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第1篇：數學高三總結范文

2021年高三數學知識點總結有哪些?高三數學一直是學習的難點。對于高考生來說，總結高三的知識點非常重要。共同閱讀2021年高三數學知識點總結，請您閱讀!

高三數學知識點總結1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的確定性、互異性、無序性。

中元素各表示什么?

注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3.注意下列性質：

(3)德摩根定律：

4.你會用補集思想解決問題嗎?(排除法、間接法)

的取值范圍。

6.命題的四種形式及其相互關系是什么?

(互為逆否關系的命題是等價命題。)

原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎?映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射?

(一對一，多對一，允許B中有元素無原象。)

8.函數的三要素是什么?如何比較兩個函數是否相同?

(定義域、對應法則、值域)

9.求函數的定義域有哪些常見類型?

10.如何求復合函數的定義域?

義域是_____________。

11.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎?

12.反函數存在的條件是什么?

(一一對應函數)

求反函數的步驟掌握了嗎?

(①反解x;②互換x、y;③注明定義域)

13.反函數的性質有哪些?

①互為反函數的圖象關于直線y=x對稱;

②保存了原來函數的單調性、奇函數性;

14.如何用定義證明函數的單調性?

(取值、作差、判正負)

如何判斷復合函數的單調性?)

15.如何利用導數判斷函數的單調性?

值是( )

A.0B.1C.2D.3

a的最大值為3)

16.函數f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么?

(f(x)定義域關于原點對稱)

注意如下結論：

(1)在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數;兩個偶函數的乘積是偶函數;一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

17.你熟悉周期函數的定義嗎?

函數，T是一個周期。)

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎?

注意如下翻折變換：

19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎?

的雙曲線。

應用：①三個二次(二次函數、二次方程、二次不等式)的關系二次方程

②求閉區間[m，n]上的最值。

③求區間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

由圖象記性質! (注意底數的限定!)

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么?

20.你在基本運算上常出現錯誤嗎?

21.如何解抽象函數問題?

(賦值法、結構變換法)

22.掌握求函數值域的常用方法了嗎?

(二次函數法(配方法)，反函數法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數單調性法，導數法等。)

如求下列函數的最值：

23.你記得弧度的定義嗎?能寫出圓心角為，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎?

24.熟記三角函數的定義，單位圓中三角函數線的定義

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數的圖象嗎?并由圖象寫出單調區間、對稱點、對稱軸嗎?

(x，y)作圖象。

27.在三角函數中求一個角時要注意兩個方面先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍。

28.在解含有正、余弦函數的問題時，你注意(到)運用函數的有界性了嗎?

29.熟練掌握三角函數圖象變換了嗎?

(平移變換、伸縮變換)

平移公式：

圖象?

30.熟練掌握同角三角函數關系和誘導公式了嗎?

奇、偶指k取奇、偶數。

A.正值或負值B.負值C.非負值D.正值

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應用了嗎?

理解公式之間的聯系：

應用以上公式對三角函數式化簡。(化簡要求：項數最少、函數種類最少，分母中不含三角函數，能求值，盡可能求值。)

具體方法：

(2)名的變換：化弦或化切

(3)次數的變換：升、降冪公式

(4)形的變換：統一函數形式，注意運用代數運算。

32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎?如何實現邊、角轉化，而解斜三角形?

(應用：已知兩邊一夾角求第三邊;已知三邊求角。)

33.用反三角函數表示角時要注意角的范圍。

34.不等式的性質有哪些?

答案：C

35.利用均值不等式：

值?(一正、二定、三相等)

注意如下結論：

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎?

(比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等)

并注意簡單放縮法的應用。

(移項通分，分子分母因式分解，x的系數變為1，穿軸法解得結果。)

38.用穿軸法解高次不等式奇穿，偶切，從最大根的右上方開始

39.解含有參數的不等式要注意對字母參數的討論

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解?

(找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。)

證明：

(按不等號方向放縮)

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么?(可轉化為最值問題，或問題)

43.等差數列的'定義與性質

0的二次函數)

項，即：

44.等比數列的定義與性質

46.你熟悉求數列通項公式的常用方法嗎?

例如：(1)求差(商)法

解：

[練習]

(2)疊乘法

解：

(3)等差型遞推公式

[練習]

(4)等比型遞推公式

[練習]

(5)倒數法

47.你熟悉求數列前n項和的常用方法嗎?

例如：(1)裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。

解：

[練習]

(2)錯位相減法：

(3)倒序相加法：把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加。

[練習]

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎?

零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

若按復利，如貸款問題按揭貸款的每期還款計算模型(按揭貸款分期等額歸還本息的借款種類)

若貸款(向銀行借款)p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期(如一年)后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r(按復利)，那么每期應還x元，滿足

p貸款數，r利率，n還款期數

49.解排列、組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

(2)排列：從n個不同元素中，任取m(mn)個元素，按照一定的順序排成一

(3)組合：從n個不同元素中任取m(mn)個元素并組成一組，叫做從n個不

50.解排列與組合問題的規律是：

相鄰問題捆綁法;相間隔問題插空法;定位問題優先法;多元問題分類法;至多至少問題間接法;相同元素分組可采用隔板法，數量不大時可以逐一排出結果。

如：學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績

則這四位同學考試成績的所有可能情況是( )

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成兩類：

(2)中間兩個分數相等

相同兩數分別取90，91，92，對應的排列可以數出來，分別有3，4，3種，有10種。

共有5+10=15(種)情況

51.二項式定理

性質：

(3)最值：n為偶數時，n+1為奇數，中間一項的二項式系數最大且為第

表示)

52.你對隨機事件之間的關系熟悉嗎?

的和(并)。

(5)互斥事件(互不相容事件)：A與B不能同時發生叫做A、B互斥。

(6)對立事件(互逆事件)：

(7)獨立事件：A發生與否對B發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。

53.對某一事件概率的求法：

分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法，即

(5)如果在一次試驗中A發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中A恰好發生

如：設10件產品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

(1)從中任取2件都是次品;

(2)從中任取5件恰有2件次品;

(3)從中有放回地任取3件至少有2件次品;

解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，n=103

而至少有2件次品為恰有2次品和三件都是次品

(4)從中依次取5件恰有2件次品。

解析：一件一件抽取(有順序)

分清(1)、(2)是組合問題，(3)是可重復排列問題，(4)是無重復排列問題。

54.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機數表法)常常用于總體個數較少時，它的特征是從總體中逐個抽取;

系統抽樣，常用于總體個數較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個;分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現了抽樣的客觀性和平等性。

55.對總體分布的估計用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望(平均值)和方差去估計總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

(2)決定組距和組數;

(3)決定分點;

(4)列頻率分布表;

(5)畫頻率直方圖。

如：從10名女生與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為____________。

56.你對向量的有關概念清楚嗎?

(1)向量既有大小又有方向的量。

在此規定下向量可以在平面(或空間)平行移動而不改變。

(6)并線向量(平行向量)方向相同或相反的向量。

規定零向量與任意向量平行。

(7)向量的加、減法如圖：

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

的一組基底。

(9)向量的坐標表示

表示。

57.平面向量的數量積

數量積的幾何意義：

(2)數量積的運算法則

58.線段的定比分點

.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內心及其性質嗎?

59.立體幾何中平行、垂直關系證明的思路清楚嗎?

平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化：

高中數學最易混淆知識點歸納1.進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數軸和文氏圖進行求解.

2.在應用條件時，易A忽略是空集的情況

3.你會用補集的思想解決有關問題嗎?

4.簡單命題與復合命題有什么區別?四種命題之間的相互關系是什么?如何判斷充分與必要條件?

5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區別.

6.求解與函數有關的問題易忽略定義域優先的原則.

7.判斷函數奇偶性時，易忽略檢驗函數定義域是否關于原點對稱.

8.求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，易忽略標注該函數的定義域.

9.原函數在區間[-a,a]上單調遞增，則一定存在反函數，且反函數也單調遞增;但一個函數存在反函數，此函數不一定單調.例如：.

10.你熟練地掌握了函數單調性的證明方法嗎?定義法(取值,作差,判正負)和導數法

11.求函數單調性時，易錯誤地在多個單調區間之間添加符號“∪”和“或”;單調區間不能用集合或不等式表示.

12.求函數的值域必須先求函數的定義域。

13.如何應用函數的單調性與奇偶性解題?①比較函數值的大小;②解抽象函數不等式;③求參數的范圍(恒成立問題).這幾種基本應用你掌握了嗎?

14.解對數函數問題時，你注意到真數與底數的限制條件了嗎?

(真數大于零，底數大于零且不等于1)字母底數還需討論

15.三個二次(哪三個二次?)的關系及應用掌握了嗎?如何利用二次函數求最值?

16.用換元法解題時易忽略換元前后的等價性，易忽略參數的范圍。

17.“實系數一元二次方程有實數解”轉化時，你是否注意到：當時，“方程有解”不能轉化為。

若原題中沒有指出是二次方程，二次函數或二次不等式，你是否考慮到二次項系數可能為的零的情形?

18.利用均值不等式求最值時，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

19.絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么?

20.解分式不等式應注意什么問題?用“根軸法”解整式(分式)不等式的注意事項是什么?

21.解含參數不等式的通法是“定義域為前提，函數的單調性為基礎，分類討論是關鍵”，注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是……”.

22.在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區間表示;不能用不等式表示.

23.兩個不等式相乘時,必須注意同向同正時才能相乘,即同向同正可乘;同時要注意“同號可倒”即a>b>0，a

24.解決一些等比數列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎?

25.在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎?(時，應有)需要驗證，有些題目通項是分段函數。

26.你知道存在的條件嗎?(你理解數列、有窮數列、無窮數列的概念嗎?你知道無窮數列的前項和與所有項的和的不同嗎?什么樣的無窮等比數列的所有項的和必定存在?

27.數列單調性問題能否等同于對應函數的單調性問題?(數列是特殊函數，但其定義域中的值不是連續的。

)

28.應用數學歸納法一要注意步驟齊全，二要注意從到過程中，先假設時成立，再結合一些數學方法用來證明時也成立。

29.正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區別嗎?

30.三角函數的定義及單位圓內的三角函數線(正弦線、余弦線、正切線)的定義你知道嗎?

31.在解三角問題時，你注意到正切函數、余切函數的定義域了嗎?你注意到正弦函數、余弦函數的有界性了嗎?

32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉化出現特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次)

33.反正弦、反余弦、反正切函數的取值范圍分別是

34.你還記得某些特殊角的三角函數值嗎?

35.掌握正弦函數、余弦函數及正切函數的圖象和性質.你會寫三角函數的單調區間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數形結合與書寫規范,可別忘了)，你是否清楚函數的圖象可以由函數經過怎樣的變換得到嗎?

36.函數的圖象的平移，方程的平移以及點的平移公式易混：

(1)函數的圖象的平移為“左+右-，上+下-”;如函數的圖象左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為y=2(x+2)+4-3，即y=2x+5.

(2)方程表示的圖形的平移為“左+右-，上-下+”;如直線左移2個個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為2(x+2)-(y+3)+4=0，即y=2x+5.

(3)點的平移公式：點P(x,y)按向量平移到點P'(x',y')，則x=x'+hy'=y+k.

37.在三角函數中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍)

38.形如的周期都是，但的周期為。

第2篇：數學高三總結范文

1、最大限度提高文科學生學習數學的興趣

大部分文科學生可能是由于理科學的不優秀而選擇了文科，很多文科學生對數學的學習也有膽怯的心理，他們沒有任何理由就是不喜歡學數學，甚至是討厭數學老師，所以數學課堂氛圍沉悶，課堂上和老師的互動也很被動，讓人有一種窒息的感覺。為了解決這一不良現象，我們花費了很多的精力，想了很多的方法，我們全組老師下決心必須改變這一局面。因為只有改變了這個局面，文科的數學才有希望，文科的數學在高考中的龍頭作用才能發揮出來。我們首先把握住一輪學法講座的最佳時機對學生進行心與心的交流，糾正、引導學生如何突破心理的這道障礙，在講座中運用大量的實例和感動的語言慢慢走進學生的內心，說到他們所想，說到他們所需，教給他們怎樣聽課記筆記，怎樣發言怎樣和老師相處，通過學法講座我們所有文科學生的面貌有了很大的改觀。為了抓住好的良機，全組老師把這一重任滲透到每一節課，課堂上我們努力做到不發火，讓學生處在一種放松的環境里學習知識，即使學生有的地方做的不盡人意我們也是鼓勵再鼓勵。通過我們一年不懈的努力，文科學生學數學的情緒非常高漲，成績也一路高升，受到領導和老師的肯定、家長和學生的贊譽。

2、抓考綱，研究高考題，把握高考方向

高三的復習內容容量很大，面對繁重的高考復習任務，如果不能把握準方向，那勢必會出過頭勁。為了很好的掌控文科數學復習的方向，不走彎路，首先我們及時總結以往高三教學的經驗和教訓，對考綱重復不斷的分析，從中找出變與不變，找出重點與側重點，該多花時間的章節絲毫也不吝嗇；該少花時間的章節一定不多花一秒鐘。組內的教研由每周一次變為每天一次。每上完當天的課我們都回組內暢所欲言、查漏補缺，及時調整，同事之間取長補短。

其次我們加大力度研究多年的高考題，我們組所有的老師都至少做五年的高考題，從高考題中我們足可以體會到很多的東西來，對我們平日教學的指導意義是非常巨大的。所以我們的復習針對性很強，不走彎路，不走迂回的路。復習過程中的底氣也很足，對今年高考的出題趨勢也有比較明確的把握，在六號晚上的考前輔導講座中很明確的告訴學生如何應對后三個大題的技巧和心理想法，所以我們的學生在面對今年的高考題目時沒有因為難而打亂做題的節奏。

3、“源于教材而高于教材”，夯實基礎知識

第一輪復習，必須加深學生對課本中概念、定義、定理、法則、公式的透徹理解，注重課本的例題中所蘊涵的思想方法和習題的特點，運用、挖掘例題和習題的價值和內涵，提供多種解法，訓練學生的發散性思維。只有這樣，才能讓學生從一個題目聯想到一個知識點，在腦海中建構出知識的網絡，一點就透，舉一反三，大大降低學生學習數學的難度。為了做好這一點，我們在開始一輪復習的時候，我們就把課本中的重點和難點的知識點和例題習題全部刻印成講義印發到學生手里，課堂上按部就班地和學生一起解疑答問。同時我們又非常重視“高于教材”的理念，無論是周練習還是平日的作業 我們也及時的對此類型進行有效的訓練。今年的高考題（ 21 ）題為應用題，這道題目是學生之間拉開差距的一道題目。題目涉及這到球和圓柱構成的組合體的表面積和體積，貼近學生的學習實際，背景公平，由于教材中也出現了多個以體積為平臺，考查導數應用的實際問題，因此該問題的設計充分體現了“源于教材而高于教材”的理念。由于我們在平日的訓練中做的比較到位，所以學生在面對此題的時候沒有出現情緒上的波動，也沒有感覺題目難，得分率令人滿意。

4、抓計算能力和讀題能力

學生計算能力有缺失，這是不爭的事實，具體表現為三種：不會算、算錯、算得太慢。甚至有很多學生會發出這樣的感嘆：“這道題我明明會做，但是就是做不對”。那么怎么糾正？我們的做法是在課堂上給時間，少講多練。充分利用每一次作業的機會，先講、學生訂正 、再改、再講，把每個過程精細化。周練習我們不但及時批改，我們盡可能的采取面批的形式，這種方法最為直觀有效。我們采取“盯人戰術”，糾正學生中存在的僥幸心理，讓他們認識到“計算無小錯，細節定成敗”。俗話說：“講十遍不如動手一遍”。學生的一道題算錯了，教師不僅要指出算錯的是那個步驟，一定要讓學生還原到錯誤點重新計算，也算是“哪里跌倒哪里爬起來”吧。

我們的學生還存在著讀不懂題目的問題，找不到相關信息點，懂不出隱藏信息，提煉不了相應的數學模型。我們的做法是在復習課和試卷講評課我們老師手把手教給學生，老師先以一個做題人的身份去讀題去分析題，然后讓學生去讀題去分析題，我們不厭其煩的一遍又一遍的重復。對于學生的這兩個毛病，我們足足糾正了一年，盡管過程非常辛苦，但收效是令人欣慰的。在今年的高考題中我們的學生基本上都能做到會做的題得滿分。

5、抓邊際生對重點知識通性通法的訓練力度

邊際生成績的好壞對班級和級部的影響是不可忽視的，抓好邊際生的工作顯得尤為重要。我們對邊際生的做法是：每周有兩次早飯后40分鐘的補課，補課內容我們一律是從做過的題目和復習過的知識點中找，找專人負責找題并刻印成講義，對學生錯過的題目我們決不放棄，一遍不行就兩遍，增加對重點知識通性通法的訓練力度，他們的周練習我們一律都是面批，包括他們的改錯我們都跟蹤到位，有的邊際生的改錯我們的批改次數多的達到了六次。在整個復習過程中，我們不但對邊際生進行知識上的補習，而且我們還對他們的思想和生活進行開導和關心，讓學生在溫暖中進步。

6、對周練習的重視程度如同考試，對統考如同高考

我們認真對待我們的每一次周練習，我們把每一次的周練習都當做考試來操作，學生單人單桌，教師監考。周練習題目的找尋我們下的功夫也非常大，每一次都翻閱大量的資料從中組題篩選，讓遺憾在每一次中都降低到最小。除了知識上的滾動我們盡量兼顧到新穎題型在每一次周練習中的訓練。每一次的周練習的批改一定是在周日晚飯前結束，然后將成績傳到班主任手里，班主任和任課老師共同找學生查找原因，做思想工作，讓學生的錯誤和不端正的態度消滅在萌芽中。

第3篇：數學高三總結范文

形式：深入農村，與村民攀談，搞調查

時間：200*年7月22日7月27日

地點：山東省平度市崔家集鎮周家村

組織者：山東省青島海洋大學工程學院團總支

參與者：山東省青島海洋大學工程學院**級、**級部分同學

一調查數據

概況：

周家村共有230戶約800口人，住房占地約200畝，耕地1550畝。本村固定資產120萬，去年總產值為12210000元，人均毛收入為3800元。

(一)經濟收入狀況

經濟收入以經濟作物為主，輔以副業如養雞，養老鼠。經濟作物收入占經濟總收入80%。經濟作物包括蘋果、蔬菜、黃煙、花生、柿子和制種。自19**年以來有果園200畝、蔬菜100畝、黃煙500畝，現在黃煙已發展到800畝。1990年進行村莊規劃后，1992年在房前屋后種上了5000棵柿子樹，現在每棵樹能收入兩百元以上，近年又種上了1000棵柿子樹，估計明年能大量掛果。制種業是新興產業，包括西瓜、西葫蘆、西紅柿、辣椒四個品種，種植面積在200畝左右每畝毛收入一萬元左右。

(二)受教育狀況

村民中有30%受過初等教育、3%受到過高等教育。現在村里只有三個高中生。如今兒童的上學年齡限制到8歲，但有50%的孩子九歲才開始上學。

(三)生活狀況

據調查村民的糧食、蔬菜都自給，只買一些油鹽、肉制品，因此大部分家庭每月生活費在200元以下。

二下鄉感悟

(一)我看農村教育

人們在形容農村的教育狀況時總是用適齡兒童入學率低、失學率高、教育狀況落后等短語一言概之。這就模糊了教育落后的根本原因，甚至誤導讀者進入邊遠地區人們不重視教育這一誤區。

第4篇：數學高三總結范文

導數及其應用

第八講

導數的綜合應用

2019年

1.（2019全國Ⅲ文20）已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當0

2.（2019北京文20）已知函數．

（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；

（Ⅱ）當時，求證：；

（Ⅲ）設，記在區間上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．

3.（2019江蘇19）設函數、為f（x）的導函數．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；

（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．

4.（2019全國Ⅰ文20）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）為f（x）的導數．

（1）證明：f

′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；

（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

5.（2019全國Ⅰ文20）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）為f（x）的導數．

（1）證明：f

′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；

（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

6.（2019全國Ⅱ文21）已知函數.證明：

（1）存在唯一的極值點；

（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

7.（2019天津文20）設函數，其中.

（Ⅰ）若，討論的單調性；

（Ⅱ）若，

（i）證明恰有兩個零點

（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.

8.（2019浙江22）已知實數，設函數

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）對任意均有

求的取值范圍.

注：e=2.71828…為自然對數的底數.

2010-2018年

一、選擇題

1．（2017新課標Ⅰ）已知函數，則

A．在單調遞增

B．在單調遞減

C．的圖像關于直線對稱

D．的圖像關于點對稱

2．（2017浙江）函數的導函數的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是

A．

B．

C．

D．

3．（2016年全國I卷）若函數在單調遞增，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

4．（2016年四川）已知為函數的極小值點，則

A．4

B．2

C．4

D．2

5．（2014新課標2）若函數在區間（1，+）單調遞增，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

6．（2014新課標2）設函數．若存在的極值點滿足

，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

7．（2014遼寧）當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

8．（2014湖南）若，則

A．

B．

C．

D．

9．（2014江西）在同一直角坐標系中，函數與

的圖像不可能的是

10．（2013新課標2）已知函數，下列結論中錯誤的是

A．

B．函數的圖像是中心對稱圖形

C．若是的極小值點，則在區間單調遞減

D．若是的極值點，則

11．（2013四川）設函數（，為自然對數的底數）．若存在使成立，則的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．

12．（2013福建）設函數的定義域為R，是的極大值點，以下結論一定正確的是

A．

B．是的極小值點

C．是的極小值點

D．是的極小值點

13．（2012遼寧）函數的單調遞減區間為

A．(－1,1]

B．(0,1]

C．

[1,+)

D．(0,+)

14．（2012陜西）設函數，則

A．為的極大值點

B．為的極小值點

C．為的極大值點

D．為的極小值點

15．（2011福建）若，，且函數在處有極值，則的最大值等于

A．2

B．3

C．6

D．9

16．（2011浙江）設函數，若為函數的一個極值點，則下列圖象不可能為的圖象是

A

B

C

D

17．（2011湖南）設直線

與函數，

的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為

A．1

B．

C．

D．

二、填空題

18．（2016年天津）已知函數為的導函數，則的值為____.

19．（2015四川）已知函數，(其中)．對于不相等的實數，設＝，＝．現有如下命題：

①對于任意不相等的實數，都有；

②對于任意的及任意不相等的實數，都有；

③對于任意的，存在不相等的實數，使得；

④對于任意的，存在不相等的實數，使得．

其中真命題有___________(寫出所有真命題的序號)．

20．（2011廣東）函數在=______處取得極小值．

三、解答題

21．（2018全國卷Ⅰ）已知函數．

(1)設是的極值點．求，并求的單調區間；

(2)證明：當時，．

22．（2018浙江）已知函數．

(1)若在，()處導數相等，證明：；

(2)若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．

23．（2018全國卷Ⅱ）已知函數．

(1)若，求的單調區間；

(2)證明：只有一個零點．

24．（2018北京）設函數．

(1)若曲線在點處的切線斜率為0，求；

(2)若在處取得極小值，求的取值范圍．

25．（2018全國卷Ⅲ）已知函數．

(1)求曲線在點處的切線方程；

(2)證明：當時，．

26．（2018江蘇）記分別為函數的導函數．若存在，滿足且，則稱為函數與的一個“點”．

(1)證明：函數與不存在“點”；

(2)若函數與存在“點”，求實數a的值；

(3)已知函數，．對任意，判斷是否存在，使函數與在區間內存在“點”，并說明理由．

27．（2018天津）設函數，其中，且是公差為的等差數列．

(1)若

求曲線在點處的切線方程；

(2)若，求的極值；

(3)若曲線與直線有三個互異的公共點，求d的取值范圍．

28．（2017新課標Ⅰ）已知函數．

(1)討論的單調性；

(2)若，求的取值范圍．

29．（2017新課標Ⅱ）設函數．

(1)討論的單調性；

(2)當時，，求的取值范圍．

30．（2017新課標Ⅲ）已知函數．

(1)討論的單調性；

(2)當時，證明．

31．（2017天津）設，．已知函數，

．

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）已知函數和的圖象在公共點處有相同的切線，

（i）求證：在處的導數等于0；

（ii）若關于x的不等式在區間上恒成立，求的取值范圍．

32．（2017浙江）已知函數．

（Ⅰ）求的導函數；

（Ⅱ）求在區間上的取值范圍．

33．（2017江蘇）已知函數有極值，且導函數

的極值點是的零點．（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）

（1）求關于的函數關系式，并寫出定義域；

（2）證明：；

34．（2016年全國I卷）已知函數.

(I)討論的單調性；

(II)若有兩個零點，求的取值范圍.

35．（2016年全國II卷）已知函數.

(Ⅰ)當時，求曲線在處的切線方程；

(Ⅱ)若當時，，求的取值范圍.

36．（2016年全國III卷）設函數．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）證明當時，；

（III）設，證明當時，．

37．（2015新課標2）已知函數．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍．

38．（2015新課標1）設函數．

（Ⅰ）討論的導函數零點的個數；

（Ⅱ）證明：當時．

39．（2014新課標2）已知函數，曲線在點（0，2）處的切線與軸交點的橫坐標為－2．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）證明：當時，曲線與直線只有一個交點．

40．(2014山東）設函數（為常數，是自然對數的底數）

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數在內存在兩個極值點，求的取值范圍．

41．（2014新課標1）設函數，

曲線處的切線斜率為0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在使得，求的取值范圍．

42．（2014山東）設函數

，其中為常數．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數的單調性．

43．(2014廣東)

已知函數

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，試討論是否存在，使得．

44．(2014江蘇)已知函數，其中e是自然對數的底數．

（Ⅰ）證明：是R上的偶函數；

（Ⅱ）若關于的不等式≤在上恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）已知正數滿足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結論．

45．（2013新課標1）已知函數，曲線在點處切線方程為．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）討論的單調性，并求的極大值．

46．（2013新課標2）已知函數．

（Ⅰ）求的極小值和極大值；

（Ⅱ）當曲線的切線的斜率為負數時，求在軸上截距的取值范圍．

47．（2013福建）已知函數（，為自然對數的底數）．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；

（Ⅱ）求函數的極值；

（Ⅲ）當的值時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值．

48．(2013天津)已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）

證明：對任意的，存在唯一的，使．

（Ⅲ）設（Ⅱ）中所確定的關于的函數為，

證明：當時，有．

49．（2013江蘇）設函數，，其中為實數．

（Ⅰ）若在上是單調減函數，且在上有最小值，求的取值范圍；

（Ⅱ）若在上是單調增函數，試求的零點個數，并證明你的結論．

50．（2012新課標）設函數f(x)=－ax－2

（Ⅰ）求的單調區間

（Ⅱ）若，為整數，且當時，，求的最大值

51．（2012安徽）設函數

（Ⅰ）求在內的最小值；

（Ⅱ）設曲線在點的切線方程為；求的值。

52．（2012山東）已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）設，其中是的導數．

證明：對任意的，．

53．（2011新課標）已知函數，曲線在點處的切線方程為．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）證明：當，且時，．

54．（2011浙江）設函數，

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）求所有實數，使對恒成立．

注：為自然對數的底數．

55．（2011福建）已知，為常數，且，函數，（e=2.71828…是自然對數的底數）．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）當時，是否同時存在實數和()，使得對每一個∈，直線與曲線（∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數和最大的實數；若不存在，說明理由．

56．（2010新課標）設函數

（Ⅰ）若=，求的單調區間；

（Ⅱ）若當≥0時≥0，求的取值范圍．

專題三

導數及其應用

第八講

導數的綜合應用

答案部分

2019年

1.解析（1）．

令，得x=0或.

若a>0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減；

若a=0，在單調遞增；

若a

（2）當時，由（1）知，在單調遞減，在單調遞增，所以在[0,1]的最小值為，最大值為或.于是

，

所以

當時，可知單調遞減，所以的取值范圍是.

當時，單調遞減，所以的取值范圍是.

綜上，的取值范圍是.

2.解析（Ⅰ）由得．

令，即，得或．

又，，

所以曲線的斜率為1的切線方程是與，

即與．

（Ⅱ）要證，即證，令．

由得．

令得或．

在區間上的情況如下：

所以的最小值為，最大值為．

故，即．

（Ⅲ），由（Ⅱ）知，，

當時，；

當時，；

當時，．

綜上，當最小時，．

3.解析（1）因為，所以．

因為，所以，解得．

（2）因為，

所以，

從而．令，得或．

因為都在集合中，且，

所以．

此時，．

令，得或．列表如下：

1

+

–

+

極大值

極小值

所以的極小值為．

（3）因為，所以，

．

因為，所以，

則有2個不同的零點，設為．

由，得．

列表如下：

+

–

+

極大值

極小值

所以的極大值．

解法一：

．因此．

解法二：因為，所以．

當時，．

令，則．

令，得．列表如下：

+

–

極大值

所以當時，取得極大值，且是最大值，故．

所以當時，，因此．

4.解析

（1）設，則.

當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，故在存在唯一零點.

所以在存在唯一零點.

（2）由題設知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，所以，當時，.

又當時，ax≤0，故.

因此，a的取值范圍是.

5.解析

（1）設，則.

當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，故在存在唯一零點.

所以在存在唯一零點.

（2）由題設知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，所以，當時，.

又當時，ax≤0，故.

因此，a的取值范圍是.

6.解析（1）的定義域為（0，+）.

.

因為單調遞增，單調遞減，所以單調遞增，又，

，故存在唯一，使得.

又當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

因此，存在唯一的極值點.

（2）由（1）知，又，所以在內存在唯一根.

由得.

又，故是在的唯一根.

綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

7.解析（Ⅰ）由已知，的定義域為，且

，

因此當時，

，從而，所以在內單調遞增.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知.令，由，

可知在內單調遞減，又，且

.

故在內有唯一解，從而在內有唯一解，不妨設為，則.

當時，，所以在內單調遞增；當時，，所以在內單調遞減，因此是的唯一極值點.

令，則當時，，故在內單調遞減，從而當時，

，所以.

從而，

又因為，所以在內有唯一零點.又在內有唯一零點1，從而，在內恰有兩個零點.

（ii）由題意，即，從而，即.因為當時，

，又，故，兩邊取對數，得，于是

，

整理得.

8.解析（Ⅰ）當時，．

，

所以，函數的單調遞減區間為（0，3），單調遞增區間為（3，+）．

（Ⅱ）由，得．

當時，等價于．

令，則．

設

，則

．

（i）當

時，，則

．

記，則

.

故

1

+

單調遞減

極小值

單調遞增

所以，

．

因此，．

（ii）當時，．

令

，則，

故在上單調遞增，所以．

由（i）得．

所以，．

因此．

由（i）（ii）得對任意，，

即對任意，均有．

綜上所述，所求a的取值范圍是．

2010-2018年

1．C【解析】由，知，在上單調遞增，

在上單調遞減，排除A、B；又，

所以的圖象關于對稱，C正確．

2．D【解析】由導函數的圖象可知，的單調性是減增減增，排除

A、C；由導函數的圖象可知，的極值點一負兩正，所以D符合，選D．

3．C【解析】函數在單調遞增，

等價于

在恒成立．

設，則在恒成立，

所以，解得．故選C．

4．D【解析】因為，令，，當

時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以．故選D．

5．D【解析】，，在（1，+）單調遞增，

所以當

時，恒成立，即在（1，+）上恒成立，

，，所以，故選D．

6．C【解析】由正弦型函數的圖象可知：的極值點滿足，

則，從而得．所以不等式

，即為，變形得，其中．由題意，存在整數使得不等式成立．當且時，必有，此時不等式顯然不能成立，故或，此時，不等式即為，解得或．

7．C【解析】當時，得，令，則，

，令，，

則，顯然在上，，單調遞減，所以，因此；同理，當時，得．由以上兩種情況得．顯然當時也成立，故實數的取值范圍為．

8．C【解析】設，則，故在上有一個極值點，即在上不是單調函數，無法判斷與的大小，故A、B錯；構造函數，，故在上單調遞減，所以，選C．

9．B【解析】當，可得圖象D；記，

，

取，，令，得，易知的極小值為，又，所以，所以圖象A有可能；同理取，可得圖象C有可能；利用排除法可知選B．

10．C【解析】若則有，所以A正確。由得

，因為函數的對稱中心為（0,0），

所以的對稱中心為,所以B正確。由三次函數的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側，所以函數在區間（∞,

）單調遞減是錯誤的，D正確。選C.

11．A【解析】若在上恒成立，則，

則在上無解；

同理若在上恒成立，則。

所以在上有解等價于在上有解，

即，

令，所以，

所以．

12．D【解析】A．，錯誤．是的極大值點，并不是最大值點；B．是的極小值點．錯誤．相當于關于y軸的對稱圖像，故應是的極大值點；C．是的極小值點．錯誤．相當于關于軸的對稱圖像，故應是的極小值點．跟沒有關系；D．是的極小值點．正確．相當于先關于y軸的對稱，再關于軸的對稱圖像．故D正確．

13．B【解析】,,由，解得，又，

故選B．

14．D【解析】，，恒成立，令，則

當時，，函數單調減，當時，，函數單調增，

則為的極小值點，故選D．

15．D【解析】，由，即，得．

由，，所以，當且僅當時取等號．選D．

16．D【解析】若為函數的一個極值點，則易知，選項A，B的函數為，，為函數的一個極值點滿足條件；選項C中，對稱軸，且開口向下，

，，也滿足條件；選項D中，對稱軸

，且開口向上，，，與題圖矛盾，故選D．

17．D【解析】由題不妨令，則，

令解得，因時，，當時，

，所以當時，達到最小．即．

18．3【解析】．

19．①④【解析】因為在上是單調遞增的，所以對于不相等的實數，恒成立，①正確；因為，所以

=，正負不定，②錯誤；由，整理得．

令函數，則，

令，則，又，

，從而存在，使得，

于是有極小值，所以存

在，使得，此時在上單調遞增，故不存在不相等的實數，使得，不滿足題意，③錯誤；由得，即，設，

則，所以在上單調遞增的，且當時，

，當時，，所以對于任意的，與的圖象一定有交點，④正確．

20．2【解析】由題意，令得或．

因或時，，時，．

時取得極小值．

21．【解析】(1)的定義域為，．

由題設知，，所以．

從而，．

當時，；當時，．

所以在單調遞減，在單調遞增．

(2)當時，．

設，則

當時，；當時，．所以是的最小值點．

故當時，．

因此，當時，．

22．【解析】(1)函數的導函數，

由得，

因為，所以．

由基本不等式得．

因為，所以．

由題意得．

設，

則，

所以

16

+

所以在上單調遞增，

故，

即．

(2)令，，則

，

所以，存在使，

所以，對于任意的及，直線與曲線有公共點．

由得．

設，

則，

其中．

由(1)可知，又，

故，

所以，即函數在上單調遞減，因此方程至多1個實根．

綜上，當時，對于任意，直線與曲線有唯一公共點．

23．【解析】(1)當時，，．

令解得或．

當時，；

當時，．

故在，單調遞增，在單調遞減．

(2)由于，所以等價于．

設，則，

僅當時，所以在單調遞增．

故至多有一個零點，從而至多有一個零點．

又，，

故有一個零點．

綜上，只有一個零點．

24．【解析】(1)因為，

所以．

，

由題設知，即，解得．

(2)方法一：由(1)得．

若，則當時，；

當時，．

所以在處取得極小值．

若，則當時，，

所以．

所以1不是的極小值點．

綜上可知，的取值范圍是．

方法二：．

(ⅰ)當時，令得．

隨的變化情況如下表：

1

+

?

↗

極大值

在處取得極大值，不合題意．

(ⅱ)當時，令得．

①當，即時，，

在上單調遞增，

無極值，不合題意．

②當，即時，隨的變化情況如下表：

1

+

?

+

↗

極大值

極小值

↗

在處取得極大值，不合題意．

③當，即時，隨的變化情況如下表：

+

?

+

↗

極大值

極小值

↗

在處取得極小值，即滿足題意．

(ⅲ)當時，令得．

隨的變化情況如下表：

?

+

?

極小值

↗

極大值

在處取得極大值，不合題意．

綜上所述，的取值范圍為．

25．【解析】(1)，．

因此曲線在點處的切線方程是．

(2)當時，．

令，則．

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；

所以．因此．

26．【解析】(1)函數，，則，．

由且，得，此方程組無解，

因此，與不存在“點”．

(2)函數，，

則．

設為與的“點”，由且，得

，即，（*）

得，即，則．

當時，滿足方程組（*），即為與的“點”．

因此，的值為．

(3)對任意，設．

因為，且的圖象是不間斷的，

所以存在，使得．令，則．

函數，

則．

由且，得

，即，（**）

此時，滿足方程組（**），即是函數與在區間內的一個“點”．

因此，對任意，存在，使函數與在區間內存在“點”．

27．【解析】(1)由已知，可得，故，

因此，=?1，

又因為曲線在點處的切線方程為，

故所求切線方程為．

(2)由已知可得

．

故．令=0，解得，或．

當變化時，，的變化如下表：

(?∞，

)

(，

)

(，

+∞)

+

?

+

↗

極大值

極小值

↗

所以函數的極大值為；函數小值為．

(3)曲線與直線有三個互異的公共點等價于關于的方程有三個互異的實數解，

令，可得．

設函數，則曲線與直線有三個互異的公共點等價于函數有三個零點．

．

當時，，這時在R上單調遞增，不合題意．

當時，=0，解得，．

易得，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

的極大值=>0．

的極小值=?．

若，由的單調性可知函數至多有兩個零點，不合題意．

若即，

也就是，此時，

且，從而由的單調性，可知函數在區間內各有一個零點，符合題意．

所以的取值范圍是

28．【解析】（1）函數的定義域為，

，

①若，則，在單調遞增．

②若，則由得．

當時，；當時，，

所以在單調遞減，在單調遞增．

③若，則由得．

當時，；當時，，

故在單調遞減，在單調遞增．

（2）①若，則，所以．

②若，則由（1）得，當時，取得最小值，最小值為

．從而當且僅當，即時，．

③若，則由（1）得，當時，取得最小值，最小值為

．

從而當且僅當，即時．

綜上，的取值范圍為．

29．【解析】（1）

令得

，．

當時，；當時，；當時，．

所以在，單調遞減，在單調遞增．

（2）．

當時，設函數，，因此在單調遞減，而，故，所以

．

當時，設函數，，所以在單調遞增，而，故．

當時，，，

取，則，，

故．

當時,取,則,．

綜上，的取值范圍是．

30．【解析】（1）的定義域為，．

若，則當時，，故在單調遞增.

若，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減.

（2）由（1）知，當時，在取得最大值，最大值為

．

所以等價于，

即．

設，則．

當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減.故當時，取得最大值，最大值為．所以當時，．從而當時，，即．

31．【解析】（I）由，可得

，

令，解得，或．由，得．

當變化時，，的變化情況如下表：

所以，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．

（II）（i）因為，由題意知，

所以，解得．

所以，在處的導數等于0．

（ii）因為，，由，可得．

又因為，，故為的極大值點，由（I）知．

另一方面，由于，故，

由（I）知在內單調遞增，在內單調遞減，

故當時，在上恒成立，

從而在上恒成立．

由，得，．

令，，所以，

令，解得（舍去），或．

因為，，，故的值域為．

所以，的取值范圍是．

32．【解析】（Ⅰ）因為，

所以

（Ⅱ）由

解得或．

因為

x

（，1）

1

（1，）

（，）

-

+

-

↗

又，

所以在區間上的取值范圍是．

33．【解析】(1)由,得.

當時，有極小值.

因為的極值點是的零點.

所以，又，故.

因為有極值，故有實根，從而，即.

時，，故在R上是增函數，沒有極值；

時，有兩個相異的實根，.

列表如下

+

–

+

極大值

極小值

故的極值點是.

從而，

因此，定義域為.

（2）由（1）知，．

設，則．

當時，，所以在上單調遞增．

因為，所以，故，即．

因此．

（3）由（1）知,的極值點是，且，.

從而

記，所有極值之和為，

因為的極值為，所以，.

因為，于是在上單調遞減.

因為，于是，故.

因此的取值范圍為.

34．【解析】

(Ⅰ)

(i)設，則當時，；當時，.

所以在單調遞減，在單調遞增.

(ii)設，由得或．

①若，則，所以在單調遞增.

②若，則,故當時，；

當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

③若，則，故當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

(Ⅱ)(i)設，則由(I)知，在單調遞減，在單調遞增.

又，取b滿足b

則，所以有兩個零點.

(ii)設a=0，則，所以有一個零點.

(iii)設a

又當時，

綜上，的取值范圍為.

35．【解析】（Ⅰ）的定義域為.當時，

，

曲線在處的切線方程為

（Ⅱ）當時，等價于

令，則

，

（i）當，時，，

故在上單調遞增，因此；

（ii）當時，令得

，

由和得，故當時，，在單調遞減，因此.

綜上，的取值范圍是

36．【解析】（Ⅰ）由題設，的定義域為，，令，解得．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.

所以當時，.

故當時，，，即.

（Ⅲ）由題設，設，則，

令，解得.

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

由（Ⅱ）知，，故，又，

故當時，.

所以當時，.

37【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

若，則，所以在單調遞增．

若，則當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，在上無最大值；當時，在取得最大值，最大值為．

因此等價于．

令，則在單調遞增，．

于是，當時，；當時，．

因此的取值范圍是．

38．【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

當時,，沒有零點；

當時，因為單調遞增，單調遞增，所以在單調遞增.又，當滿足且時，，故當時，存在唯一零點．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可設在的唯一零點為，當時，；

當時，．

故在單調遞減，在單調遞增，

所以當時，取得最小值，最小值為．

由于，所以．

故當時，．

39．【解析】（Ⅰ）=，.

曲線在點（0,2）處的切線方程為．

由題設得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

設，由題設知．

當≤0時，，單調遞增，，所以=0在有唯一實根．

當時，令，則．

，在單調遞減，在單調遞增，

所以，所以在沒有實根.

綜上，=0在R有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點．

40．【解析】（Ⅰ）函數的定義域為

由可得

所以當時，，函數單調遞減，

所以當時，，函數單調遞增，

所以

的單調遞減區間為，的單調遞增區間為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，在內單調遞減，

故在內不存在極值點；

當時，設函數，，因此．

當時，時，函數單調遞增

故在內不存在兩個極值點；

當時，

函數在內存在兩個極值點

當且僅當，解得

綜上函數在內存在兩個極值點時，的取值范圍為．

41．【解析】（Ⅰ），

由題設知，解得．

（Ⅱ）的定義域為，由（Ⅰ）知，，

（ⅰ）若，則，故當時，，在單調遞增，所以，存在，使得的充要條件為，

即，解得．

（ii）若，則，故當時，；

當時，，在單調遞減，在單調遞增．所以，存在，使得的充要條件為，

而，所以不合題意．

（iii）若，則．

綜上，的取值范圍是．

42．【解析】（Ⅰ）由題意知時，，

此時，可得，又，

所以曲線在處的切線方程為．

（Ⅱ）函數的定義域為，

，

當時，，函數在上單調遞增，

當時，令，

由于，

①當時，，

，函數在上單調遞減，

②當時，，，函數在上單調遞減，

③當時，，

設是函數的兩個零點，

則，，

由

，

所以時，，函數單調遞減，

時，，函數單調遞增，

時，，函數單調遞減，

綜上可知，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減；

當時，在，上單調遞減，在上單調遞增．

43．【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ）

44．【解析】（Ⅰ），，是上的偶函數

（Ⅱ）由題意，，即

，，即對恒成立

令，則對任意恒成立

，當且僅當時等號成立

（Ⅲ），當時，在上單調增

令，

，，即在上單調減

存在，使得，，即

設，則

當時，，單調增；

當時，，單調減

因此至多有兩個零點，而

當時，，；

當時，，；

當時，，．

45．【解析】．由已知得，，

故，，從而；

（Ⅱ）

由（I）知，

令得，或．

從而當時，；當時，．

故在，單調遞增，在單調遞減．

當時，函數取得極大值，極大值為．

46．【解析】（Ⅰ）的定義域為，

①

當或時，；當時，

所以在，單調遞減，在單調遞增．

故當時，取得極小值，極小值為；當時，取得極大值，極大值為．

（Ⅱ）設切點為，則的方程為

所以在軸上的截距為

由已知和①得．

令，則當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍是．

所以當時，的取值范圍是．

綜上，在軸上截距的取值范圍．

47．【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲線在點處的切線平行于軸，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①當時，，為上的增函數，所以函數無極值．

②當時，令，得，．

，；，．

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故在處取得極小值，且極小值為，無極大值．

綜上，當時，函數無極小值；

當，在處取得極小值，無極大值．

（Ⅲ）當時，

令，

則直線：與曲線沒有公共點，

等價于方程在上沒有實數解．

假設，此時，，

又函數的圖象連續不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數解”矛盾，故．

又時，，知方程在上沒有實數解．

所以的最大值為．

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）當時，．

直線：與曲線沒有公共點，

等價于關于的方程在上沒有實數解，即關于的方程：

（*）

在上沒有實數解．

①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數解．

②當時，方程（*）化為．

令，則有．

令，得，

當變化時，的變化情況如下表：

當時，，同時當趨于時，趨于，

從而的取值范圍為．

所以當時，方程（*）無實數解，解得的取值范圍是．

綜上，得的最大值為．

48．【解析】（Ⅰ）函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．

f′(x)＝2xln

x＋x＝x(2ln

x＋1)，令f′(x)＝0，得.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x

f′(x)

－

＋

f(x)



極小值

所以函數f(x)的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（Ⅱ）證明：當0＜x≤1時，f(x)≤0.

設t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．

由(1)知，h(x)在區間(1，＋∞)內單調遞增．

h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln

et－t＝t(e2t－1)＞0.

故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．

（Ⅲ）證明：因為s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，從而

，

其中u＝ln

s.

要使成立，只需.

當t＞e2時，若s＝g(t)≤e，則由f(s)的單調性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．

所以s＞e，即u＞1，從而ln

u＞0成立．

另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.

當1＜u＜2時，F′(u)＞0；當u＞2時，F′(u)＜0.

故對u＞1，F(u)≤F(2)＜0.

因此成立．

綜上，當t＞e2時，有.

49．【解析】：（Ⅰ）由題在上恒成立，在上恒成立，；

若，則在上恒成立，在上遞增，

在上沒有最小值，，

當時，，由于在遞增，時，遞增，時，遞減，從而為的可疑極小點，由題，，

綜上的取值范圍為．

（Ⅱ）由題在上恒成立，

在上恒成立，，

由得

，

令，則，

當時，，遞增，

當時，，遞減，

時，最大值為，

又時，，

時，，

據此作出的大致圖象，由圖知：

當或時，的零點有1個,

當時，的零點有2個,

50．【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

若，則，所以在單調遞增．

若，則當時，當，，所以

在單調遞減，在單調遞增．

（Ⅱ）

由于，所以(x－k)

f′(x)+x+1=．

故當時，(x－k)

f′(x)+x+1>0等價于

（）

①

令，則

由（Ⅰ）知，函數在單調遞增．而，所以在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點，設此零點為，則．當時，；當時，，所以在的最小值為，又由，可得，所以

故①等價于，故整數的最大值為2．

51．【解析】（Ⅰ）設；則

①當時，在上是增函數

得：當時，的最小值為

②當時，

當且僅當時，的最小值為

（Ⅱ）

由題意得：

52．【解析】（Ⅰ）由

=

可得，而，

即，解得；

（Ⅱ），令可得，

當時，；當時，．

于是在區間內為增函數；在內為減函數．

（Ⅲ）

=

因此對任意的，等價于

設

所以，

因此時，，時，

所以，故．

設，則，

，，，，即

，對任意的，．

53．【解析】（Ⅰ）

由于直線的斜率為，且過點，故

即,解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考慮函數，則

所以當時，故

當時，

當時，

從而當

54．【解析】（Ⅰ）因為

所以

由于，所以的增區間為，減區間為

（Ⅱ）【證明】：由題意得，

由（Ⅰ）知內單調遞增，

要使恒成立，

只要，解得

55．【解析】（Ⅰ）由

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得從而

，故：

（1）當；

（2）當

綜上，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為（0，1）；

當時，函數的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為。

（Ⅲ）當時，

由（Ⅱ）可得，當在區間內變化時，的變化情況如下表：

－

+

單調遞減

極小值1

單調遞增

2

又的值域為[1，2]．

由題意可得，若，則對每一個，直線與曲線

都有公共點．并且對每一個，

直線與曲線都沒有公共點．

綜上，當時，存在最小的實數=1，最大的實數=2，使得對每一個，直線與曲線都有公共點．

56．【解析】（Ⅰ）時，，

。當時;當時，;當時，。故在，單調增加，在（1，0）單調減少．

（Ⅱ）。令，則。若，則當時，，為減函數，而，從而當x≥0時≥0，即≥0．

若，則當時，，為減函數，而，

第5篇：數學高三總結范文

高三的復習主要是對高中所有教材內全部模塊中的教學內容展開有效的整理，從根本上掌握好高中時期的數學主線，強化知識和知識之間的橫豎關聯，使復習的效率達到最佳。

比如，在復習高中數學函數相關知識的時候，要把數學1中函數的概念跟基本初等函數、數學4中的基本初等函數2一并提取出來，將其看成是一個整體進行復習，要讓學生對初等函數的性質跟概念都能熟練掌握，并從自然界中體會函數的應用情況，幫助學生站在數學本質的角度上對函數有所理解。

就高中時期數學知識內運算主線來說，要把數學1當中集合之間的運算法則（其中主要包含指數函數和對數函數運算法則）跟數學3中概率事件的運算法則、數學4中三角含數一系列運算；數學4中向量的運算、選修2-2中導數運算法則以及復數相關運算相連接在一起，使學生從中感受到不同的運算概念及運算法則，根據類比的方式對算理有一個清晰的理解和認識，進而提升學生運算的正確率。對于高三時期數學知識的總復習來說，要一遍遍通過交匯模塊知識的形式，站在整體數學高度中掌握好知識之間的關聯性，要根據知識之間的橫豎關系把不同的模塊知識融合到一起，在學生腦海中形成一個知識網絡。

二、高三時期的數學總復習要以鞏固基礎為主

復習的時候，一定要注意基礎知識，培養基本技能，重視知識發展的過程，站在更高層次上去解讀數學概念，做到對數學知識有一個全新的認識，只有打下堅實的基礎才能提升學生的數學能力。例如下面是2010年福建的一道高三質檢試題：

已知函數f（x）=cosx，記Sk=?f（π），（k=1，2，3，…，n），若Tn=S1+S2+S3+…+Sn，則

A.數列{Tn}是遞減數列且各項值均小于1

B.數列{Tn}是遞減數列且各項值均大于1

C.數列{Tn}是遞增數列且各項值均小于1

D.數列{Tn}是遞增數列且各項值均大于1

這道題我們可著手于定積分的定義，劃分【0，】的區間，從這個思路往下看就可知道第Tn一定會比f（x）圖象跟x軸、y軸正方向所圍成的曲邊三角形面積大，因為它的極限是1，所以B答案是正確的。

復習過程中一定要熟練掌握教材給出的每個概念，把概念產生的過程等都表現在更高層次上，轉變并加深對概念的掌握，使學生對概念有一個真正客觀的理解，進而掌握好基礎知識以及基本技巧。

三、高三數學復習要致力于完善學生的思維

高三時期進行的總復習，一定要在平時教學的前提下展開，強化教學方式的滲透，逐漸完善學生的思維，使學生解答數學問題的經驗得到培養，繼而提升學生解答數學問題跟分析數學問題的能力。其中數學教學內講到的解題方式跟思路，一定要在教師跟學生共同探究下完成，只有師生共同參與經過不斷優化跟調整解題方式，逐漸滲透解題數學思想方式，才會加深學生對這種題型的解題印象，才會幫助學生學會多種解題手法，通過這種一道題多種解題手法的形式，可方便我們逐漸完善學生對知識的理解，深化解題方式結構，進而完善學生對知識的認識水平。

在復習教學中要給學生信心和啟示，逐漸向學生透露函數跟方程的思想、轉化思想等數學思想，達到提高學生數學思維的目的，加快養成學生優秀的數學素養。

四、高三時期的數學總復?要以優化教學方式為主

在總復習中，講評試卷的課程占據的時間很多，復習的時候一定要不斷優化教學手段，避免整堂灌的復習手法，要改變“題型+技巧+反復訓練”這種復習形式，使學生從研究中學到知識，在跟教師的溝通中得到進步，在實際解答問題的操作中學到解題思路，比如我們可以鼓勵分層教學、分組學習等，盡可能激發學生對數學知識的學習熱情，使學生成為數學課堂的主體。

五、強化解答數學的有效性

解題屬于一項認識活動，是繼續學習數學知識的一個學習過程，找到解答問題的思路，實際上就是探尋條件跟結論兩者間邏輯關聯的過程。就解答數學問題來說，教師首要任務并不是為學生提供出解題的方法和最終的結論，也不是看解題方式有多么的，而是要拋開解法的那層神秘面紗，為這種解法找到一種能夠說服學生的合理詮釋，必要情況下還要恰當進行引申，指導學生尋找到解答問題最一般的方式，也就是我們說的通性通法，只有如此，學生才會學會解答問題的最基本手法，才會提升解答數學問題的有效性。

第6篇：數學高三總結范文

一、在重要公式的推導過程中領悟數學方法

學生學習數學思想方法，不能脫離公式、定理的推證過程。在高三總復習中依然要重視定理、公式的推證過程，從推證過程中總結典型方法，有助于學生加深理解，從而為應用提供了啟發原形，提高復習效率有效手段。

例如：復習橢圓的幾何性質時，不要照本宣科地一一羅列幾何性質，可以重現知識的發生過程。引導學生對橢圓的方程進行研究，得出橢圓的幾何性質，關鍵是介紹如何通過方程得出x，y的范圍，如何來判斷對稱性，從而教會學生通過方程研究幾何性質的方法，這也是整個解析幾何研究的本質。為了對知識進一步的深化，可以總結判斷一個曲線是否關于x軸、y軸、直線y=x、直線y=-x、原點（0，0）對稱時，只需分別把（x，-y）、（-x，y）、（y，x）、（-y，-x）、（-x，-y）代入方程即可。從中指明了證明對稱的一類方法――取點法（證明線線對稱時，轉化為證明任意點的對稱關系）。

二、在錯解的剖析過程中培養批判思維

教育心理學指出，“概念或規則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息”。正確與錯誤同在，成功與失敗同在，如果能充分利用好錯誤的教學功能，通過設錯―糾錯―醒悟的教學過程，可進一步幫助學生理解和掌握知識的難點和重點。思維的原動力來源于學生認知結構和學習內容之間的不協調，如果我們設計一些錯誤迷惑點，猶如一石激起千層浪，必將激起學生強烈的探求新知識的愿望和動力，如：

展示兩種解法讓學生剖析，學生發現兩個答案不一樣，這種鮮明的對比、答案的沖突，必將給學生帶來吸引力與挑戰，通過學生熱烈的辨析、反省后對使用均值定理關于等號成立的條件認識就會更深刻、更到位，比直接講授效果好得多。總之，采用錯解的剖析過程教學，具有如下幾方面的積極功能：（1）對知識的深化理解功能；（2）對發現思維的培養功能；（3）對數學興趣的激發功能；（4）對批判思維的訓練功能。

三、通過解題后的“解后思”過程，提高學生的數學能力和數學素質

從最近幾年的高考看，對能力的要求逐年提高，“題海戰術”的功效明顯下降。如何在教學中擺脫“題海戰術”，提高數學綜合素質，“解后思”不失為一個較佳的途徑。所謂“解后思”，即做完一道題目后，要多問幾個為什么，并從中獲得對下次解題有用的經驗和教訓。通過下面一道試題加以說明：

解題后，要引導學生思考這樣的問題：（1）為什么要這么證？這么證明正確嗎？（2）證明過程中有哪些關鍵地方？

通過“一思”，至少有以下的收獲：其一是思路方面的，求解思路得到肯定（或否定），下次遇到同類問題時不會手足無措。其二是運算技能方面的，反思過程中發現一個技巧，這樣在以后遇到類似問題時少耗時間。

進一步引導學生思考，此解法是否是最好的？可不可以換個角度另辟佳徑？仔細分析題中條件，令人感到不好下手，但我們知道向量可以用坐標表示，能否把向量問題轉化為代數問題，用解析法求解呢？

若仔細分析題中的條件和結論，通過聯想：發現欲證式子的分子是兩個向量的模之和，分母是兩個向量的差的模，因此可以考慮向量的加法法則，構造直角三角形，從“形”的角度求證。

“二思”實際是一題多解，從不同的角度來審視問題，對各種解題思路進行比較和篩選，這樣可以達到溝通新舊知識，各個知識體系之間聯系的目的，使所學知識融會貫通，使解題思路更加開闊，解題過程更加合理，從而達到“優”的境界。

如有可能，引導學生進行較高層次的思考，將題目的條件或結論進行變化，看解題的思路、方法有何變化，看原命題能否推廣。

“三思”的優點在于通過以上的變題，使我們發現這一類問題的求解方法，它不但能達到事半功倍的效果，而且可以領略到解題的規律，提煉出具有解決一些問題的思考方法。

第7篇：數學高三總結范文

摘 要：我們要認真進行學情分析，充分體現“學生為主體，教師為主導”，了解學生，了解課堂，注重教學生成，有意識地讓自己的教去適應學生的學，使課堂教學成為提高高三物理復習效率的支點。只有提高高三物理復習效率，才能實現高三物理課堂教學的有效性。

關鍵詞：高中；物理復習

高三物理的復習教學是一項必不可少的相當重要的一環。經過兩年多的學習，學生們對高中物理的知識體系有了一定的認識，但所學知識往往是片面的、雜亂無章的、不系統。所以必須進行系統的復習，復習的方式有以專題為主的，有以條、塊為主的，但不管以什么方式為主，都應在以下幾個方面引起足夠的重視。只有這樣才能使高三物理的復習工作做到事半功倍的效果。

一、夯實基礎知識

物理基礎知識一般表現為概念、原理、定律和公式等，主要是一些理論知識，比較抽象且不容易理解。我們要把這種抽象的理論知識內化成自己的本領，就必須在實踐活動中積累一些學習經驗。一開始我忽視了基礎知識的學習，認為學習物理不用死記硬背這些文字性的東西，結果在高三總復習中往往不能準確地說出物理基本概念，例如重力的實質是地球對物體的萬有引力的分力。摩擦力的產生條件包括：相互接觸的物體間有彈力的存在；“接觸面粗糙”，接觸面間有相對運動或相對運動的趨勢。功的定義即物體受到了力的作用并在力的方向上發生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功。物體內所有分子動能和所有分子勢能的總和就是物體的內能等。正是由于類似基礎不扎實，從而導致高三總復習期間做物理題往往不得心用手，限制了高三沖刺的高度。認識了這一問題后，我調整了學習思路，在理解記住基本概念的基礎上并學會運用它，這樣在以后做題過程中解題能力大大提高，二輪復習受益匪淺。學完一章后，我們還要及時復習，把每節或每章的基本知識按“樹結構”或以圖表形式使零碎的知識逐步系統化、條理化。例如：學習三種常見的力，重力、彈力、摩擦力，從力的三要素及產生條件進行對比和歸納；例如：對死桿和活桿上的彈力進行比較，死桿的彈力方向不一定沿桿而活桿上的彈力方向一定沿桿。還有電場和磁場的學習更是越對比越有滋味。把基礎知識串成線，連成網，結成體，極大的提高了復習效率。

二、引導學生實現解題方法規律化

在復習過程中，要使學生牢固地保持所學知識，并在掌握技能、技巧方面達到一定的熟練程度，這就要求學生們必須在平時的復課過程中在知識的鞏固和解題思維方法上總結出一定的規律來。題不在于做得多少，只要平時在練習過程中，要求學生多歸納、多總結，使他們掌握解決一類問題的基本解題方法就行了。只有這樣才能大大提高解決同類問題的速度和能力。如解決兩個物體組成的連接體問題。若兩個物體的運動狀態相同，可以先用整體法，再用隔離法就可以解決問題；假設兩個物體的運動狀態不相同，一個處于平衡狀態，另一個做勻變速直線運動，就可以用隔離法來解決此類問題。先對一個物體進行受力分析，列平衡方程（或牛頓第二定律方程），再對另一個物體進行受力分析，列牛頓第二定律方程（或平衡方程），找出二者相互聯系的紐帶――內力，最后把所有方程聯立，就可以解決問題。

三、注意學生能力培養

陶行知說過：“教育是什么？教人變！教人變好的是好教育，教人變壞的是壞教育。活教育教人變活，死教育教人變死。不教人變、教人不變的不是教育。”物理學科教學更是充分體現了這句話，高考將能力的考核放在首要位置，通過對知識及其理解運用的考核來鑒別學生的能力高低。在第一輪復習中，基本上按教材的順序，課堂上以“問題――知識點――典型題”為主線，構建知識網。以一個知識點為中心盡量聯系與此有關的知識點，并使它們有機地連成一體。復習重在理解能力的培養，在教學中應通過多形式的辨析使學生理解概念、規律的含義、適用條件，認識其表達形式，并通過似是而非的典型事例分析進一步加強理解。第二輪復習的任務主要是通過一系列的專題復習加強對學生的各種能力的培養，如分析綜合能力、推理能力、解題能力等。培養分析綜合能力時可從以下幾個要素進行強化。

（一）提高學生受力分析能力

受力分析是大多數學生的薄弱點，尤其是較復雜過程的受力分析。準確畫出正確的受力分析圖是正確解答物理問題的基礎，因此應重視每一道題的受力分析，認真引導學生畫出正確的受力分析圖。

（二）提高學生運動過程的分析能力

教學過程中應多培養學生多說物理過程，多畫物理過程圖，使學生能夠拆解運動過程，清楚整個過程是由哪幾個運動模型組成的，各個運動模型之間是怎么進行轉換的，清楚其中起重要作用的因素及有關條件，清楚每一個過程所對應的規律，清楚物體各個位置或關鍵時刻的物理狀態。

（三）加強培養隱含條件和臨界態分析能力

一般來說復雜的物理問題有四方面的難點：復雜的運動過程、以隱含形式給出部分已知條件、不清楚臨界態對應的物理實質、對有些物理背景或科學名詞不熟悉。其中學生尤其感到困難的是臨界態的物理實質、隱含條件的挖掘，因此平時應多加強這幾方面的練習。

四、高效進行試卷評講

試卷評講是高三物理n堂教學的重要組成部分，上好評講課對提高學生解決物理問題的能力等有很重要的作用。課前應充分了解學生答卷情況，做好三件事：統計分析――分析學生的答題情況，找出學生存在的普遍性錯誤，然后有針對性地按照知識出錯、考試技巧、非智力因素（如計算錯誤）等情況進行歸類。校對反饋――考試結束后給學生試卷參考答案，讓學生自己先自行校對，針對錯題找原因，提交“試卷講評反饋表”。確定講評試題――根據統計分析數據、“試卷講評反饋表”等信息，教師要在上課前明確需要講的試題及補充的題目。試卷講評課堂中，要注意講評結合，杜絕只講不評或只評不講。“講”要突出重點和難點，通過重點試題的講解和難題的突破，使學生在知識構建或物理方法等方面得到提升。評講過程中要抓住問題的本質，注意方式方法，避免以題論題、孤立講解。教師可以“一題多解、一題多聯、一題多變”；錯題再校正，拓展練習，再反饋。學生的練和教師的講要著力于培養解決問題的高手，而不是訓練解題“高手”。“練”應重視審題能力的培養，強調解題的思維操作規范、解題的書寫操作規范；“講”讓學生通過錯誤分析，掌握自己犯錯的類型――防范錯誤。

參考文獻：

第8篇：數學高三總結范文

關鍵詞：新課標；科學備考；提高；復習效率

高三數學復習量大面廣、思想方法多，聯系緊密，內涵豐富，相對于其他學科而言，內容抽象，邏輯嚴謹。因此不少學生既感到畏懼，又無從下手。另外高中數學內容多，復習時間緊，學生的學業負擔較重。如何提高高三數學復習的針對性和實效性呢？因此在數學備考復習時，需要講究方法，注重實效，老師要引領到位、不做無用之功，減輕學生的學習負擔。

一、回歸教材，立足主干，知識與能力并重

教材是考試內容的媒介，是高考命題的重要依據，也是學生思維能力的生長點。只有吃透課本上的例題和習題，才能全面、系統地掌握基礎知識、基本技能和基本方法及基本思想，構建完整的數學知識網絡，以不變應萬變。數學的基本概念、定義、公式和數學知識點的聯系，基本的數學解題思路與方法是第一輪復習的重中之重。

回歸教材，自己先對知識點進行梳理，把教材上的每一個例題、習題再做一遍，確保基本概念、公式等牢固掌握，要扎扎實實，不要盲目攀高，欲速則不達。因此，對基本數學問題的認識，基本數學問題解法模式的研究，基本問題所涉及的數學知識、技能、思想方法的理解是數學復習課的重心。多年的教學實踐使我深刻體會到：基礎題、中檔題不需要題海，高檔題題海也是不能解決的。因此在第一輪復習中，切忌“高起點、高強度、高要求。”

二、構建知識網絡，強化知識交匯點問題的訓練

知識網絡就是知識之間的基本聯系，它反映知識發生的過程，知識所要回答的基本問題。構建知識網絡的過程是一個把厚書（課本）讀薄的過程；同時通過綜合復習，還應該把薄書讀厚，這個厚，應該比課本更充實，在課本的基礎上加入一些更宏觀的認識，更個性化的理解，更具操作性的解題經驗。數學備考復習基礎知識要抓住各部分內容之間的聯系與綜合進行重新組合，對所學知識的認識形成一個較為完整的結構。在第一輪復習中應“低起點、中強度、細要求”。在復習過程中，必須再現主干知識形成的過程，注意知識結構的重組與概括，揭示其內在聯系與規律，重新全面梳理知識，提煉方法，感悟思想。強化基本技能的訓練要克服“眼高手低”現象，主要在速算、語言表達、解題、反思矯正等方面下工夫，盡量不丟或少丟一些不應該丟失的分數。復習中考生對知識交匯點的問題應適當加強訓練，實際上就是訓練學生的分析問題解決問題的能力。綜合性的問題往往是可以分解為幾個簡單的問題來解決的，這幾個簡單問題有機的結合在一起。要解決這類考題，關鍵在于弄清題意，將之分解，找到突破口。

三、注重通性通法，提高數學素養

高考數學試題堅持新題不難、難題不怪的命題方向，強調“注意通性通法，淡化特殊技巧”。重視高中數學的通性通法，倡導舉一反三、一題多解和多題一解，努力培養學生“五種能力、兩個意識”，即空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識。能力的分類和要求與以前有不同，必然要反映在命題中。特別應注意新增加的“數據處理能力”和“應用意識和創新意識”.前者與統計有關，后者與應用問題有關。另外“推理論證能力”有別于先前四大能力之一的“邏輯思維能力”，邏輯思維能力注重是演繹推理，“合情推理”應引起我們的重視，它可以有效地培養學生的創新意識，這正是新課改大力倡導的。寧夏和陜西的試題中在“數據處理能力”方面體現得很明顯，所以我們要引起重視。

四、精選習題，優化訓練，提高備考復習的有效性

高考要想取得好成績，取決于扎實的基礎知識、熟練的基本技能和解題能力。而這些能力的提高都需要通過適當有效的練習才能實現。第一輪復習應特別針對學生基礎較差，動手能力不強，知識不能縱橫聯系的問題進行復習，達到重難點的突破，使學生打下堅實的基礎。要側重于訓練客觀題和中檔題，訓練速度和正確率，也要適量做一些綜合題，提高解題思維能力。并及時總結、記憶，內化提高。要強化解題技能的形成。解題技能主要包括：計算、推理、畫圖、語言表達，這些必須做得非常規范，非常熟練，做的時候要再現數學思想，也就是要明白每一步為什么要這么做。

五、以考代練，重視強化訓練

備考復習中進行模擬考試，可以進一步鞏固數學基礎知識，提高學生的解題能力和解題速度。備考復習時要抓好以下三個方面：①強化客觀題的訓練，結合專題復習，采用定時定量的訓練方法，尋求合理、簡潔的解題途徑，力爭“保準求快”，拿足基礎題的基礎分；②強化中等學生的輔導，使班級均分水漲船高，通過專題性的題組訓練，旨在將知識轉化為能力，轉化為成績；③強化考試試卷的講評，讓學生知道正確的標準，每一次考完后，要讓學生自己認真總結。

第9篇：數學高三總結范文

一、問題的設計應具有趣味性，自然性

問題的設置不能過于生硬，讓人感受不到其自然性，琢磨不透是怎么想到這個問題的，要給人一種自然的、水到渠成的感覺；同時問題的設計要盡可能的有趣味性，緊密聯系實際，激發學生的興趣和參與性，才能激發學生求知欲，才能調動學生注意力，刺激學生思維，讓學生體會到智力角逐的樂趣。如在復習幾何概型這節課時設計如下問題：

問題1：在3米長的繩子上有四個點P，Q，R，S將繩子五等分，從這四個點中任意一點處將繩子剪斷，如果剪得兩段長都不小于1米，那么灰太郎就可以不去捉羊，那么它不去的概率是多少？

問題2：紅外保護線長3米，只有在和兩端距離均不小于1米的點接觸紅外線，才不會報警，灰太郎能夠安全進羊村的概率是多少？

問題3：羊村是個面積為10000平方米的矩形，灰太郎在羊村內炸出的圓有100平方米，假設喜洋洋在羊村的每一點都是等可能的，那么他炸到喜洋洋的概率是多少？

通過以上三個問題，讓學生很自然由古典概型的概念延伸到幾何概型的概念，體會二者的區別和聯系，讓學生深入思考幾何概型的特點，同時在解題的過程中體會到數學的趣味性。

二、問題的設計應具有層次性

新課程要求教學應面向全體的學生，關注每個學生的發展。如果問題太易，學生就會不以為然，失去問題的價值，教師也會失去與學生溝通的機會，浪費教學時間。如果問題太難，學生不敢答，不能答，就會損傷學生思維的積極性，影響學生的學習興趣和信心。因此課堂問題的設計要滿足不同層次的學生的學習的需要，教學中遇到重難點問題應從學生的認知規律出發，充分調動每一位學生的積極性，增強自信心。

三、問題的設計應具有迷惑性

教學中應結合平時對學生產生錯誤的問題收集積累，加以分析研究，根據學生出現的錯誤設計相關的問題，幫助學生澄清錯誤，強化正確的概念，能很好的實現有效地教學。例如在解決恒成立問題這節課，我對一道題目作了如下設計：

已知函數f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8

問題1：若對任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x），求實數a的取值范圍。

問題2：若對任意的x1，x2∈[0，+∞），都有f（x1）≥g（x2），求實數a的取值范圍。

問題3：若存在x1，x2∈[0，+∞）時，都有f（x1）≥g（x2），求實數的取值范圍。

這三個問題都是不等式恒成立的問題，看似相似，很多同學都轉化f（x）-g（x）≥0恒成立，即只需求（f（x）-g（x））min≥0。實際上這只是問題1的思路，而問題2是對任意的x1，x2∈[0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）成立，不等式的兩端的自變量不同，x1，x2的取值在[0，+∞）是有任意性的，所以不等式恒成立的充要條件是f（x）的最小值大于g（x）的最大值。而問題3不等式恒成立的充要條件是f（x）的最大值大于等于g（x）的最小值。

這類題是學生的弱點，難點，所以也就成了高考的熱點。一道好的數學命題，能使解題成為培養一種科學的方法，分析和解決問題的正確的思路，體驗在學習實踐中歸納總結出理性認知的過程。在高三總復習中教師應加強學生的基本題型的變式訓練，使其掌握基本的解題技巧，以不變應萬變。

四、問題設計要具有探究性

新課程改革提出要培養學生的自主探究能力，對于同一問題，教師要能運用條件的增減變化及結論的延伸和條件與結論的互換，一題多解，一題多變等方法，設計出新的問題。這有助與學生縱穿橫拓的思維活動，有利于提高學生的思維能力和探究能力。

在探究過程中進一步理解所學的知識，在新的情境下實現知識的潛移。當探索與研究真正到達課堂，融入教學時，數學會變得更加有趣，學生也會更加喜歡數學，數學能力也會得到進一步提高。

五、問題設計應具有開放性

開放性試題，能很好的考查學生的推理及分析能力，是培養學生發散和創新思維的很好的載體。問題設計應具有開放性，所提出的問題是不確定的和不一般性的，讓學生按自己的思維方式尋求不同的結論，而并不要求結論的唯一性和標準化，在求解問題的過程中通常需要從多角度進行思考和探索，這不僅使學生的概括能力和遷移能力得到提高，而且對數學的本質產生一種新的領悟。從而培養學生的發散性思維，訓練和提高學生的創新思維，增強學生對數學的興趣。

如：設x，y，z是空間的不同的直線或不同的平面，且直線不在平面內，請寫出能使xz且yz，則x∥y成立的x，y，z為直線或平面的所有可能。

新課標對學生的空間想象能力要求是：能夠根據題設條件想象并做出正確的平面直觀圖，能夠根據平面直觀圖形想象出空間圖形；能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系，并能夠對空間圖形進行分解和組合。此題是一道很好的開放題，他對學生的空間想象能力及進行符號語言、圖形語言之間的相互轉化提出了更高的要求，它對提高學生思維的靈活性也提出更高的要求。課堂上很快就有學生得出諸如x為直線，y，z為平面；x，y為直線，z為平面；x，y為平面，z為直線等等很多種可能。