標定；

（3）宏觀層次模型參數的校核。

5 軟件平臺處理方式

在交通規劃軟件TransCAD中，節點延誤以定義全局的轉向懲罰的形式給出，為確定值。在交通規劃軟件Emme中，節點延誤根據具體節點調用的延誤函數計算延誤值，延誤函數的形式可以是分級式，也可以是聯動式；同時可以相交道路等級的不同進行較為細致的分級。

6 濟南市參數標定及校驗

（1）路段延誤函數

經過對調查數據的觀測處理，得到了近350個路段流量數據和1600個道路瞬時車速數據。根據奇異數據排除原則，將奇異數據排查以后，共得到1800條數據，利用這些數據進行數學擬合以標定模型參數。

標定基本思路如下：

令 ， ，根據BPR函數的形式可以得到：

其中，V―路段機動車流量；

C―路段機動車通行能力；

T―路段機動車行駛時間；

T0―路段機動車自由行駛時間。

根據調查數據分析及國內外參數值得參考，最終結合濟南市實際道路情況，建立7個BPR函數。

圖2不同等級道路BPR函數曲線擬合圖

（2）節點延誤

圖3 交叉口延誤測算匯總

經過對調查數據的處理分析，最終得到各登記道路節點各轉向延誤時間。

（3）參數校驗

分布檢驗

在出行分布校核中，判斷模型標定參數的精度，通常采用卡方檢驗。即需要檢查模型得到的出行距離分布曲線與實際調查得到的出行距離曲線之間的一致性，得到的卡方值與臨界值進行比較，卡方值越小，說明模型標定的結果越符合實際情況。

運用該方法對濟南市的出行分布模型進行校核，可以看出，現狀出行分布模型計算出的出行量與實際調查所得到的出行量擬合較好。

分配檢驗

小客車分配路段流量與路段核查線調查小客氣流量對比R2值為0.97，達到了擬合現狀小客車流量的精度要求。

通過對核查線上路段流量與分配小汽車流量的絕對誤差分析，發現支路以上等級的核查線路段流量與分配流量的絕對誤差值約為10.4%，所有核查線路段流量與分配流量的絕對誤差值約為12.8%。

參考文獻

[1]TransCAD交通需求模型.

[2]Travel Forecasting Model CalibrationReport.

第7篇：數學建模路徑規劃范文

關鍵詞：蟻群算法；數學模型；流程

中圖分類號：TP18 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2013）35-8055-03

1 蟻群算法概述

通過對社會性動物（蟻群、鳥群、蜂群等）的自組織行為進行研究發現，雖然它們的能力和智能都很低，但是它們能通過相互協調、分工、合作來最好最快地完成覓食、遷徙等復雜行為，比如說蟻群，能夠在沒有任何先知條件下找到從蟻穴到食物源的最短路徑，而且有能力隨著環境的變化而變化，搜索到新的最短路徑。因此這些行為引來越來越多研究者關注，通過對這種行為進行數學建模和仿真，演化成許多解決傳統復雜優化問題的新方法，也就是群智能算法。蟻群算法是群智能理論研究領域中的一種主要的算法，其是模擬螞蟻群落食物采集過程而產生的搜索算法，并成功應用于許多離散優化問題。

20世紀90年代意大利學者Dorigo M等人提出蟻群算法[1]，其靈感來自于現實生活中單個螞蟻的能力和智能很低，但在自然界螞蟻的覓食過程中，蟻群總是能在遇到障礙物時選擇較短路徑，尤其是它們在沒有任何先知條件下可以找到從蟻穴到食物源的最短路徑。并且在周圍的環境發生改變的情況下，蟻群也能很快找到新的最短路徑。原來當螞蟻經過一個還沒有走過的路口時，會隨機的挑選一條路徑前進，并且在經過的路上分泌一種稱為信息素的化學物質，而且還能夠感知其存在和濃度。越多螞蟻經過的路徑上的信息素越濃，其它螞蟻就會向信息素濃度高的地方靠近[2]。于是，螞蟻經過越多的路徑，后來的螞蟻選擇的概率就越大。由于信息素具有揮發性，距離較短路徑上的信息素濃度較高，距離較長路徑上的信息素濃度隨著時間會漸漸減弱。如此不斷循環，就可以找到最短路徑。

螞蟻算法是一種群智能優化算法，由于其引入了正反饋和并行機制，該算法具有自主搜索能力，魯棒性強，不需要人工干預，容易與其他方法相結合。雖然螞蟻算法的理論基礎薄弱，但其發展迅速，問世以來就解決了許多實際問題，比如旅行商問題、二次規劃、車輛路徑問題、車間作業調度問題、圖像處理等優化問題，具有廣闊的應用前景，并成為前沿性課題和研究熱點。

2 蟻群算法的原理

在蟻群算法中，為了實現對真實螞蟻覓食的群體行為，將真實螞蟻抽象為人工螞蟻，具有如下特點[1]：

① 能夠像真實螞蟻一樣在經過的路徑上留下信息素，而且使信息素隨著時間揮發，在選擇路徑時不會被前面人工螞蟻留存的信息所局限。

② 人工螞蟻并不能處在連續的空間，而是離散的空間，所以它們的運動也是從一個點到另一個點的轉換。

③ 人工螞蟻具有一定的智能，可以從問題的特征中得到啟發，依據規率而不是僅僅靠概率搜索最優路徑。

蟻群算法包括基本蟻群算法（AS）、蟻群系統（ACS）、最大-最小螞蟻系統、最優-最差螞蟻系統。基本蟻群算法中每只人工螞蟻均獨立的搜索可行解，當它到達一個未曾經歷過的節點時，就會根據概率函數隨機地選擇繼續移動的下一條路徑，并在該路徑上釋放信息素。選擇路徑短的螞蟻走得快，經過的路徑上留下的信息素就多。如此不停地搜索，最優解路徑上的信息素濃度會越來越高，會有更多的螞蟻選擇該路徑，而其他路徑由于信息素會隨著時間慢慢揮發，從而只有最優解路徑的濃度最高，整個蟻群都會集中在該路徑上，并得到最優解。圖1是一個基于蟻群算法的人工螞蟻系統搜索最短路徑的示例圖。

由上面示例可以看出，螞蟻算法是一種隨機搜索算法，其尋優的過程包含兩個階段：一是適應階段，初時信息素相同，隨著信息素不斷的積累，性能好的解的信息素濃度就高，性能不太好的解的信息素濃度就低。在初始情況信息不明的情況下，適應階段會比較漫長，影響了求優的速度。二是協作階段，各個候選解之間不斷地進行信息的交流，不斷地最優解收斂。在適應階段的基礎上，這個階段會較快速。

3 蟻群算法的數學模型

蟻群算法被成功地應用于許多實際問題，其中最著名的是解決旅行商問題。在此以該問題為例說明基本蟻群算法的數學模型和實現過程。

旅行商（TSP）問題又稱為貨郎擔問題，是最基本的路線問題：當有n個城市，一個旅行者由其中某一個需市作為起點出發，需要不重復地經過所以結點后回到原點，求其最短路線。當城市數等于24個時，只需要1s時間就可以計算完成，但隨著城市數增加，計算難度呈幾何級數增大，當城市數增加到30個時，計算時間需要10年多，計算難度很大。在這里用蟻群算法來解決。城市個數用n表示，

2） 規定每只螞蟻選擇的城市必須是不曾到過的，只有到達過所有的城市后才到回到出發城市。所以在這里為每只螞蟻建立一個禁忌表tabuk（k=1，2，…，m），將第k只螞蟻訪問過的城市放入禁忌表中，禁忌表不是固定不變的，隨著第k只螞蟻的運動進行動態調整。

3） 每只螞蟻選擇要訪問的下一個城門需要通過概率函數來實現，概率函數并不是隨機的，而是與兩個城市間的距離和兩個城市間的信息素大小有關的。其概率選擇函數如式（2）。

[β]表示期望啟發式因子，反映螞蟻選擇路徑受啟發函數影響的大小。[β]值越大，啟發函數對螞蟻選擇路徑的影響越大，反之亦然。

隨著時間流逝，路徑上如果遺留的信息素太多就消弱啟發信息的作用，所以在每只螞蟻每訪問完一個城市或者訪問完所有城市后，需要更新信息素。其更新策略為：

5 蟻群算法的特點

通過分析蟻群算法原理并以實際問題建立數學模型并應用，可以得出其具有以下優點：

1） 具有分布式計算和正反饋機制特點。分布式計算能夠實現多臺計算機同時計算，提高了求解速度；正反饋機制增強信息素的作用，能夠較快地搜索到優化解，節省時間。

2） 魯棒性強，只需對模型稍作改動，就可以對其他各類問題進行優化。

3） 為了改善算法性能，較容易與其它啟發式算法結合使用。

4） 個體之間可以進行信息交換，而且通信開銷增較小。

雖然蟻群算法已應用于許多實際問題，而且具有許多優點，但同樣也有缺陷：

1） 該算法的初階搜索時間較長影響了搜索效率。這主要是因為，在初始時刻每條路徑上的信息素是一樣的，只有隨著時間的

增加，在信息正反饋的作用下，才能體現出各條路徑的差別最終求解較優解。但這個過程一般需要的時間比較長，尤其是在求解大規模優化問題時，占用時間很長，影響了效率。

2） 該算法比較容易收斂到局部最優解。這主要是因為正反饋的作用下，加速了信息素的沉積，當還沒有找到全局最優解時，所有個體就可能搜索到了完全一致的解，但這只是局部最優解，而使算法無法再進行進一步的搜索。

盡管蟻群算法具有這樣的缺陷，但只要找到原因還是可以解決的，比如適當增減信息素正反饋影響，與其它算法相結合等等。該文通過對蟻群算法的分析為后期對其改進應用提供了良好的基礎。

參考文獻：

[1] 段海濱.蟻群算法原理及其應用[M] .北京：科學出版社，2005.

第8篇：數學建模路徑規劃范文

【關鍵詞】無人天車 行走路徑優化 障礙物避讓

1 引言

目前國內無人天車市場剛剛興起，以自動控制代替傳統天車工操作天車日漸成為未來發展方向。無人天車多項關鍵技術均掌握在國外公司手中，其中包括天車行走路徑規劃和障礙物自動避讓技術。天車行走路徑的規劃直接影響無人天車的工作效率和行車安全，是無人天車單體動作的重要依據。

2 總體思路

結合現有技術積累和經驗總結，將自動檢測技術、信息化技術相結合，通過對天車無人化自動行走的深入研究、以及對無線通訊、設備狀態檢測、天車三維空間坐標定點、障礙物信息采集、行走路徑規劃和天車設備動作命令等核心技術的研究與突破，形成具有自主知識產權的無人天車行走最優路徑解析系統，提升無人天車路徑規劃能力，杜絕錯誤路徑選擇，提高無人天車工作效率，降低自動行車安全風險。有力提升企業在應用無人天車過程中的核心競爭力。

3 系統構成及實現

為了實現無人天車自動運行，并擁有最優行走路徑，運行高效流暢，提高無人天車工作效率。根據現場實際情況，按照安全第一、保證效率的方針，系統與一級PLC實時通訊，結合一級PLC系統對現場信息采集的優勢，對系統進行模塊化編程，將整個系統分為若干個功能塊。由主程序開始依次調用，以以太網通訊、設備狀態檢測、天車三維空間坐標定點、障礙物信息采集、行走路徑規劃和天車設備動作命令這一流程劃分系統模塊，系統流程圖如圖1所示。

系統采用Oracle數據庫來存儲與管理數據。Oracle數據庫可以很好地實現本系統對數據庫的頻繁訪問，大流量的數據訪問和及時的數據交換。數據庫設計之前，對每一個行走動作均要給定唯一確定的ID。系統數據庫包含五個數據表：設備狀態檢測數據表、天車三維空間坐標定點數據表、障礙物信息數據表、行走路徑規劃數據表和天車設備動作命令數據表。這五個表并不是獨立存在的，而是相互關聯的。天車三維空間坐標定點數據表依賴于設備狀態檢測數據表而存在，行走路徑規劃數據表則隨障礙物信息數據表而變化，天車設備動作命令數據表則完全基于其它四個表而存。

3.1圖形化界面顯示

將系統各個功能數據統一顯示在操作界面中，為中控人員提供數據依據，并實時監控天車工作狀態，如圖2所示。

3.2設備狀態監測

無人天車自動行走監測主要依托大車編碼電纜、小車激光測距、主鉤高度編碼器和天車防撞傳感器，這四種設備的準確可靠是天車自動行走的重要安全保障和數據來源。本系統以50ms的頻率實時掃描這四種設備的工作狀態，并反饋到系統操作界面中。

3.3天車三維空間坐標定點

以大車方向為X軸、小車方向為Y軸、主鉤方向為Z軸、以庫區某一邊角為原點建立無人天車坐標體系，通過以太網通訊從PLC系統獲取天車三維空間坐標定點，經實際位置和坐標位置的地址轉換，計算出當前天車位置坐標和目標位置坐標，并計算出差值，為天車動作提供動作依據和目標。

3.4障礙物數據信息

障礙物坐標中標示出天車將要行進的路途中，需要避讓的障礙物坐標，依據庫區現場情況，劃分障礙物類型，包括綠色行走通道、不可移動障礙物、可移動障礙物、臨時障礙物；依據天車工作狀態分為取卷、放卷。

3.5行走路徑規劃

依據障礙物坐標，根據避讓規則，以天車行走路徑中所遇到的障礙物最近邊角位置為原點做直徑為1米的圓，天車沿圓的切線經過，相切的點即為經由路徑轉折點，由此生成的天車行走路徑即為天車行走路徑。

4 結語

第9篇：數學建模路徑規劃范文

一、校企合作平臺建設

實踐證明，同企業進行可持續的深度合作，需要有高品質的校企合作平臺做支撐。實踐教學基地是目前高校的主要校企合作平臺，各專業在實踐教學過程中充分地、有創意地運用這類平臺進行建設研究。淡化專業界定的開放實驗室或開放實訓中心，不但可支撐相關專業的實踐教學，而且可扶持學生的個性化發展。例如，集電子信息工程、飛行技術、航空設備維修和航空機電維修等專業需要，航空學院同安陽通用航空等五家公司共同建設的電信通訊及設備維護開放實驗室，這些實驗室的建設不僅可提升實驗室教師的育人效果，也可提升實驗室教師的科研水平和對行業的服務能力（設備維護檢修、原材料分析檢測、員工專業知識培訓等）。研發項目和研究成果積淀（包括學生技能大賽成果），是此類實驗室或實訓中心建設的關鍵。與實踐教學基地配合，此類校企合作平臺可強化教師隊伍建設、課程建設和專業建設過程中企業的主導作用，從而不斷提升應用技能型人才培養質量。

二、依托校企合作平臺，實現多種人才培養路徑并舉

為學生鋪就多種可能的成長路徑，構筑多層次發展空間，支持學生根據自身特點和發展志趣自主選擇學習和成長方式，以更好地適應各地對人才的實際需求，形成其辦學特色：一是“冠名班”模式，即按冠名企業需要人才的知識和能力結構，以企業生產、經營或服務的流程，重新配置課程、制定教學計劃，以企業在線任務或在研項目，重新優化教學內容、調整教學方法，企業參與人才培養的全過程，校內外教學資源合理配置、專兼職教師相互支撐，構成一種特定的成長路徑。二是“訂單式”模式，即依據用人訂單，確定企業所需人才需要哪些能力，圍繞這些能力確定需要開設什么課（教什么）、用何種教學技術（怎么教）。這種定向培養構成了另一種成長路徑。學生畢業后可直接上崗就業，是這類成長路徑的優勢。

三、依托校企合作平臺，強化核心課程建設

確定一門或幾門專業核心課程，減少專業課的數量，降低專業課的剛性，通過對核心課程的深度學習，帶動學生對專業知識和專業技能的理解和運用，這是近年來專業建設中的新嘗試。依托校企合作平臺，整合學校和企業的相關教學資源，特別是企業文化和研發項目，專職教師與兼職教師聯手，對于專業核心課程的確定與強化教學，有可能取得新突破。

四、依托校企合作平臺，強化專業群建設

專業群有利于人才、技術和文化在校企之間雙向流轉、交融，因而有益于應用技能型人才培養。如，美術學院和航空學院，聯手安陽攬羽模型公司圍繞航模的研發與應用開展的此類探索，不但有可能提高學生的常規專業水平，而且有可能提升學生在航空模型運動領域里的職業能力與素養。又如，會同安陽城市規劃設計院，建工學院的城鄉規劃專業與美術學院的環境藝術設計專業共同打造中的城鄉規劃設計，可以提升兩專業服務安陽城鎮化建設的能力。顯然，利用校企合作平臺，尋求相關專業間交叉、融合的支撐點，是有意義的專業特色建設新探索。

五、依托校企合作平臺，強化第二課堂建設

研究結果證明，學生參與權威性技能大賽，有助于提升創新意識和創業能力；學生獲取權威性職業資格證書，有助于拉近專業學習與職業發展的距離。筆者所在校的學生在數學建模、沙盤模擬經營、英語辯論等全國大學生賽事中均有不俗的表現，獲取會計證、教師資格證、網絡工程師等有影響的職業資格證書的數量逐年遞增。若圍繞權威性技能大賽，從參賽選題、設計方案到研發過程，充分契合企業需求，充分利用企業條件（包括研究經費），就能顯著提升學生參與技能大賽的興趣與水平；若能同企業充分合作，學生就可能獲得飛機駕駛執照、航空設備維修及機電維修資格證一類更具影響力的職業資格。顯然，依托開放實驗室和實踐教學基地，強化第二課堂教學（包括學生社團活動）效果，專職教師和兼職教師各司其職、分工合作，共同輔助學生提升專業技能和職業素養，也是極有價值的特色專業建設探索。另外，加強校企合作平臺建設，可以給高校帶來多方面益處：一是可以豐富教學內容，改善教學方法，提高學生的實踐能力和創新能力；二是可以促進學產研結合，給學校、企業、政府、學生等多方面帶來共贏。