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第1篇：高一數學向量公式范文

關鍵詞： 角 余弦 數學 教學

一、教學內容分析

本節內容是高一數學必修4（蘇教版）第三章《三角恒等變換》第一節的內容，重點放在兩角差的余弦公式的推導和證明上，其次是利用公式解決一些簡單的三角函數問題。

在學習本章之前，已經學習了三角函數及向量的有關知識，從而為溝通代數、幾何與三角函數的聯系提供了重要的工具。本章我們將使用這些工具探討三角函數值的運算。本節內容不僅是推導正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎，對于三角變換，三角恒等式的證明，三角函數式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用，而且其推導過程本身就具有重要的教育價值。

二、學生學習情況分析

本節課的主要內容是“兩角差的余弦公式的推導及證明”，用到的工具有“單位圓中三角函數的定義”和“平面向量數量積的定義及坐標表示”，都屬于基礎知識，內容簡單，容易理解和接受。但是在向量法證明的過程中，向量夾角的范圍是[0，π]，與兩角差α-β的范圍不一致，學生對角的范圍說明不清，是本節課的難點。

三、設計思想

教學理念：以“研究性學習”為載體，培養學生自主學習、小組合作的能力。

教學原則：注重學生自主學習與探究能力的培養，體現學生個性的發展與小組合作共性的融合。

教學方法：先學后教，小組合作，師生互動。

四、教學目標

知識與技能：了解用向量法推導兩角差的余弦公式的過程，掌握兩角和（差）的余弦公式并能運用公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值。

過程與方法：自主探究兩角差的余弦公式的表現形式，經歷用向量的數量積推導兩角差的余弦公式的過程，并能獨立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用。

情感態度與價值觀：體驗和感受數學發現和創造的過程，感悟事物之間普遍聯系和轉化的關系。

五、教學重點與難點

重點：兩角差的余弦公式的推導及證明。

難點：引入向量法證明兩角差的余弦公式及兩角差范圍的說明。

六、教學程序設計1.情境創設，課上展示。

課前探究：

課上展示：請同學們展示一下課前所得到的結果吧。

設計意圖：課前以問題串的形式給學生指明研究方向。問題層層遞進，從特殊到一般，使學生的研究具有一定的坡度性。既讓學生容易上手，又讓學生在研究過程中慢慢深入與提高。

主要目的：讓學生自主發現兩角差的余弦公式的表達形式。

通過課上展示，學生把課下研究出來的成果與全班同學共享，產生共鳴，為進一步研究兩角差的余弦公式做好準備，同時增強表達能力及自信心。

2.合作探究，小組展示。

探究一：兩角差的余弦公式的推導

問題4：問題2中我們所得到的結論對于任意角還成立嗎？你能證明嗎？

問題5：觀察我們得到結論的形式，你能聯想到什么呢？

探究二：兩角和的余弦公式的推導

問題6：你能根據差角的余弦公式推導出和角的余弦公式嗎？

問題7：比較差角的余弦公式與和角的余弦公式，它們在結構上有何異同點？

通過小組展示，各個小組之間產生思維的碰撞，迸出火花，得到新的靈感與智慧。從而培養學生團結協作與小組合作的能力。

3.鞏固知識，例題講解。

例1：利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導公式：

例3：化簡cos100°cos40°+sin80°sin40°

設計意圖：教師對各小組展示內容做適當點評，并且對“向量法證明的優點”，“向量法證明過程的完善”，“向量法中向量夾角與兩角差的范圍的統一”做簡要講解。

例1，例2都是公式的直接應用。例1讓學生體會誘導公式將余弦的和差角公式推導出正弦的和差角公式，為下節課埋下伏筆。例2中根據cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的過程都是為推導正弦和差公式，正切和差公式做鋪墊。

變式將例2中具體的角變成抽象的角，利用同角三角函數公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值時，要注意根據角的范圍確定三角函數值的符號。

例3：是公式的逆用，培養學生逆向思維的能力，讓學生對公式結構再認識。

4.提升總結，鞏固練習。

提升總結：針對上面的3個例題，談談你學到了什么？

（2）利用兩角和差的余弦公式求值時，應注意觀察、分析題設和公式的結構特點，從整體上把握公式，靈活的運用公式。

（3）在解題過程中，要注意角的范圍，確定三角函數值的符號，以防增根、漏根。

設計意圖：主要以學生總結為主，老師做適當點評及補充。

七、教學反思

第2篇：高一數學向量公式范文

【關鍵詞】基前提后；空間想象；靈活；融會貫通

工作近兩年來，我先后教了兩批高一，教材都是一樣的，但是面對不同的學生，教法卻有所不同.職業學校的學生生源不是很好，都是擠不進普高門的一些學生，這一批學生基礎不是很好，明顯沒有以前的學生接受能力強，而且學習習慣也不是很好，從而導致學習成績不佳，以致對學習失去了信心，自然也就學不好.現對高一數學教學中的注意點歸納如下：

一、引入新內容，基礎在前，提高在后

在教材中，我們引入了有理指數冪的運算及指數式與根式的互化，這些內容在冪函數、指數函數、對數函數中都能應用到；式的運算中介紹了新公式——立方公式，初中舊知識完全平方公式及其平方差公式，在一些解答題中都需要應用這些知識；在第一章引入集合這個新概念，為后面的函數學習打下基礎，如集合的表示形式在以后的定義域及值域表示中都有所應用，集合的運算在求定義域等方面起到關鍵作用.因此，在基礎部分，我們要把知識理清楚，為后面更好地學習新知識打下堅實的基礎，否則就如空中樓閣，站不住腳.

從集合開始，后面的函數分三塊：函數的基本概念、函數性質及其應用、三角函數.在函數的概念中著重函數的定義域和值域；函數性質中著重指數函數和對數函數的性質及函數的奇偶性；三角函數主要將三角與函數聯系起來，既要熟記公式，又要討論它們的性質，并會進行一些簡單的應用.函數向來是高中數學中的重點，但是學生由于在初中學得不是很好，有一定的畏懼感，對新概念理解不是很透徹，所以很多學生光會記公式，但不知道如何應用及哪些地方要用到這些公式.在教學過程中要適當地引入數形結合的思想，在圖形展示后自覺地找到解題的方法.在學習的過程中要多看多練多總結.從概念開始，后面的學習對于學生來說是越來越難，如果在前面部分沒有打好基礎，那么在以后的學習中學生就會越學越沒信心，最終放棄學習.在基礎部分要多做工作，打好基礎，在提高部分的學習中要抓住重點，提高效率，精講精練.對一些經典題型要掌握其解題要領，必要時需將解題步驟一一列舉，加上相應的題目進行理解總結.

二、立體幾何對學生空間想象能力有較高的要求

在學習立幾時，明顯感覺到學生聽得云里霧里的，就只有老師一個人在講臺上唱獨角戲，學生思維形式單一，有點思維定式，想問題不是很全面.在傳授一些定理性質時我盡量多拿教室做模型、打比方，或者讓學生自己學著做模型，自己感受其中的空間感，讓學生在教室中感覺到其中的一些關系等，但是學生不是很領情，依然我行我素，想不到教室里這么多模型擺在眼前，更談不上應用了.因此，我們在教學中鼓勵學生自己做模型，有的同學用廢紙卷成線，或者有些同學從飯店要了些一次性筷子做模型，等等，在制作模型的過程中感受其中的關系，同時又促進學生團結合作.在三視圖畫圖部分給出具體的做法和步驟，但是學生左耳進右耳出，聽得不認真，又比較懶，不做筆記，布置的作業也是講過后把答案做好才行，不是很喜歡動腦子，都等現成的.懶惰導致學生成績不斷下降，進而對數學失去興趣.因此須要成立小組，由小組長來督促組員完成布置的任務.在立體幾何中應多找些模型，讓學生切身體會一下，有時間還應讓學生自己制作一些模型，供大家使用.多練習一些題目，多想想練練，相信會有所提高.在一些典型的問題上對其解題步驟進行詳細說明.如求直線與平面所成的角，首先要確定直線與平面的交點即斜足，然后找平面的垂線，且垂線與直線有交點，垂足和斜足的連線即為直線在平面內的射影，則直線與射影所成的角即為直線與平面所成的角，求角時將其放于直角三角形內.區分幾種角的求法、距離的求法等.學會證明一些平行或垂直的關系.這些在立幾題中很常見，內容學習結束后，還應對一些綜合題進行訓練和學習，并進行相應的總結和歸納.

三、活學活用，融會貫通

第3篇：高一數學向量公式范文

數學教學中"引導學生學會學習"的教學策略肖淑如

從課例看數學方法的引入教學王智明

觀察、分析、探索--從一道習題的教學看學生的能力培養歐陽雪山

優化思維品質培養運算能力徐繼繼

高中數學第五章《向量》教學目標初探中學數學研究 徐元根

關于高中數學新教材第一冊(上)(試驗修訂本)的幾點意見與建議任禮兵，尹廣金

關聯四個不等式的一個幾何"鏈"李建潮

三個幾何不等式的討論宋慶，王慶龍

一個十分有用的恒等式賈士代

內莫萊三角形的又一組對偶性質劉立春

構造函數的幾種方法周睿

一道高考題結論的推廣及應用王興林

一組三角恒等式的復數證法及應用鄒九生

淺談數學解題中的整合策略劉偉忠

關于一道最值題的多向思考任貴海，可潤娥

不等式證明中易犯錯誤例析方精忠

創設有效引入情境打造高效數學課堂吳佑華

數學課堂語言運用淺談李芹，張子路

用批判性思維來創新設計教學任方成

對一組條件不等式的解答、修正與推廣劉才華，王長憲

一個優美不等式的簡證與再推廣中學數學研究 徐彥輝

分式不等式中幾個美麗的姐妹花田富德

三角形面積比的一個定理及其推論毛浙東

一組優美的加權不等式之統一與簡證李馴洪

橢圓內接三角形一個性質的簡證及推廣王伯龍

一道課本習題的探究及有趣結論的發現林金來

創新題因創造性解法而精彩——兩道"存在型"高考創新題的解法探討鄒生書，劉江波

中檔題的思路突破朱宗芳

高考題中的一類定值、定點問題的求解方法夏錦

培養思維策略活用數形結合——以2009年浙江高考數學(文)22題為例徐颯

用基本量方法破解平面幾何問題吳濤

聚焦構造法在立體幾何中的運用康小峰

一道高考題的探究性學習姜軍

探究一道高考選擇題鄧贊武，章勇

解讀簡易邏輯易錯點張得南

四類易混淆的"對稱問題"白煥，馬文杰

錯在哪里楊劍

一道IMO試題的類比拓廣及簡解薛相林

一道聯賽預賽題的二種解法胡生淼

目標分類學視角下的一類培養學生評價能力的代數題董濤

新課程理念下"學生數學活動"的有效教學問題與思考殷偉康

中學數學課堂教學效能課題研究中學數學研究 孫迪青

對新課程理念下數學思想方法教學的幾點思考高美玲，趙榮夫

初高中數學教學銜接中的問題與對策楊垣紅

"不等式選講"一道例題的教學設計陸建根

一個猜想的推廣和證明谷煥春

一個不等式猜測的完善及證明鄒生書，尹顯模

定點張定圓上兩點向量內積的取值范圍李世臣

橢圓離心率的背景探求鄢旭春

一道摸底試題的探究邱禮明

一道高考試題的探究及其背景吳軍

管中窺豹洞若觀火——與數列有關的不定方程的整數解問題初探林偉民

一類無理函數的值域求法再探討馬先亮

一個不等式的又一個簡捷證明王耀輝

構造單位圓及其切線巧妙解題的若干范例陳明娟HtTp://

整體代換法證分式不等式例說陳秀群，姜坤崇

平面向量與三角形的"心"楊海生

求二次曲線中的直線斜率分類解析陳華安

構造雙曲線解題黃俊峰，袁方程

淺析解幾最值問題朱冬平，徐益萍

例析函數不等式的求導處理及對策楊利剛

一道概率題的拓展與證明鮑瑞華

一道全俄《2008-應屆中學生》奧林匹克試題別解陳玉奇，陳宇

淺談數學概念教學中思維品質的培養陸潔清

緊抓要點,實現數學課堂的有效教學李文斌

四"度"高中數學新教材陳敏

為什么高一數學這么難學?王純旭

一個不等式猜想的證明及推廣周斌

一個漂亮不等式的再推廣徐娜，陳宇

關于三角形中圓的幾個等式與不等式馮仕虎

兩道不等式習題的比較研究有名輝

一個分式不等式的變式與再推廣王增強

阿基米德三角形初探殷加興

對二次曲線"焦弦定理"的商榷及其幾何證明中學數學研究 耿合眾

運用辯證思想提升解題素養邵賢虎

巧用定比分點解決代數問題劉瑜，張光榮

數學中的減元策略探究朱勝強

例談函數解析式求解的類型與方法程澤兵

高考中函數最值的應用熊志遠

從一道全國高考題看不等式f(x,a)》0對x∈A有實數解求a取值范圍問題的解法孫志祥

從09年四川高考理22題看不等式恒成立問題的解法熊福州，張玉彬

不等式證明在數列中的應用鄧國平

導數與數列型不等式的整合林明成，姚智銘

一道數學題的探究、歸納與應用——平面直角坐標系中的平行四邊形陳英逢

運用逆代法簡求圓錐曲線切線方程方冬金

集合題型常見錯誤例析牛永紅，李生坪

一道習題引發的探究吳海燕

新課程背景下初中數學課堂教學的實效性探索王俊

一個漂亮不等式的推廣何智

由點的位置引發的探究黃漢橋，蔡青

一組比值為離心率的有趣性質林佩芬

由一道高考題引出的圓錐曲線的一個有趣性質杜飛飛

高考試題中的高等數學背景探析及應對策略黃妮，李娟，梁艷，彭家寅

"兩邊夾逼"策略助你突破思維瓶頸阮士杏，鄒生書

一道新課標高考題的教學思考王莉娟，厲倩

一節習題課"意外"引發的思考邵賢虎

共面向量定理的推論及運用石亮

一道模擬試題的幾何背景及推廣中學數學研究 劉吉存

直線上兩點間距離公式的應用舉例劉凡俊，李登有

一道不等量的幾何問題及其引申應用張秀昌

一道排列組合題的拓展黃俊峰，袁方程

即學即考型中考試題賞析劉鑫

走出"一題多解"教學的三個誤區阮偉強

第4篇：高一數學向量公式范文

一、注重理解數學符號的意義

從客觀上看，數學中大量的概念、公理、定理、法則等等是由符號來表示的。概念、公理、定理、法則等本身就是從眾多規律、現象中概括總結出來的，勢必會很抽象，而符號又是這些概念、定理的外在的表現形式，因此從某種意義上說更加抽象。要使學生能夠接受并理解這種高度抽象性的符號，教學時就必須采用生動有趣、通俗易懂的語言，從具體的描述性語言開始，逐步抽象成比較簡約的語言。讓學生認識數學研究中引進符號的必要性和優越性，理解數學概念及其符號表示，明確符號的條件，熟練掌握符號變換的規則。理解數學符號的意義需要經歷從具體到抽象，再從抽象到具體的認識過程。

1.使學生經歷概念的符號化過程，促進學生認識引進符號的必要性和優越性

我們知道數學符號的學習需要一個漸進的過程，使學生在經歷概念的符號化過程中逐步感受引進符號的必要性和優越性，首先，讓學生從心理上去接受數學符號；其次，從大量的具體的數字開始，逐步抽象概括為用字母表示，幫助學生完成從感性到理性的過渡，這可以有效地減少學生接受的困難程度。

2.重視對比、辨析，促使學生認識數學符號的本質

要引導學生將新的數學符號與相關的舊知識進行對比，分析它們的聯系與區別。

3.注意數學符號的隱含意義

由于數學符號常常與特定概念聯系在一起，是概念的形式化表征，往往具有一定的使用條件，要引導學生注意數學符號的隱含意義。

4.注意某些數學符號的多義性

在數學的歷史發展的過程中，某些數學符號被賦予了許多意義，如果不準確理解和判斷其本質含義，就會出現推理和證明上的混亂。例如，有序數對（a，b）就是具有多義性的一種數學符號，它可以表示直角坐標系中的一個點，也可以表示一個向量的坐標，還可以表示一個開區間，初中還用它來表示a，b的最大公約數。

5.使用大量豐富的背景材料促使學生理解數學符號的內涵

對數學符號內涵的理解，就是要建立簡約化的數學符號與其所表征的數學內容的聯系。在其中我們既要注意概念與實際對象的聯系，又要注意概念與相應符號的聯系，引導學生理解每個符號的含義與實質。

二.數學符號的掌握需要一個長期滲透與使用的過程

1.注意后續的掌握需要一個長期滲透與使用的過程

學生在學習了數學符號后，即使當時已經理解了符號的含

義，若在后續學習中長期不加使用，就會逐漸淡忘數學符號的含義。比如對數符號及其運算公式，特別是常用對數與自然對數符號更容易忘記。還有些數學符號的內涵理解需要在后續的學習與練習中去反復強化，要引導學生把符號與其所表征的內涵緊密聯系在一起，提升對符號的整體認識。

2.在后續學習中注意實現符號語言與自然語言的互譯

用符號化的語言表達問題，對正確理解題意、理清解題思路、進行思維推理非常重要。使用數學符號語言可使數學思想的表述與交流更方便，同時也可使問題的實質得到揭示。這里包括兩個方面的問題：①將自然語言改用符號語言來表示，例如，自然語言“函數f（x）是個偶函數”可用符號語言表示為“f（x）=f（-x）”；自然語言“y=f（x）的圖象恒在直線y=kx+1上方”可用符號語言表示為

“f（x）>kx+1恒成立”；自然語言“函數y=f（x）與函數y=g（x）交于點A（x1，y1）”可用符號語言表示為“f（x）=g（x）”等等。②需要在數學教學中反復將符號還原為其原來的含義。例如，符號“f（2-x）=f（2+x）”的含義是函數f（x）的圖象關于x=2成軸對稱；f（a）f（b）

第5篇：高一數學向量公式范文

關鍵詞 承載力；生態承載力；可持續發展

中圖分類號 F062.2

文獻標識碼

文章編號

生態環境是人類生存和發展的基本條件，是經濟、社會發展的基礎。20世紀以來，隨著科學技術的進步和社會生產力的發展，人類開發利用自然資源的能力空前提高。一方面，人類創造了前所未有的物質財富，促進了社會經濟的進步和繁榮；然而另一方面，人類對生態環境的壓力越來越大，人口劇增、資源過度消耗、環境污染和生態破壞等問題已成為威脅人類生存和發展的全球性問題。這些問題的出現引起了人們對資源消耗與供給能力、生態破壞與可持續問題的思考。綜合分析，生態破壞的明顯特點是生態系統的完整性遭到損害，從而使生存于生態系統之內的人和各種動植物面臨生存危險。為此，許多科學家呼吁，保持生態系統的完整性，控制人類的活動在生態系統承載力范圍之內，是實現系統與區域可持續發展的最基本和首要條件。于是許多學者從系統的整合性出發，提出了生態承載力的概念，認為只要人類對自然系統的壓力處于地球生態系統的承載力范圍內，地球生態系統就是安全的、人類經濟社會的發展就處于可持續的范圍內。

承載力最初被引進區域系統是在生態學中的應用，其含義是在某種環境條件下，某種生物個體可存活的最大數量的潛力[1]，在實踐中的最初應用領域是畜牧業。隨著人地矛盾不斷加劇，承載力概念發展并應用到自然――社會系統中，提出了土地資源承載力概念，即在一定生產條件下土地資源的生產力和一定生活水平下所承載的人口限度。70年代以后，人口、經濟、資源與環境等全球性問題日益突出，人口承載力、資源承載力、環境承載力、水資源承載力、礦產資源承載力的研究也應運而生。1986年，Catton定義了“環境承載力”的概念，后來國外很多學者把它引申為生態承載力并定義為“在一定區域內，在不損害該區域環境的情況下，所能承載的人類最大負荷量”。90年代初，加拿大生態經濟學家William和Wackernagel提出“生態足跡”(Ecological Footprint)的概念，使承載力的研究從生態系統中的單一要素轉向整個生態系統[2-3]。與此同時國外對于生態承載力的研究，也逐漸從靜態轉向動態，從定性轉為定量，從單一要素轉向多要素乃至整個生態系統，對于生態承載力的概念也日趨完善。我國在總結吸收國外經驗教訓的基礎上對承載力進行了研究。任美鍔先生是我國最早注意到承載力研究重要性的學者。在40年代末任美鍔先生通過對四川省農作物生產力分布的地理研究，首先計算了以農業生產力為基礎的土地承載力。1986年中科院綜考會等多家科研單位聯合開展的“中國土地生產潛力及人口承載量研究”是我國迄今為止進行得最全面的土地承載力方面的研究[4]。隨著研究的深入，80年代末，我國承載力研究大多不再局限于某一種資源，而是更強調綜合性，如資源與環境綜合承載力、地理環境人口承載潛力、生存空間的人口承載力、區域承載力等。近年來，關于生態承載力的量化方法的研究日益興旺，提出了一系列觀點，主要研究者為王家驥和高吉喜[5-6]，主要成果為黑河流域生態承載力的研究。承載力概念的演化與發展，體現了人類社會對自然界的認識不斷深化，在不同的發展階段和不同的資源條件下，產生了不同的承載力概念和相應的承載力理論。

1 概念與內涵

在環境污染蔓延全球、資源短缺和生態環境不斷惡化的情況下，科學家相繼提出了資源承載力、環境承載力、生態承載力等概念。資源承載力是基礎、環境承載力是關鍵、核心，生態承載力是綜合[7]。

1.1 資源承載力

資源承載力是指一個國家或地區資源的數量和質量，對該空間內人口的基本生存和發展的支撐能力。資源承載力是一個相對客觀的量。目前有關資源承載力的研究主要集中在自然資源領域，其中土地資源承載力的研究歷史較長，取得的成果也較多。同時由于不同的側重點和對象，出現了水資源承載力、森林資源承載力等的多種承載力[8]。①土地資源承載力。土地承載力是近20年來資源、人口、生態環境等許多領域的熱點問題[9]。它是繼60～70年代能源危機、糧食短缺以及人炸等人類面臨的重大問題提出之后，所開展的一項務實的研究工作。中國科學院綜考會為土地資源承載力所下的定義是“在一定生產條件下土地資源的生產力和一定生活平下所承載的人口限度”[10]。②水資源承載力。自20世紀80年代末以來，許多專家、學者或課題研究組織對水資源承載力概念予以定義。一般認為：水資源承載力是在特定的歷史發展階段，以可持續發展為原則，以維護生態良性發展為條件，以可預見的技術、經濟和社會發展水平為依據，在水資源得到適度開發并經優化配置的前提下，區域(或流域)水資源系統對當地人口和社會經濟發展的最大支持能力[11]。也有的將其定義為在一定的技術經濟水平和社會生產條件下，水資源可最大供給工農業生產、人民生活和生態環境保護用水的能力[12-13]。對于水資源承載力，必須強調水資源對社會經濟和環境的支撐能力。它的主要涵義和內容有：第一，強調水資源承載力是水資源對生態經濟系統良性發展的支持能力；第二，強調生態經濟系統的良性發展；第三，強調合適的管理技術，將水資源承載力的合理配置等技術方面的問題，上升到管理的角度和層次[14]。③森林承載力。森林承載力的理論研究和實踐應用都始于20世紀90年代初，目前尚處于探索階段，它的研究是資源承載力研究的深入和發展。森林資源承載力研究是協調人口、環境保護，森林資源消耗與經濟社會發展的關鍵。森林資源承載力是指在某一時期，某種狀態下，一個國家或地區的森林資源在保證其生態系統結構和功能不受破壞所能承受人類活動作用的閾值[15]。吳靜和采用的是森林資源承載能力的概念，并將其定義為：“森林資源承載能力是指在一定生產條件下森林資源的生產能力及其在一定生活水平下可以承載的人口數量[16]。” ④相對資源承載力。相對資源承載力由土地承載力擴展而成，它將資源劃分為自然資源、經濟資源和社會資源，考慮到人是社會系統的主要組成因子，是承載力的承載對象。因此，相對資源承載力即是將自然資源和經濟資源作為主要的承載資源，以一個參照區域作為對比標準，根據參照區域的人均資源的擁有量或消費量、研究區域的資源存量，計算出研究區域的自然資源和經濟資源的承載能力[17]。

1.2 環境承載力

環境承載力從廣義上講，指某一區域的環境對人口增長和經濟發展的承載能力。從狹義上講，即為環境容量。關于環境承載力目前大致主要有3種定義方式：①從“容量”角度的定義，環境容量是指環境系統對外界其它系統污染的最大允許承受量或負荷量。主要包括大氣環境容量、水環境容量等[18]。環境容量具有客觀性、相對性和確定性的特征。如高吉喜[5]在《可持續發展理論探索》一書中指出“環境承載力是指在一定生活水平和環境質量要求下，在不超出生態系統彈性限度條件下環境子系統所能承納的污染物數量，以及可支撐的經濟規模與相應人口數量”。②從“閾值”角度的定義，如“環境承載力是指在某一時期，某種環境狀況下，某一區域環境對人類社會經濟活動的支持能力的閾值[19]”。中國大百科全書[20]中，環境承載力的定義是“在維持環境系統功能與結構不發生變化的前提下，整個地球生物圈或某一區域所能承受的人類作用在規模、強度和速度上的限值”；郭秀銳等[21]學者認為“環境承載力是指在一定時期、一定狀態或條件下，一定環境系統所能承受的生物和人文系統正常運行的最大支持閾值”。它不僅體現了環境系統資源的價值，而且還突出了環境系統與生物和人文系統間的密切作用關系。環境承載力具有客觀性、相對性、可調性和隨機性的特征。③從“能力”角度的定義，彭再德[22]等學者將環境承載力定義為：“在一定的時期和一定區域范圍內，在維持區域環境系統結構不發生質的改變，區域環境功能不朝惡性方向轉變的條件下，區域環境系統所能承受的人類各種社會經濟活動的能力”；Schneider[23]強調，“環境承載力是自然或人造環境系統在不會遭到嚴重退化的前提下，對人口增長的容納能力”。環境承載力與環境容量有所不同。環境承載力強調的是環境系統資源對其中生物和人文系統活動的支撐能力，突出的是其量化測度；而環境容量則強調的是環境系統要素對其中生物和人文系統排污的容納能力，突出的是其質地衡量。環境容量側重體現和反映環境系統的純自然屬性；而環境承載力則突出顯示和說明環境系統的綜合功能(生物、人文與環境的復合)[24]。

1.3 生態承載力

高吉喜[25]在研究黑河流域生態承載力時將生態承載力定義為：生態系統的自我維持、自我調節能力，資源與環境子系統的供容能力及其可維育的社會經濟活動強度和具有一定生活水平的人口數量；并指出資源承載力是生態承載力的基礎條件，環境承載力是生態承載力的約束條件，生態彈性力是生態承載力的支持條件。對于某一區域，生態承載力強調的是系統的承載功能，而突出的是對人類活動的承載能力，其內容應包括資源子系統、環境子系統和社會子系統，生態系統的承載力要素應包含資源要素、環境要素及社會要素。所以，某一區域的生態承載力概念，是某一時期某一地域某一特定的生態系統，在確保資源的合理開發利用和生態環境兩性循環發展的條件下，可持續承載人口數量、經濟強度及社會總量的能力[26]。張傳國[27]在“干旱區綠洲系統生態――生產――生活承載力相互作用的驅動機制分析”一文中，則認為綠洲生態承載力是指綠洲生態系統自我維持、自我調節能力，在不危害綠洲生態系統的前提下的資源與環境的承載能力以及由資源和環境承載力所決定的系統本身表現出來的彈性力大小，通過資源承載力、環境承載力和生態系統的彈性力來反映。程國棟[28]在對西北水資源承載力進行研究時認為：生態承載力是指生態系統所提供的資源和環境對人類社會系統良性發展的一種支持能力，由于人類社會系統和生態系統都是一種自組織的結構系統，二者之間存在緊密的相互聯系，相互影響和相互作用，因此，生態承載力研究的對象是生態經濟系統，研究其中所有組分的和諧共存關系。王家驥[6]先生認為生態承載力是自然體系維持和調節系統的能力的閾值。超過這個閾值，自然體系將失去維持平衡的能力，遭到摧殘或歸于毀滅，由高一級的自然體系(如綠洲)降為低一級的自然體系(如荒漠)。生態承載力僅僅體現在生態系統的支持層，方創琳等綜合表現層的生產承載力和生活承載力，發展了生態――生產――生活系統承載力(三生承載力)。三生承載力是指區域資源與生態環境的供容能力、經濟活動能力和滿足一定生活水平人口數量的社會發展能力的有機綜合體[29]。

2 估算方法

對于承載力的量化，國內外提出了許多直觀的、較易操作的定量評價方法及模式。

2.1 生態足跡法

生態足跡分析法(Ecological footprint analysis)是1992年加拿大生態經濟學家william Rees和其博士生wackernagel提出的一種度量可持續發展程度的生物物理方法，即基于土地面積的量化指標。將其定義為：任何已知人口的生態足跡是生產這些人口所消費的所有資源和吸納這些人口所產生的所有廢棄物所需要的生物生產土地的總面積和水資源量。生態足跡分析法從需求面計算生態足跡的大小，從供給面計算生態承載力的大小，經對二者的比較，評價研究對象的可持續發展狀況。生態足跡計算模型：任何個人或區域人口的生態足跡，應該是生產這些人口所消費的所有資源和吸納這些人口所產生的廢棄物而需要的生態生產性土地的面積總和[30]。在計算中，不同的資源和能源消費類型均被折算為耕地、草地、林地、建筑用地、化石燃料用地和水域六種生物生產土地面積類型(這六種土地類型在空間上被假設是互斥的)。考慮到六類土地面積的生態生產力不同，因此將計算得到的各類土地面積乘以一個均衡因子。生態足跡法從一個全新的角度考慮人類及其發展與生態環境的關系，通過跟蹤區域能源與資源消費，將它們轉化為這種物質流所必需的各種生物生產土地的面積，即人類的生物生產面積需求。在計算生態足跡的思路上，將現有的耕地、牧地、林地、建筑用地、海洋的面積乘以相應的均衡因子和當地的產量因子，就可以得到生態承載力。為了便于直接對比，將不同國家或地區的某類生物生產面積所代表的局部產量與世界平均產量的差異，即“產量因子”來調整。處于謹慎性考慮，在生態承載力計算時，還應扣除12%的生物多樣性保護面積。計算公式如下：

其中，i為消費商品或生產生物的類型；cci為第i種消費商品的生產足跡；aci為第i種消費商品的消費總量；pi為第i種商品的生物生產單位面積產量；epi為第i種生物資源的生產足跡；aei為第i種資源生物生產總量；wi為第i種消費品或生物資源土地類型生產力權值；EF為某一地區的生態足跡總量；EC為地區生態承載力供給。

生態足跡研究法是近年來提出并應用于評價生態承載力的一種新方法，得到眾多學者的肯定和采用。生態足跡的概念于1999年引入我國，楊開忠和張志強等分別介紹了生態足跡的理論、方法和概念及計算模型；徐中民等計算了甘肅省1998年的生態足跡；陳東景等分析了中國西北地區的生態足跡；張志強等對中國西部12省(區)的生態足跡進行了研究分析，徐中民對張掖地區1995年的生態足跡進行研究。上述研究多側重于理論和方法的介紹，并以某一年的斷面資料進行分析，尚未進行更系統動態的研究。如徐中民等對張掖地區1995年的生態足跡研究結果是人均生態足跡赤字0.34hm2，但從哪一時段開始出現生態赤字的并未研究[31-35]。此方法直觀，簡便但多側重于理論和方法的介紹，有一定的局限性，一般以某一年或特定幾年的斷面資料進行分析，缺少系統動態的研究，計算中缺少處理可降解物質的生物生產面積和由于水資源所造成的附加的生態足跡面積，所以計算結果是樂觀的最小值。

2.2 自然植被凈第一性生產力測算法

植被凈第一性生產力是植物自身生物學特性與外界環境因子相互作用的結果，它是評價生態系統結構與功能特征和生物圈的人口承載力的重要指標，它反映了某一自然體系的恢復能力。地區性乃至世界性生物生產力及其空間分布的知識，能使人類得以從宏觀區域上作出如下估計：潛在的糧食資源的地理分布，人為提高區域性生產力水平的限度，不同國家和地區可能和現實的生產力水平，即區域生態系統的最大容納量等[36]。雖然生態承載力受眾多因素和不同時空條件制約，但是，特定生態區域內第一性生產者的生產能力是在一個中心位置上下波動的，而這個生產能力是可以被測定的。同時與背景數據進行比較，偏離中心位置的某一數值可視為生態承載力的閾值，這種偏離一般是由于內外干擾使某一自然體系變化為另一等級自然體系，如由綠洲衰退為荒漠，由荒漠改造成綠洲。因此，可以通過對自然植被凈第一性生產力的估測確定該區域生態承載力的指示值，而通過實測，判定現狀生態環境質量偏離本底數據的程度，以此作為自然體系生態承載力的指示值，并據此確定區域的開發類型和強度。由于對各種調控因子的側重及對凈第一性生產力調控機理解釋的不同，世界上產生了很多模擬第一性生產力的模型，大致可分為三類：氣候統計模型、過程模型和光能利用率模型。我國的凈第一性生產力研究起步較晚，研究過程中一般采用氣候統計模型[37]。國內應用較多的模型是采用周廣勝、張新時根據水熱平衡聯系方程及植物的生理生態特點建立的自然植被的凈第一性生產力模型，即：

式中：RDI為輻射干燥度；r為年降水量(mm)；NPP為自然植被的凈第一性生產力[t/(hm2.a)]；PER為可能蒸散率；PET為可能蒸散量(mm)；BT為年平均生物溫度(℃)；t為小于30℃與大于0℃的日均值；T為小于30℃與大于0℃的月均值。

王家驥，姚小紅等以黑河流域為例，認為利用自然植被的凈第一性生產力數據可以反映自然體系的生產能力和受內外干擾后的恢復能力，是自然體系生態完整性維護的指示[6]。李金海分析了大陸典型生態系統凈第一性生產力的背景值，研究了確定自然系統最優生態承載力的依據，并提出了提高區域生態承載力，實現區域可持續發展基本對策，并據此計算了河北豐寧縣的生態承載力[38]。

2.3 供需平衡法

區域生態承載力體現了一定時期、一定區域的生態環境系統，對區域社會經濟發展和人類各種需求(生存需求、發展需求和享樂需求)在量(各種資源量)與質(生態環境質量)方面的滿足程度。因此，衡量區域生態環境承載力可以從該地區現有的各種資源量(Pi)與當前發展模式下社會經濟對各種資源的需求量(Qi)之間的差量關系[如(Pi- Qi)/Qi]，以及該地區現有的生態環境質量(CBQIi)與當前人們所需求的生態環境質量(CBQIi)之間的差量關系[如(CBQIi)-CBQIi/CBQIi]入手[7]。如果該差值大于0，表明研究區域的生態承載力在可承載范圍內；該差值等于0，表明研究區域的生態承載處于臨界狀態；該差值小于0，表明研究區域的生態承載力超載。該方法需要建立一套指標體系，包括社會經濟系統類和生態環境系統類(包括環境資源與環境質量)指標。該方法只能根據人口變化曲線求出未來年的人口數，然后分別計算其需求量，判斷該值是否在研究區域的承載力范圍之內，而不能計算出未來年的確切承載力值；而且，該方法并不能表現出研究區域內的社會經濟發展狀況以及人類的生活水平。結合完整的指標體系，依據這種差量度量評價方法，王中根等人對西北干旱區河流進行了生態承載力評價分析，證明此方法能夠簡單、可行地對區域生態承載力進行有效的分析和與預測[39]。

2.4 狀態空間法

所謂狀態空間法，本質上是一種時域分析方法，它不僅描述了系統的外部特征，而且揭示了系統的內部狀態和性能。狀態空間是歐式幾何空間用于定量描述系統狀態的一種有效方法，通常由表示系統各要素狀態向量的三維狀態空間軸組成[40]。在研究生態承載力時，三維狀態空間軸分別代表人口、經濟社會活動、區域資源環境，空間中的點為承載狀態點，不同的點表示不同情況下的承載狀態[41]。利用狀態空間法中的承載狀態點，可表示一定時間尺度內區域的不同承載狀況。利用狀態空間中的原點同系統狀態點所構成的矢量模數表示區域承載力的大小。由承載狀態點構成承載曲面，高于承載曲面的點表示超載，低于承載曲面的點表示可載，在承載曲面上的點表示滿載。應用狀態空間法可以定量的描述和測度區域承載力及其承載狀態。近年來，狀態空間法逐步推廣并成功的運用到軍事、生物醫學、社會經濟及人類生活等諸多領域，并且有廣闊的發展前景[42]。

2.5 模型預估法

隨著承載力研究的日趨深入，特別是在計算機的支持下，各種數理模型進入該領域，有從早期的線性規劃模型到現在廣泛應用的系統動力學模型、模糊目標規劃模型、門檻分析模型、層次分析模型，等等。如美國科學家Maclon Sleaser等提出的承載力估算的綜合資源計量技術(ECCO)是一種系統動力學模型的應用。應用數學模型模擬估測承載力極大地提高了承載力研究的定量化水平和精確程度，促使承載力研究的綜合與深入[43]。經常使用的生態承載力計算模型主要有：

分類統計法：把研究區域內的土地分為多種類型，每一種類型的土地假定一個最高的可支持人口密度，計算出每一種類型土地的支持人口數，然后匯總得出區域可支持的最大人口數量。

比較密度法：法國地理學家貝拉克提出。比較密度是指單位面積農用土地上的平均人口數。農用土地包括耕地、多年生植物和可利用草原牧場。

趨勢外推法：趨勢外推法是長期趨勢預測的主要方法。它是根據連續性原理，依據時間序列的發展趨勢，配合合適的曲線模型，對未來趨勢進行外推預測的[44]。例如：根據某區域歷年的人口數做一條人口變化曲線，利用趨勢外推法得出未來某年的人口數；或根據歷年的人口數做一條邏輯斯蒂變化曲線，根據曲線變化確定未來某年的承載力。由于人口數受到出生率和死亡率的影響，故這一方法準確性較差。而且估計出的人口數只是區域內可能的人口數，而不是系統能支持的最大人口數，與生態承載力的概念不符。

限制因子法：選定區域內生態系統的主要限制因素，用該限制因子來確定，一般選取糧食作為限制因子。限制因子還可以是淡水資源、土地空間、能源、綠地面積等。如果限制因子超過一個，則分別計算出可供養的人口數，以其中的最小值作為生態承載力的大小。有多種限制因子時，也可以歸結到一種限制因子，確定相互間的比例關系，計算求得。

線性規劃法：線性規劃中線性來源于構造線性模型這一事實，而規劃一詞用于表示線性模型一組變量的最佳取值，它既可用于單目標規劃(極大或極小)，也可用于多目標問題求解最優折中解。線性規劃模型的解具有重要意義，它代表問題的最佳決策和活動的最佳策略。線性模型的理想目標由決策者的希望或愿望確定，現實目標或約束條件可由有限的資源和其他加在決策變量選擇上明顯的或隱含的約束確定。處理具體問題時，可先根據研究的問題確定研究范圍，把其作為一個系統。在該系統中確定對系統的輸入、輸出有重大影響的幾個變量，由這幾個變量構建現實目標或約束條件。用線性規劃法進行生態承載力的研究，可以動態的反映一個區域的生態承載力的狀況[45]。它把研究區域作為一個系統，以生態承載力作為最優目標，以區域內資源狀況、環境狀況、社會經濟狀況、人民生活水平等作為約束條件。它依靠不同時間段區域的資源、環境、社會經濟以及人民生活水平的不同，求得不同時間段區域生態承載力值，動態的反映區域生態承載力變化。

系統動力學方法：系統動力學(System Dynamics，簡稱SD)是麻省理工學院Jay.W.Forrester[46]教授于1956年創立的，其最為突出的優點在于它能處理高階次、非線性、多重反饋、復雜時變的系統問題。用系統動力學方法進行生態承載力研究時，能比較容易地得到不同方案下的生態承載力，較真實地模擬區域資源和社會經濟、環境協調發展狀況，模擬區域承載力的變化趨勢。目前，國內外對承載力進行研究時多采用系統動力學方法。建立系統動力學仿真模型，一般包括以下程序：劃定系統邊界、劃分系統層次、確立指標體系、建立仿真模型、模型分析檢驗。具體步驟包括：結構分析與繪制因果關系圖：系統的動態行為是由系統結構決定的，系統主要變量之間的因果關系反映了系統的內部結構。為研究系統的結構是如何決定其功能，這里根據已確定的研究目標，經過分析得出系統邊界內系統主要變量之間的因果關系。建立系統流程圖：在因果關系圖的基礎上，繪制系統流程圖，比較直觀地反映系統各個變量之間的相互關系，以及對未來動態行為的影響，而且也是編制仿真程序的基礎。建立方程與參數確定：根據各個變量之間的關系，應用系統動力學仿真語言，并引入回歸分析、灰色分析等多種數學手段，建立各變量之間的關系方程。運用初步建立的計算機仿真模型，在計算機上進行模擬試驗，對照原始數據與仿真結果，對方程參數進行重新估計并修改，直到仿真結果與原始數據擬合較為滿意為止。完善模型：改變模型的有關數據，將其輸入計算機并進行模擬運行，預測分析未來的發展趨勢，尋找可行的發展方向。根據需要修改模型，建立友好的人――機界面，完善模型。系統動力學的特點為：①系統動力學方法處理復雜的大系統具有很多優勢，它能清晰的反映人口、資源、環境和發展之間的關系，能較好的反映系統本質和模擬系統的變化趨勢，它最適用于分析研究信息反饋系統的結構、功能與行為之間動態的辨證統一關系。利用SD模型可以把握系統各種反饋關系，將系統與環境、系統內部各子系統之間相互作用的復雜關系通過一系列微分過程和函數關系加以表述，從而實現對系統結構、功能乃至發展趨勢進行模擬、預測和調控[47]。②系統動力學方法能夠模擬各種決策方案的長期效果，并對多種方案進行比較分析而得到滿意的答案，具有優化的同等效用。但是，這一方法需要較完備的資料才可得出可靠結論。完善生態承載力計算模型，參數的確定應更加準確。③系統動力學模型可作為實驗系統的實驗室，將模型模擬以剖析系統，獲取更豐富、更深刻的信息；進而覓尋解決系統問題的途徑。系統動力學解決問題的過程實際上也是尋優的過程，其最終目的是尋求系統較優或次優的結構與參數，以求得較優的系統功能。因此，系統動力學模型能更好的為決策者提供決策的依據，在土地承載力、資源承載力、環境承載力、人口容量等方面的研究中也得到廣泛的應用。④系統動力學只有在與其它模型的支持下才能更好地發揮作用，如數理統計方法、灰色系統模型、計量經濟學模型、產業關聯分析模型、投入產出模型等，也可以與線性規劃方法、非線性規劃、目標規劃、多目標規劃相結合。目前常用的系統動力學模型有Vensim PLE、STELLA、Ithink等，在模型編寫過程中，融入灰色模型、線性回歸、指數回歸等多種數學方法對模型涉及的變量進行預測，并通過軟件的可視化環境對模型結構、運行參數和運行結果進行必要的修正，最終構建起區域可持續發展的SD模擬系統[48]。

3 存在問題分析

生態承載力是自然體系維持和調節系統的能力的閾值。如果超過了這個閾值，自然體系將失去維持平衡的能力，遭到摧殘或歸于毀滅，由高一級的自然體系降為低一級的自然體系。生態承載力研究起步較晚，但生態承載力定量研究已從最初的靜態研究走向動態預測，日趨模型化。這些定量方法的成熟與完善推動著生態承載力研究日趨深入。目前，生態承載力研究呈現以下特點：

生態承載力研究對象趨向多元化，研究領域呈現交叉綜合趨勢。國內外生態承載力研究實踐表明，以單要素承載力研究的局限性越來越突出，已不能適應生態系統資源開發與發展的要求，以系統的觀點，從綜合多要素角度研究生態承載力是今后生態承載力研究的方向和趨勢。而且隨著生態承載力研究的深入，生態系統各資源之間的相互廣義替代性研究將越來越受到重視。這就客觀上要求加強交叉綜合研究，從系統的角度研究生態的承載力問題。因此，生態承載力必將從單學科、單因子研究趨向多學科合作，開展人口、資源、環境、發展多因素、多層次的交叉綜合研究。

新方法、新技術手段將應用于生態承載力研究。生態系統的復雜性決定了其承載力研究方法和手段的復雜性。在計量分析手段上，除了系統動力學(SD)外多因子分析、投入――產出分析、資金勞動力生產函數、人口遷移矩陣及馬爾可夫過程都將成為主力軍。現代技術如遙感(RS)、地理信息系統(GIS)等必將應用到承載力的研究領域中。遙感手段可以提供快速、準確的信息，地理信息系統可以對承載力進行空間分析，因此，成熟的模型分析和遙感、地理信息系統技術相結合的分析方法以及各種模型相結合的研究方法將對承載力的研究提供更準確、更深入、更全面的定量研究結果。

生態承載力研究將繼續向動態模擬化方向發展。生態承載力研究經歷了從一般定性描述到定量和機制的探討，從單學科、單要素研究到多學科、多因素的綜合研究過程，越來越趨近于生態承載力問題的客觀本質，同時也增加了研究的難度。實質上現代意義上的生態承載力研究就是資源開發與區域發展戰略研究，它是為制定有關政策提供科學依據的。為了提高生態承載力研究的科學性與實用性，必須加強生態承載力的動態模擬研究，建立一套能反映生態承載力本質的模型體系，實現對生態承載潛力的估算與動態變化過程的預測。生態承載力模型必須能反映問題的本質，技術上可行，科學上有依據，要反映生態承載力問題的多元性、非線性、動態性、多重反饋的基本特征。同時還需要加強對生態承載能力基礎理論研究，即生態系統的復雜性理論――要素之間的復雜性研究，以給生態承載能力研究尋找新思路、新方法，找出生態的最大承載能力，為國家決策、規劃、計劃和社會協調發展提供科學依據。

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Progress in Research of Ecological Carrying Capacity

GAO Lu1，2 ZHANG-Hong-ye1

(1.Institute of Geographical Sciences and Natural Resources Research，CAS，Beijing 100101，China；

2.Graduate School of the Chinese Academy of Sciences，Beijing 100039，China)

Abstract This paper expatiates upon the Carrying Capacity's origin，evolvement and development，and states the domestic and overseas progress of Ecological Carrying Capacity.And briefly evaluating the different concepts and the research methods of ECC.The paper also put forward the direction of research in future of Ecological Carrying Capacity and indicates the research of ECC is important to sustainable development of ecosystem.