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第1篇：變分法的基本原理范文

關鍵詞：有限元方法；電動力學；應用

中圖分類號：O442-4 文獻標識碼：A 文章編號：1006-8937（2012）35-0113-02

光量子就是一種“左”和“右”的奇異偏振粒子，由于偏振的對稱或不對稱，而發生光波在干涉過程中的系統偏振化。蘇聯科學家瓦維洛夫設計的許多光學實驗，十分有趣地說明了光的偏振是光學過程的基本現象之一。所有的實驗都表明，光是一種粒子現象，而一切單色的運動的微觀粒子群都表現為粒子的波的本性。

1 電動力學原理

1.1 光量子

電子是一個小旋渦體。光量子是由2個質量相等、自旋相反的電子在小黃道面（E平面）上結合的雙粒子。

以化學鍵結合的電子偶，由于在雙電子中間結合帶，質點所受向心力被抵消，使質點沿圓切線方向被拋出，在反沖力推動下，光量子會沿曲率半徑為無限大的圓“自己運動”，因此，光量子的靜止質量等于零。在處理光量子運動學問題時，可將它比成一個按周期間歇振蕩，在時間與空間中補充燃料質量近似等于噴出燃料質量，自己推進的小火箭。因為光量子是由2個電子在E平面上結合而成的，所以它是偏振的，有EHc。圖1表示電子偶在小黃道面上的物質旋渦運動呈疏密相間的條帶分布（類似太陽系中的小行星環縫）。由于共振效應，雙電子只能停留在各物質環縫上結合。這些環縫是光量子的能級En。處于不同分立能級狀態下結合的雙電子的中心距an不同，其電子的質量虧損也不同。an愈小的光量子有愈大的能級。光量子的能級表征了它特有的固有振動頻率。是每個光量子的固有振動頻率決定了光的顏色，并與光波波長有密切關系。

自旋電子的場的開放性使單個電子很難單獨游離存在，所以，電子團一般都是由偶數個“左”和“右”自旋的單電子在E平面上結合形成的。而由奇數個單電子組成的總自旋角動量不為零的電子鏈條通常是不穩定的衰變粒子團。每一個電子團的固有振動頻率為vc，其中每個電子的瞬時振動速度為光速±C并具有內能mec2。不同的光量子所需外場激發能量不同。在電場中的電子團受電場力被加速。外場所做的功除表現為電子團的動能增加外，由于阻力，所以還表現在對電子團壓縮變形的質量虧損上。因此，在電場中運動的電子團，根據瞬時速度不同，被壓縮的能級狀態也不同。不同能級狀態下的電子團有不同的固有振動頻率vc，恰恰是這個固有振動頻率vn記憶了能量壓縮過程。取在放電管中電子團的固有振動頻率最大值vmax，平均振動頻率v=■，當時v=c，就有下面電動力學的基本方程：

式中，me為單電子的質量，h為普朗克常數。

當在放電管中充滿某種氣體分子，且在氣體第一電離電位臨界點上，氣體電離原子的主振頻率等于電子團的平均固有振動頻率vn時，則發生電子團在共振中被破壞，分散成在一個平面上對稱輻射的2個或3個光量子（單態或三重態），形成最強的線狀光譜的輻射。

1.2 粒子的干涉和光波的內部結構

因為微觀粒子質量很小，粒子之間開放鍵的作用相對很強，所以，任何兩個電子團或光量子，在小夾角的碰撞中都表現為粒子最原始的干涉形式。我們把這種碰撞叫做“吸引碰撞”或“排斥碰撞”。例如，兩個沿同方向，在E平面上以小夾角相遇的光量子，因為互相靠近的電子自旋方向相反則互相吸引，使在“吸引碰撞”后的兩個光量子沿其速度矢量夾角平分線ψ方向運動。而兩個向反方向運動的光量子在E平面上相遇時，由于互相靠近的電子自旋方向相同而發生“排斥碰撞”相互分離。其他各種偏振的、對稱或是不對稱的碰撞形式，讀者可以自己研究。例如，偏振面互相垂直的兩個光量子，相互碰撞就不能發生干涉現象。光量子在干涉或界面反射過程中往往發生系統的偏振化，成為圓偏振光或橢圓偏振光。

在空間中任何按一定平均自由程分布的“單色偏振態相同或相近微觀粒子群”都能發生上述粒子的干涉現象。光波就是由光量子組成的、自己推進的粒子波。在光源的附近就已經發生干涉所形成的光線上，包含著許多長程無序分布的“線波包”。在每個“線波包”內是由光源在一次輻射，經過干涉而聚集的光量子。光量子在“線波包”內排列是有序的，前后兩組光量子之間的距離為 mλ（m是正整數，λ是波長）。

如圖2所示，由一次輻射所分開的兩條相干光線上，當“線波包”之間的光程差小于它本身的長度時，在一定干涉孔徑條件下，兩條光線能夠發生干涉。在圖2中給定的初始條件下，從小孔光源S或S’毫無規律地向任意方向輻射的光量子，只能在與S7或S兩個點的理論波陣面上，光程差L=mλ上各點相遇，相遇后的兩組光量子在干涉后沿其速度矢量夾角平分線上的ψ方向運動，這個方向就是光線干涉后的傳播方向。光波的干涉不是充滿在整個空間的粒子毫無規則的彈性碰撞，而是以“線波包”中光量子相遇的“吸引碰撞”或“排斥碰撞”發生的光量子在光線方向上的集中，這表現為光波能量在干涉過程中的重新分布。

2 有限元法及其在“電動力學”中的應用

有限元法是隨著電子計算機的發展而迅速發展起來的一種現代計算方法。它是20世紀50年代首先在連續體力學領域應用的一種有效的數值分析方法，隨后很快廣泛地應用于求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續性問題。有限元法的基本思想是：在變分法或加權余量法基礎上，采用分塊逼近而形成的系統化的數值計算方法。有限元法的基本原理是：首先將求解區域進行離散化，其次剖分成若干互相連接而又不重疊的一定幾何形狀的子區域，這樣的子區域稱為單元（二維問題的子區域，一般取為三角形區域或矩形區域）。在單元體中選擇基函數，用單元基函數的線性組合來逼近單元中的真解，而總體基函數可以由單元基函數組成。也就是說，有限元方法是根據變分原理和方程余量與權函數正交化原理建立起的積分表達式為出發點，將整個積分區域中的求解函數離散為若干單元區域中的連續函數，再通過單元積分，總體合成為代數方程形式的有限方程。對于二維情況，拉普拉斯方程及邊界關系為：

與有限差分法等其他數值方法相比，有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，但局限性在于只適用于相對小的子域。20世紀60年代初首次提出結構力學計算有限元概念的克拉夫（Clough）形象地將其描繪為：“有限元法——Ray—leigh Ritz法+分片函數”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。與求解滿足整個定義域邊界條件的允許函數的Rayleigh Ritz法（往往是很困難的）相比，有限元法將函數定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數），且不考慮整個定義域的復雜邊界條件，這是有限元法優于其他近似方法的原因之一。由于有限元法的重要應用，現在已經開發出了許多關于有限元法的通用程序與軟件。

與差分法比較，有限元素法的節點配置方式比較靈活，因此適用于處理形狀比較復雜的區域。它的邊界節點完全處在區域的邊界上，從而在邊界上可以給出較好的逼近。當邊界比較復雜的時候，有限差分法是很難處理的，而且誤差也較大，有限元素法還可以根據具體情況的需要，在一部分求解區域中配置較密的節點，而在另一部分求解區域中配置較稀疏的節點，以便在盡量不增加過多的節點總數下，提高計算精度，這些長處是有限差分法很難實現的。當然，差分法采用直交網格，列計算格式比較簡便，而有限元素法由于節點配置比較任意，列計算格式就要復雜得多，不過這些計算格式都可以在電子計算機上自動運算。

參考文獻：

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