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第1篇：拋物線的標準方程范文

一、轉化定義求方程

例1 已知拋物線的方程為標準方程，焦點在x軸上，其上一個P（-3，m）到焦點的距離為5，求拋物線的方程。

分析：由P點坐標及焦點位置可知拋物線開口向左，故可設出標準方程，依題設列方程組求解或通過定義轉化求解。

解法1：（直接法）由于（-3，m）在第二、三象限，而焦點在x軸上，所以拋物線方程可設為y2=-2px（p>0），其焦點F（-■，0），

P（-3，m）在拋物線上且|PF|=5，

m2=6p，■，解得p=4m=±2■，

故拋物線方程為y2=-8x。

解法2：（定義法）設拋物線方程為y2=-2px（p>0），則焦點F（-■，0），準線為x=■。

又|PF|=5，由定義知■-（-3）=5，所以p=4，故拋物線方程為y2=-8x.

點評：本題根據拋物線所過已知點而設出相應的標準方程。標準方程中只需待定p值，因此1中m不必求出；2利用定義回避m，將P點到焦點距離等長的轉化到準線的距離，簡化了運算過程。

二、拼湊定義求軌跡

例2 方程■=|x-y+3|表示的曲線是（）

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

分析：本題乍一看，不知道從何下手，有的同學兩邊平方然后化簡，這樣也可以，但計算量很大，若充分分析題目的特點，理解拋物線定義的實質，則本題可以迎刃而解。

解：原方程變形為■=■，它表示點M（x，y）與F（-3，1）的距離等于點M到直線x-y+3=0的距離。

根據拋物線的定義，知此方程表示的曲線是拋物線。故選D

點評：本題若直接化簡方程，再判斷其軌跡較繁雜，然而根據方程兩邊所表示的幾何意義，利用拋物線的定義就簡單的多了。

三、巧用定義求最值

例3 已知P為拋物線y2=4x上一點，記P到此拋物線的準線的距離為d1，P到直線x+2y-12=0的距離為d2，則d1+d2的最小值為（）

A.■

B.11■

C.■■

D.無法確定

分析：若直接設出P（x0，■）（x0>0），根據d1+d2=x0+1+■，運用函數思想求解，需去掉絕對值，運算復雜。如果利用定義中相等關系進行轉換，問題就能迎刃而解。

解：如圖1，根據拋物線的定義，可以將“P到此拋物線的準線的距離為d1”轉換為“P到拋物線焦點F的距離”，所以當PF垂直于直線x+2y-12=0時，d1+d2最小，并等于F到直線x+2y-12=0的距離|FE|，而F的坐標為（1，0），所以|FE|=■=■■，則d1+d2的最小值為■■，故選C。

點評：本題利用拋物線的定義將拋物線上一點到準線的距離轉化為到焦點的距離，仍然根據三點共線時取得最小值，可以發現拋物線的定義在解決問題時起了至關重要的作用。

四、活用定義推證明

例4 求證：以拋物線的焦點弦（通過焦點的弦）AB為直徑的圓與拋物線的準線l相切。

證明：如右圖所示：設拋物線方程為y2=2px（p>0），A（x1，y1），B（x2，y2），拋物線焦點為F，

AF=x1+■，BF=x2+■，

AB=AF+BF=x1+x2+p，圓心即AB中點M到準線l的距離為d=■+■=■AB。

故以拋物線的焦點弦（通過焦點的弦）AB為直徑的圓與拋物線的準線l相切。

第2篇：拋物線的標準方程范文

關鍵詞：數控車工；拋物線；FANUC；編程

數控車床能夠加工各種類型的回轉體的零件，其中對于圓柱面、錐面、圓弧面、球面等零件，利用直線插補和圓弧插補指令就可以完成加工，而對于拋物線等一些非圓曲線的零件，編程時具有一定的難度。這是因為大多數的數控系統只提供直線插補和圓弧插補兩種插補功能，因此，在數控機床上對拋物線類零件的加工，多數采用宏程序來進行編程，采用小直線段或者小圓弧段逼近的方法編制。

1.拋物線類零件的編程思路

依據數據密化的原理，我們可以根據拋物線的曲線方程，利用FANUC數控系統具備的B類宏程序功能，密集的算出曲線上的坐標點值，然后驅動刀具沿著這些坐標點一步步移動就能加工出具有拋物線等非圓曲線輪廓的工件。實際上就是利用拋物線的方程，利用X作為自變量，Z作為因變量（或利用Z作為自變量，X作為因變量），找到無數個在拋物線曲線方程上的點，再用G01指令將這些點連接起來，就加工出拋物線的形狀，自變量變化值越大，拋物線加工就越差，加工時間較短，反之，自變量變化值越小，拋物線加工就越精確，表面質量也越好，同時時間也較長，所以要綜合考慮自變量的取值大小。

2.拋物線類零件的編程步驟

2.1.寫出拋物線的標準方程（或參數方程）。

2.2.對標準方程進行轉化，從數學坐標系轉化到編程坐標系。

2.3.公式轉化，即將拋物線的標準方程轉化成實際需要的方程。

2.4.編制加工程序。

3.拋物線類零件的編程舉例

3.1.加工如下圖所示圖紙，零件外形（除拋物線外）已經加工完成，要求編制拋物線部分的精加工程序。

3.2.加工參數選用

3.2.1.刀具選用。加工中所選刀具為93°正偏刀。

3.2.2.加工參數。由于拋物線的最小直徑為0，所以建議轉速不得小于1000r/min。

3.3.程序編制（僅編制拋物線部分精加工程序）

方法一：以X作為自變量

方法二：以Z作為自變量

4.注意事項

4.1.以上兩種方法都可以對拋物線進行加工，選擇時根據實際情況選用，如Z方向的初始值和終止值容易確定，則以Z方向作為自變量。

4.2.自變量的變化值要選擇正確。

4.3.要注意檢查程序，可選擇幾個特殊點進行校對。

5.結束語

綜上所述，隨著數控車床的使用日益普遍， 要充分發揮數控車床的功能，宏程序編程是必不可少的重要環節。使用宏程序編程，大部分零件尺寸和工藝參數可以傳遞到宏程序中，程序的修改比較方便。圖樣改變時，僅需修改幾個參數即可，因此，柔性好，極易實現系列化生產。另外，使用宏程序除了能加工拋物線類零件外，還可以加工橢圓、雙曲線等非圓曲線，有效的擴展數控機床的加工范圍，提高加工效率和品質，充分發揮機床的使用價值。

參考文獻：

第3篇：拋物線的標準方程范文

引例 二次函數y=[SX（]1[]4[SX）]x2+1的圖象，試探究，平面上是否存在這樣的直線l和定點F，使得圖象上任何一點P（x,y）到點F的距離與到直線l的距離相等？

【解答】（配方法）由y=[SX（]1[]4[SX）]x2+1兩邊乘以4并移項得x2-4y+4=0，兩邊同時加上y2，得x2+（y-2）2=y2，兩邊開平方，同取算術根得[KF(]x2+（y-2）2[KF)]=|y|。

用距離公式看待上式，此式表明，拋物線上的動點P（x,y）到定點F（0,2）的距離與到定直線y=0距離相等。這樣二次函數y=[SX（]1[]4[SX）]x2+1的圖象可視為：到定點F（0,2）的距離與到定直線y=0距離相等的點的軌跡，看來，二次函數的圖象與二次方程y2=2px異曲同工。

【另解】（標準方程法）由y=[SX（]1[]4[SX）]x2+1，得x2=4（y-1），它是拋物線x2=4y上移一個單位的結果，后者的焦點F（0,1），準線l為y=-1，上移一個單位后，x2=4（y-1）的焦點F（0，2），準線l為y=0，可以看出二次函數的圖象只是拋物線圖象的一種特殊形式（開口向上或向下），它統一于拋物線的共性之中：到定點（焦點）和定直線（準線）距離相等的點的軌跡。

對于函數y=ax2（a≠0），我們把它改寫為x2=[SX（]1[]a[SX）]y的形式（方程），這是頂點為坐標原點，焦點為（0,[SX（]1[]4a[SX）]），準線方程是y=-[SX（]1[]4a[SX）]的拋物線，函數y=ax2+bx+c（a≠0）配方得y=a（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+[SX（]4ac-b2[]4a[SX）]，由函數圖象平移的性質可以知道，沿向量[WTHX]m[WTBX]=（[SX（]b[]2a[SX）],-[SX（]4ac-b2[]4a[SX）]）平移函數y=a（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+[SX（]4ac-b2[]4a[SX）]的圖象，函數圖象不發生任何變化，平移后圖象對應的函數解析式就是y=ax2+bx+c（a≠0），所以我們可以知道拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的焦點坐標是，（-[SX（]b[]2a[SX）],[SX（]4ac-b2[]4a[SX）]），準線方程是y=[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]，由拋物線的定義，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上的動點P（x,y）到定點（-[SX（]b[]2a[SX）],[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]）的距離與到定直線y=[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]距離相等，即有[KF(]（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+（y-[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]）[KF)]=[JB(|][SX（]y-4ac-b2-1[]4a[SX）][JB)|]，這樣我們就利用了拋物線的標準方程討論了二次函數的圖象是拋物線的問題了。

下面我們來看如何由二次函數的一般形式y=ax2+bx+c（a≠0）用配方法得到上式，進而說明它是拋物線，由y=ax2+bx+c（a≠0）得（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+[SX（]4ac-b2[]4a2[SX）]=[SX（]y[]a[SX）]，所以，（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+[SX（]4ac-b2[]4a2[SX）]-[SX（]y[]a[SX）]+y2-[SX（]4ac-b2-1[]2a[SX）]y+[SX（]（4ac-b2+1）2[]16a2[SX）]=y2-[SX（]4ac-b2-1[]2a[SX）]y+[SX（]（4ac-b2-1）2[]16a2[SX）]。所以，（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+（y-[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]）2=（y-[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]）2。

即（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+（y-[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]）2=（y-[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]）2。

兩邊開方取算術根得

[KF(]（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+（y-[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]）[KF)]=[JB(|][SX（]y-4ac-b2-1[]4a[SX）][JB)|]。

由以上的討論我們可以得到下面的結果：

（1）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）經過坐標平移變換可以簡化為x2=2py（p＞0）或x2=-2py（p＞0）的形式，這是拋物線的兩個標準方程。

（2）拋物線y=ax2（a≠0）的焦點坐標是（0,[SX（]1[]4a[SX）]），準線方程是y=-[SX（]1[]4a[SX）]。

（3）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的焦點坐標是（-[SX（]b[]2a[SX）],[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]），準線方程是y=[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]。

我們可以看到，二次函數的圖象，確實是二次曲線中研究的拋物線，它符合拋物線的定義，具有拋物線的性質。還可以看出二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象只是對稱軸平行于y軸（包括y軸）的一類特殊位置的拋物線。

第4篇：拋物線的標準方程范文

一、認識拋物線，欣賞拋物線

所謂拋物線就是說平面內的一個定點F和一條直線L的距離的比值等于1的點的軌跡。學習拋物線，首先，我們要知道什么是拋物線，只有深層次的理解了拋物線的定義，我們才能在平時的解題過程中靈活巧妙的運用拋物線的知識。實踐才是硬道理，所以我們在教學過程中要多做練習，要讓學生能通過讀題找到題目的考點，嘗試自己寫出題目的計算表達式，以此來加深學生對概念的理解，加強學生對拋物線知識的記憶。

例如我們最初接觸到的圓形，計算圓面積的公式S=πr?，這是我們記憶中的圓的面積公式，也是數學家替我們總結好的公式，但是如果讓我們自己通過坐?訟檔耐夾衛蔥闖黽撲愎?式呢？對于拋物線我們知道它是存在于坐標系中的，拋物線也有屬于自己的定點及公式，例如：

①對于拋物線y2=2px（p>0），若點P（x0，y0）在拋物線內部，則點P（x0，y0）的坐標滿足y022px0

②過拋物線y2=2px上一點P（x0，y0），作拋物線的切線，其切線方程為

y0y=p（x0+x）

③已知拋物線y2=2px，若A、B兩點在拋物線上，過點A、B分別作拋物線的切線l1，l2，且l_1∩l_2=T，則點T的軌跡為：x=-a

④已知拋物線y2=2px，若A、B兩點在拋物線上，過點A、B分別作拋物線的切線l1，l2，且l_1∩l_2=T，若A（x1，y1），B（x2，y2），則x1?x2=定值，y1y2=定值。

這些公式都是關于拋物線的一些基本的公式，要想能完整的解題就必須要牢牢掌握這些公式。這些公式可以讓我們在面對題目時不至于那么的手足無措，因此，記住關于拋物線的所有公式，在解題過程中才能水到渠成，記憶永遠是不過時的、最直接的、最簡便的學習方式。

二、興趣是永久的、最好的老師

數學是一門理科課程，理科的邏輯性、嚴謹性決定了數學的學習是枯燥乏味的，高中數學隨著教育事業與社會發展的需求，難度在不斷的提升，學生對于數學的學習也從一開始的“懼怕”到后來的“厭惡”。學生這種態度的變化讓老師不知所措，因此，學習拋物線，重要的不是被動的教學過程，而是讓學生對拋物線產生興趣，在教學過程中給學生一定的空間，讓學生能充分的發揮自己的想象力， 結合實際，讓學生對拋物線不產生排斥的情感。例如：已知拋物線y2=2px（p>0），F為其焦點，l為其準線，過F任作一直線交拋物線于A，B兩點，A'B'分別為A、B在l上的射影，M為A'B'的中點 求證：

①A'F與AM的交點在y軸上

②AB'與A'B交于原點。

分析：這道題在設直線時要考慮用什么形式的直線方程，對比：x=my+n和y=kx+b，該題選擇第一種形式，原因是減少分類討論，從而簡化解題過程。

這道題是一個計算題，主要考查基本概念，整個可變量就是一個變量m，但不用分類討論，因為當m=0時，直線與拋物線有且只有一個交點，與題目的有兩個交點矛盾。

解題思路：①設A（X1，Y1），B（X2，Y2）設一個輔助變量m

于是設直線AB為x=my+p/2.代入雙曲線方程得到y2-2pmx-p2=0

則y1+y2=2pm，y1y2=-p2

設直線A'F與y軸的交點N，計算該點的坐標，滿足直線方程AM即可（也可以證明三點共線，即A、M、N三點共線用斜率計算即可）

②解題思路與第一問類似，證明原點O在AB'和A'B上，只要直線OA與OB'斜率相等，OB與OA'相等就成。（計算過程省略）

三、教師正確的引導教學

學生是一個很奇怪的群體，他們是祖國的花朵，也是國家未來的棟梁。教師是學生在學習道路上的指引人，在拋物線的教學過程中，給學生獨立思考的空間是很重要，但是不能任由學生毫無章節的想象，脫離課堂教學的內容。拋物線有四種不同形狀的圖形的計算公式，我們在教學過程可以讓學生進行對比學習，讓學生找到這些公式的相同點與不同點，記住它們特殊情況，就能夠在直角坐標系中準確的畫出它們的基本表達式所代表的圖形。

在拋物線方程的講解中，筆者是將拋物線方程轉化為兩個標準式，即焦點在x軸和焦點在y軸上，然后根據方程的特點，準確判斷拋物線的開口方向。這樣就不會讓學生覺得拋物線很繁瑣的感覺，同時也類比了橢圓和雙曲線。

第5篇：拋物線的標準方程范文

關鍵詞：助學單；助讀；助思；助論；助練

[?] 引言

最近比較流行助學單教學，助學單的爭議一直沒有停過，有人認為，有了助學單之后課堂上老師無事可做，只是幾個比較好的學生在課堂上起哄，課堂的學習秩序很糟糕，最終學生的學習效果很差. 但筆者經過一段助學單教學的嘗試后，學生的學習自主性、探究性、合作性明顯增強，用學生一句話說，不被老師牽著鼻子走，感覺真爽，做自己的主人. 筆者嘗試的助學單不同于導學案，導學案強調的是教師導、學生學，依然是教師站在前臺指揮學生；助學單強調的是學生學、學生評，學生不能解決的教師再評，教師退居到后臺，讓學生覺得學習是自己的事. 一份好的助學單設計應充分體現助讀、助思、助論、助練的作用.通過助學單能更好地引導學生去閱讀課本，帶著問題去思考課本的知識，有效地參與學習過程，有利于培養學生發現問題、解決問題的能力. 筆者每次備課時會看看網絡上同行會做怎樣的助學單設計，有時會看到概念的教學中教師直接將概念設計成缺詞填空，學生只要簡單地從教材中摘錄就可以了，這樣的思維是低級的，學生是沒有理解的，看似學生自主學習了，其實只是抄書匠，比原來的傳統被動式學習更糟糕. 助學單的設計要將教材內容轉換成相應的問題，這些問題要能激起學生進一步的思考，并且能夠引導學生更好地去閱讀課本，學生通過質疑，討論形成問題的答案，從而實現對知識的理解掌握，這樣的學習意義深遠.就像經典動畫片《朵拉歷險記》里面有一句經典臺詞，當你不認識路的時候，問地圖. 我們的學生就缺少看地圖找路的過程，換句話說，當你不知道該怎么學習時，問助學單. 這就是助學單要給學生提供的平臺. 不再是教師咀嚼好了教材喂給學生，變“教材”為“學材”，學生不再依賴老師，而是教師將要學習的知識，設計成助學單，讓學生以助學單為載體，通過閱讀、思考、交流等途徑找到答案或接近答案，使知識內化并獲得知識. 下面筆者以“拋物線的標準方程”助學單為例闡述助學單設計中的助讀、助思、助論、助練原則，通過課堂實錄評析助學單對學生學習的促進作用.

[?] 拋物線的標準方程助學單設計

筆者嘗試的助學單按“自主學習―合作交流―展示點撥―鞏固深化”四個環節展開. 這一點與活動單、導學單不同，后兩者是在活動中先解決一個問題，然后再解決下一個問題，其實還是被教師牽著鼻子走. 而助學單是完全把學習的過程交由學生，課堂的一開始先由學生按照助學單的流程展開自主梳理，然后依照學生自己的學習情況，發現小組內不能解決的問題，拋出問題，組間共同商量對策，教師在后臺拿捏問題討論的價值和激發討論深度，直至各小組成員能夠完全掌握新知. 以下是拋物線的標準方程助學單設計內容.

學習目標：1. 了解拋物線定義，理解拋物線上點的共同特征；

2. 推導并掌握拋物線的標準方程；

3. 由所給條件會求拋物線的標準方程.

一、自主梳理：

1. 回憶解析幾何中研究橢圓、雙曲線的一般過程.

2. 請大家閱讀選修1-1教材47頁的內容并思考下列問題.

（1）根據拋物線的定義，說出拋物線上的所有點具有怎樣的共同特征.

（2）類比橢圓、雙曲線的建系方式，課本47頁介紹了拋物線的哪一種建系方式？并畫出示意圖.

（3）設p為定點F到定直線l的距離（p>0），在上述建系下，根據定義，列出拋物線上的任意一點P（x，y）滿足的方程，并進行化簡.

（4）y2=6x的焦點到準線的距離是__________，焦點坐標是__________，準線方程是__________.

（5）拋物線y2=2px（p>0）過點（2，3），則p=__________.

二、合作交流，展示點撥

1. 針對上述自主梳理中出現的疑難問題進行組內和組間的合作探究.

疑問：（1）________，（2）________，（3）________，解惑：交流討論.

2. 完成下列表格（表1）. 圖形標準方程焦點坐標準線方程開口方向

拋物線標準方程中p的幾何意義_________________________________.

三、鞏固練習：

練習1：完成下列表格（表1）.

練習2：求經過點（2，3）的拋物線的標準方程.

總結求拋物線的標準方程的基本步驟：____________________________.

若掌握得不好的學生，組內仿照練習1、2自編習題解答.

[?] 課堂實錄及每塊功能闡述

助學單的教學必須要對學生進行分組，這樣在合作交流時便于學生討論.一般將全班分成8組，每組6-8人.

學習目標的設計強調助學單的任務驅動，讓學生在提出問題、解決問題的過程中達成學習目標.

第一環節，自主梳理完成助讀功能.自主梳理部分由學生獨立完成，在學生閱讀完成自主梳理時教師進行組間巡視，觀察學生的完成情況，哪里卡殼了，哪里填得不夠準確，適當問問學生或激發學生問問題. 影響學生學習的因素有很多，當學生閱讀同一內容時所反饋的對問題的理解在自主梳理部分暴露得很清晰，如學生在完成根據定義概括拋物線上點的特征的時候，有很多人面對課本上寫得很清楚的拋物線的定義即拋物線上點的特征的那句話視而不見. 這說明學生看書不仔細，對教師依賴性強，因為前面橢圓、雙曲線上點的特征是教師直接講授的. 通過組內學生互相輔導，這個問題會馬上得以解決.有學生在畫拋物線的示意圖時為難了，怎樣的示意圖才能將拋物線上點的特征顯示出來，即使書上有現成的圖，有些學生也不知道為什么要那么畫，這時候會在腦海中不斷出現學習中的障礙. 在講授式教學中不會出現這個問題，因為學生直接接受教師畫好的示意圖，而且教師在講授的過程中還會邊畫邊解釋，所以有部分學生是憑短暫記憶實現短暫理解，時間一長又忘了. 但通過自己閱讀發現再共同解決的問題就不會擔心遺忘，而學生在閱讀過程中發現的問題正是本節課的難點. 學生通過閱讀完成問題（4）時，會有一個一般到具體的轉化過程，而且書上沒有現成的答案可抄，這個問題就是檢測對上述問題是否理解及理解的深度.

第二環節，合作交流、展示點撥完成助思、助論的功能.其實在第一環節自主梳理時，不同層次的學生已經在腦海中形成不同的問題. 合作交流環節給大家提供一個提問、解惑的平臺，教師將學生的問題進行歸納、篩選，讓各組展示能直指知識核心及難點的問題. 學生的能力遠超筆者的想象，各小組長將組內不能解決的問題直接寫到黑板上，這是當時學生提出的5個問題：（1）為什么那條定直線叫準線；（2）為什么建系時原點要建在拋物線的頂點O；（3）為什么化簡后只有一個二次式；（4）為什么焦點是

，0；（5）如何簡便判斷開口方向. 以上五個問題，（1）是命名問題，教師直接解決，問題（3）（4）（5）只有將問題（2）解決了才能解決.學生不能輕松解決問題（2），此時教師說明建系的方式不止一種，但原則是這種建系下要使方程更為簡潔. 有學生想弄明白其他建系方式下方程是怎樣的，教師可請某些學生在黑板上將推理寫出來，其余學生在下面選一種方式推導，寫完后讓這些學生分別對著臺下的人說出自己的解答過程.這樣做，學生對方程的特點會理解得更深刻些.

第6篇：拋物線的標準方程范文

一、創設情境，讓學生學得有興趣。

創設生動有趣的生活情境，使學生身臨其境，引導學生發現數學，掌握數學和運用數學，溝通生活中的數學和課本中的數學的聯系，使數學和生活融為一體。這樣才有益于學生理解數學，應用數學。

如在學習“拋物線及標準方程”這節課時，正值元旦過后，新年許多學生都放了煙花或剛觀看過煙花，它們的運動軌跡就是拋物線，創設學生熟悉的以煙花的軌跡為生活情境，讓學生感受了拋物線在生活中的實例，激發了學習興趣。又如，每位同學小時候都玩過紙飛機，它的飛行軌跡也是拋物線。

情境的設置給新知識的引入提供了一個豐富、多樣的空間，調動了學生的學習興趣和參與意識，達到了教學目的。數學在同學們的眼中不再是簡單的數學，而是富有情感、貼近生活、具有活力的東西。同學們還能切切實實地感受到：數學來源于生活，生活中處處有數學，數學知識能為我們的學習、生活服務！從而體現數學的意義與價值。

二、調動情感，讓學生感受、體驗數學。

調動學生的積極情感，可使學生積極地、主動熱情地參與到數學知識的構建過程中去， 體驗數學、感受數學，獲得經驗。要讓學生于快樂之中掌握知識，創造一個和諧、熱烈、緊張、愉快的課堂氣氛，盡量讓學生去發現問題、解決問題，讓他們成為學習活動的積極參與者.教師應鼓勵學生大膽想象，大膽猜測，激發學生學習的積極性，促使他們像科學家一樣去研究、驗證自己的猜想。在猜測―驗證―論證的過程中，體會數學結論形成的過程，體驗數學知識的科學性，獲取成功的喜悅。

如探究拋物線的定義的過程：引導學生回憶平面內與一個定點F的距離和一條定直線l的距離的比是常數e的軌跡，當0

教師設計了一個動手操作的活動簡單實驗，讓每個學生用事先準備好一根直尺、三角板、繩子、鉛筆，把一根直尺固定在畫圖板內直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A，截取繩子的長等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線。反復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結。這樣 在整個探索的過程中逐步升華了學生渴望數學學習的情感。讓學生感受數學、體驗數學，讓學生在動手動腦中獲得了不同的體驗與收獲。學生的主體地位在新課堂上應得到最鮮明的體現。

三、提供空間，讓學生在動手實踐中學習。

課程標準重視學生的學習過程和動手操作。通過“做數學”來學習數學。教學中要重視知識的發生和發展過程，加強學生的動手實踐，體驗數學知識的來歷，在操作過程中獲取知識與經驗。 活動、參與是思維的起點，若分割了活動與思維的聯系，則思維就很難得到發展，而動手實踐，是最易激發學生的思維和想象的。關注學生的直接經驗，讓學生在親身體驗中發現、理解、掌握、應用數學知識。

如關于拋物線的標準方程的推導：

設定點F到定直線l的距離為p（p為已知數且大于0），怎樣選擇直角坐標系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？

讓學生議論一下，教師巡視，啟發輔導，最后簡單小結建立直角坐標系的方案：

方案1：（由第一組同學完成，請一優等生演板.）以l為y軸，過點F與直線l垂直的直線為x軸建立直角坐標系（圖2-30）.設定點F（p，0），動點M的坐標為（x，y），過M作MDy軸于D，拋物線的集合為：p={M||MF|=|MD|}.

化簡后得：y2=2px-p2（p>0）.

方案2：（由第二組同學完成，請一優等生演板）

以定點F為原點，平行l的直線為y軸建立直角坐標系（圖2-31）.設動點M的坐標為（x，y），且設直線l的方程為x=-p，定點F（0，0），過M作MDl于D，拋物線的集合為：

p={M||MF|=|MD|}.

化簡得：y2=2px+p2（p>0）.

方案3：（由第三、四組同學完成，請一優等生演板.）

取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系（圖2-32）.

拋物線上的點M（x，y）到l的距離為d，拋物線是集合p={M||MF|=d}.

化簡后得：y2=2px（p>0）.

引導學生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標準方程.這是因為這個方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數有明確的幾何意義：一次項系數是焦點到準線距離的2倍.

第7篇：拋物線的標準方程范文

一、考試要求

（1）掌握橢圓的定義，標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程。

（2）掌握雙曲線的定義，標準方程和雙曲線的簡單幾何性質。

（3）掌握拋物線的定義，標準了方程和拋物線的簡單幾何性質。

（4）了解圓錐曲線的初步應用。

二、考情縱覽

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，是中學數學各主干知識的交匯點，中學各種思想方法的綜合點，初等數學與高等數學的銜接點，理所當然成為歷屆高考命題的熱點。

圓錐曲線的定義，方程和性質，在高考試卷中分值一般在10分左右，主要以選擇題和填空題形式考查圓錐曲線的概念，標準方程，幾何性質等基礎知識及其應用，以簡單或中檔題為主，個別題目會是中等偏上的難度。圓錐曲線的綜合問題主要考查根據條件，求平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質，縱觀近幾年高考試題，圓錐曲線的綜合問題一般都是一道解答題，通常難度較大，多為把關題或壓軸題，分值為12左右，重點考查圓錐曲線中的幾何量的確定或幾何量取值范圍的確定，主要的題型有：動點的軌跡方程問題，最值或取值范圍問題，定值或定點問題，探索性問題，直線與圓錐曲線的位置關系問題，與其他數學知識的交匯問題。

三、復習建議

1、熟練掌握圓錐曲線的有關概念，方程和幾何性質等基礎知識，它們是準確解題的依據。

2、掌握把幾何條件轉化為代數形式的核心解題思路和坐標法這個核心解題方法。

3、掌握好解答典型問題的通性和通法以及一些常用的求解技巧，如“設而不求，”或“代點法”“整體代入”或“點差法”等，通過強化訓練以體會其中的思維模式與方法。

4、本章綜合性強，能力要求高，還涉及到函數、方程、不等式、平面幾何等許多知識，可以有效地考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想。重視對數學思想方法的提煉，以便優化解題思維，簡化解題過程。

四、知識網絡

五、重難點

重點：掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標準方程和它們簡單幾何勝質。特別橢圓及雙曲線的離心率的求解。

難點：直線與圓錐曲線的位置關系，軌跡問題、最值、范圍問題，定值問題及探索性問題。

六、資料的使用

圓錐曲線問題的求解特點是以代數方法求解幾何問題，所以求解思路易找，但是由于運算量大，不僅影響解題速度，也極容易出錯，因此又易形成“答對困難”的現象。圓錐曲線中蘊含著許多數學思想，若能根據題設特點，靈活地運用相應的數學思想，往往能簡化運算，從而使問題簡捷，準確地獲解。因此需要大量的練習，才能獲得基本功，才會熟能生巧。

第1講：橢圓——它的幾何性質主要是圍繞橢圓中的“六點”（兩個焦點，四個頂點）“四線”（兩條對稱軸，兩條準線）“兩形”（中心，焦點以及短軸端點構成的三角形、橢圓上一點和兩焦點構成的三角形），研究它們之間的相互關系。資料上的東西全部使用。

第2講：雙曲線——可與橢圓類比來理解，掌握雙曲線的定義，標準方程和幾何性質。但應特別注意兩者的不同點，如a ， b， c關系，漸近線等，漸近線是刻畫雙曲線范圍的重要概念，高考特別注意與互相關問題的考查，資料全使用。

第3講：拋物線——重視定義在解題中的應用，靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化。拋物線的標準方程有四種，在求解過程中，首先要根據題目描述的幾何性質判斷方程形式，然后利用已知求解。將方程y=ax2 與方程y2=2px區別開，誰是標準方程很重要。對于拋物線y2=2px(p>0)上的點的坐標設為（ ，y） 常有利于簡化運算。

第4講直線與圓錐曲線的位置關系。

(1)直線與圓錐曲線的位置關系中的中點弦問題：（1）直線與圓錐曲線的關系是解析幾何中一類重要問題，解題時注意應用根與系數的關系及“設而不求”的技巧。

（2）運用“點差法”解決弦的中點問題：涉及弦的中點問題，可以利用判別式和根與系數的關系加以解決，也可以利用“點差法”解決此類問題，若知道中點，則利用“點差法”可得出過中點弦的直線的斜率。

2、對于直線與曲線的交點，常采取設而不求或“代點法”等方法，這是簡化解題過程的常技巧，要認真領會。但采用這些方法，由于避免了方程的過程，方程的解是否存在，必須由>0這一條件進行保證，否則會發生錯誤。

3、解決圓錐曲線的最值與范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數法。若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮得用圖形性質來解決，這就是幾何法。若題目的條件和結論體現一種明確的函數關系，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值，這就是代數法。

在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：

（1）利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；

（2）利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數之間建立等量關系；

（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；

第8篇：拋物線的標準方程范文

1.平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點，點D在直線3x-y+1=0上移動，則點B的軌跡方程為()

A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

答案：A　解題思路：設AC的中點為O，即.設B(x，y)關于點O的對稱點為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.

2.由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為()

A.1 B.2

C. -2D.3

答案：C　解題思路：當該點是過圓心向直線引的垂線的交點時，切線長最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長的最小值是l==.

3.直線y=x+b與曲線x=有且只有一個交點，則b的取值范圍是()

A.{b||b|=}

B.{b|-1

C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，A是雙曲線漸近線上的一點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為()

A.或- B.或-

C.1或-1 D.或-

答案：D　命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質的探究，體現了解析幾何的數學思想方法的巧妙應用，難度中等.

解題思路：如圖如示，不妨設點A是第一象限內雙曲線漸近線y=x上的一點，由AF2F1F2，可得點A的坐標為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應選D.

4.設F1，F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，與直線y=b相切的F2交橢圓于點E，E恰好是直線EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為()

A. B.

C. D.

答案：C　解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，

|F1F2|=2c，|EF2|=b，

由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，

又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，

即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，

所以e2===，故e=，故選C.5.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A，B兩點，|AB|=4，則C的實軸長為()

A. B.2 C.4 D.8

答案：C　解題思路：由題意得，設等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實軸長為2a=4，故選C.

6.拋物線y2=-12x的準線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于()

A. B.3 C. D.3

答案：B　命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質等基礎知識，意在考查考生的運算能力.

解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點坐標是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.

7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是()

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.銳角三角形 D.鈍角三角形

答案：D　解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.

8. F1，F2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點.若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()

A.2 B. C. D.

答案：B　命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標準方程、幾何性質以及基本量的計算等基礎知識，考查了考生的推理論證能力以及運算求解能力.

解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因為ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.

9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()

A.2 B.3

C. D.

答案：A　解題思路：設拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準線，拋物線的焦點為F(1,0)，則d2=|PF|，由數形結合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時，即為點F到l1的距離，利用點到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.

10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上的一點，且與點B在雙曲線的同一支上，P關于y軸的對稱點是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是()

A. B. C. D.

答案：C　命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡及變形能力，難度中等.

解題思路：設A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.

二、填空題

11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.

答案：(1)-8　(2)2　命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，難度中等.

解題思路：設直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數的關系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.

知識拓展：將ABF分割后進行求解，能有效減少計算量.

12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，則的值是________.

答案：　命題立意：本題考查橢圓的基本性質及等比中項的性質，難度中等.

解題思路：設橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.

13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B.若=，則p=________.

答案：2　解題思路：過B作BE垂直于準線l于E，

=， M為AB的中點，

|BM|=|AB|，又斜率為，

BAE=30°， |BE|=|AB|，

|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點，

p=2.

14.

第9篇：拋物線的標準方程范文

一、拋物線

【規律探蹤】在拋物線y2=2mx（m≠0）中，若直線l與拋物線相交于M、N兩點，點P（x0，y0）是弦MN的中點，弦MN所在的直線l的斜率為kMN，則kMN?y0=m。

注意：能用這個公式的條件：①直線與拋物線有兩個不同的交點；②直線的斜率存在.

例1設A（x1，y1），B（x2，y2）兩點在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線。

⑴當且僅當x1+x2取何值時，直線l經過拋物線的焦點F？證明你的結論。

⑵當x1=1，x2=-3時，求直線l的方程。

解析：⑴x2=12y，p=14，F（0，18）。

設線段AB的中點為P（x0，y0），直線l的斜率為k，則x1+x2=2x0

若直線l的斜率不存在，當且僅當x1+x2=0時，AB的垂直平分線l為y軸，經過拋物線的焦點F。

若直線l的斜率存在，則其方程為y=k（x-x0）+y0，kAB=-1k。

由1kAB?x0=p得：-kx0=14，x0=-14k。

若直線l經過焦點F，則得：18=-kx0+y0=14+y0，y0=-14，與y00相矛盾。

當直線l的斜率存在時，它不可能經過拋物線的焦點F。

綜上所述，當且僅當x1+x2=0時，直線l經過拋物線的焦點F。

⑵當x1=1，x2=-3時，A（1，2），B（-3，18），x0=x1+x22=-1，y0=y1+y22=10.

由1kAB?x0=p得：k=14。

所求的直線l的方程為y=14（x+1）+10，即x-4y+41=0

二、橢圓

【規律探蹤】在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，若直線l與橢圓相交于M、N兩點P（x0，y0），點是弦MN的中點，弦MN所在的直線l的斜率為KMN，則KMN?y0x0=b2a2。

例2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=22，右準線方程為x=2。

⑴求橢圓的標準方程；

⑵過點F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點，且|F2M+F2N|=2263，求直線l的方程。

解：⑴根據題意，得e=ca=22 x=a2c =2

a=2，b=1，c=1。所求的橢圓方程為x22+y2=1.

⑵橢圓的焦點為F1（-1，0）、F2（1，0）。設直線l被橢圓所截的弦MN的中點為P（x，y）。

由平行四邊形法則知：F2M+F2N=2F2P。

由|F2M+F2N|=2263得：|F2P|=263。

（x-1）2+y2=269.…………………………………①

若直線l的斜率不存在，則lx軸，這時點P與F1（-1，0）重合，|F2M+F2N|=|2F2F1|=4，與題設相矛盾，故直線l的斜率存在.

由kMN?yx=-b2a2得：yx+1?yx=-12.

y2=-12（x2+x）.……………………………………②

②代入①，得（x-1）2-12（x2+x）=269.

整理，得：9x2-45x-17=0；解之得：x=173，或x=-23。

由②可知，x=173不合題意。

x=-23，從而y=±13；k=yx+1=±1.

所求的直線l方程為y=x+1，或y=-x-1。

三、雙曲線

例3設A、B是雙曲線x2-y22=1上兩點，點N（1，2）是線段AB的中點。

⑴求直線AB的方程；

⑵如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓，為什么？

解析：⑴a2=1，b2=2，焦點在x上；由kAB?y0x0=b2a2得：kAB?2=2，kAB=1。

所求的直線AB方程為y-2=1?（x-1），即x-y+1=0。

⑵設直線CD的方程為x+y+m=0，點N（1，2）在直線CD上，

1+2+m=0，m=-3。直線CD的方程為x+y=0。

又設弦CD的中點為M（x，y），由KCD?yx =b2a2 得：-1?yx=2 ，即y=-2x。

由x+y-3=0y=-2x得x=-3，y=6。點M的坐標為（-3，6）。

又由x+y+3=0x2-y22=1得A（1，0）.B（3，4）

由兩點間的距離公式可知：|MA|=|MB|=|MC|=|MD|=210。