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第1篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

證明 過(guò)點(diǎn)A作AOBC，垂足為O.因?yàn)锳C2=AO2+OC2，AD2=AO2+OD2，

所以AC2-AD2=（AO2+OC2）-（AO2+OD2）=OC2-OD2=（OC+OD）（OC-OD）=CD（OC-OD）．

又因?yàn)锳B=AC，AOBC，所以O(shè)C=OB.所以AC2-AD2=CD（OB-OD）=BD?CD．

圖1 圖2推論:如圖2，ABC中，AB=AC，D為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則AD2-AC2=BD?CD．

證明 延長(zhǎng)CB到E，使BE=CD，連接AE.易證ABE≌ACD，于是AE=AD，所以AED是等腰三角形.由上面的性質(zhì)得AD2-AC2=EC?CD=（EB+BC）?CD=（CD+BC）?CD= BD?CD．

應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)，可證明一類(lèi)幾何題：a2-b2=cd型證明題.若題中線(xiàn)段符合a2-b2=cd，有平方差，則可以a為腰構(gòu)造等腰三角形，使底邊落在直線(xiàn)c或d上，運(yùn)用該性質(zhì)求解.舉例如下：

圖3例1 如圖3，已知：在ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)BC到D，使CD=CB.求證：AD2=AB2+2BC2．

證明 由推論得AD2=AC2+BD?CD=AB2+2BC?BC=AB2+2BC2．

圖4例2 ABC的角平分線(xiàn)AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交外接圓于點(diǎn)E.求證：AE2-BE2=AB?AC．

證明 如圖4，作EF=EA，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，即構(gòu)造等腰EAF．

由性質(zhì)得AE2-BE2=AB?BF.連接EC.因?yàn)锳E平分∠BAC，EF=EA，所以∠EAC=∠BAE=∠F，BE=EC.又因?yàn)椤螰BE=∠ECA，所以FBE≌ACE（AAS）.所以BF=AC.所以AE2-BE2=AB?AC．

例3 在ABC中，∠ACB=2∠ABC.求證：AB2=AC2＋AC?BC．

證明 如圖5，作AD=AB，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，即構(gòu)造等腰ABD．

由性質(zhì)得AB2=AC2＋BC?CD.因?yàn)锳D=AB，所以∠B=∠D.所以∠ACB=2∠B=2∠D.而∠ACB=∠CAD+∠D，所以∠CAD=∠D，即有AC=CD.所以AB2=AC2＋AC?BC．

注 此題也可利用推論構(gòu)造等腰三角形求證．

圖5 圖6例4 如圖6，已知：ABC中，AB>AC，ADBC于D，E為BC中點(diǎn).求證：AB2-AC2=2BC?DE．

證明 作AF=AB，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，由性質(zhì)得AB2-AC2=BC?CF．

因?yàn)锳F=AB，ADBC，所以BD=DF.所以CF=BF-BC=2BD-2BE=2（BD-BE）=2DE.所以AB2-AC2=2BC?DE．

圖7例5 如圖7，已知：ABC中，D在BC上，AB2-AC2=BD2-DC2.求證：AD是ABC的高．

證明 作AE=AC，交BD于點(diǎn)E，由推論得AB2-AE2=BE?BC，即AB2-AC2=BE?BC．

因?yàn)锳B2-AC2=BD2-DC2，所以BE?BC=BD2-DC2=（BD+DC）（BD-DC）=BC（BD-DC）.所以BE=BD-DC.而B(niǎo)E=BD-ED，所以ED=DC.又因?yàn)锳E=AC，所以ADEC.所以AD是ABC的高．

注 此題也可利用性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形求證．

作者簡(jiǎn)介:鄧文忠，男，1974年出生，中學(xué)一級(jí)教師，縣級(jí)名師，主要研究解題教學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽，20多篇.

打破常規(guī)，整體求值

——一道填空題引發(fā)的思考

甘肅省武威第十中學(xué) 733000 陳國(guó)玉

1 問(wèn)題的來(lái)源

期末復(fù)習(xí)中，模擬試卷中有這樣一道填空題：已知方程組x+2y=3

2x+y=6，則x＋y= ，x－y= .我問(wèn)同學(xué)們是如何解答的，同學(xué)們都說(shuō)是通過(guò)解方程組，先求出方程組的解x=3

y=0，再代入求x＋y和x－y中求值.我問(wèn)不解方程組，可以直接求出結(jié)果嗎？同學(xué)們先是一怔，再仔細(xì)觀察方程組中各個(gè)未知數(shù)的系數(shù)，恍然大悟：將兩個(gè)方程相加，可得3x＋3y=9，方程兩邊都除以3可得x＋y=3；將第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程可得x－y=3.同學(xué)們的興趣突然被激起，課堂氛圍一下子活躍了，不禁為這種解法喝彩、叫好，有些同學(xué)還躍躍欲試．

課后我深思：能否將一般形式的二元一次方程組，不解方程組，通過(guò)上述方法，得到x＋y或x－y的值呢？

2 問(wèn)題的解決

例1 已知方程組3x-5y=6

2x+3y=8 ，求x＋y和x－y的值．

顯然，將原方程組中的兩個(gè)方程直接相加（或相減），不可能得到（x＋y）或（x－y）的整數(shù)倍，也就得不到x＋y或x－y值．

起初，我想在原方程組中的一個(gè)方程（或兩個(gè)方程）中乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，然而通過(guò)相加（或相減）這兩個(gè)方程來(lái)達(dá)到目的，但是，這個(gè)“適當(dāng)”的數(shù)又如何確定呢？

后來(lái)我是這樣想的：將這個(gè)方程組中的兩個(gè)未知數(shù)的和（或差）看成一個(gè)整體，在原方程組中，“拼湊”出這個(gè)整體，通過(guò)解方程組求出這個(gè)整體的值．

下面就以上例說(shuō)說(shuō)這種“拼湊整體法”．

解 將原方程組變形，

得3(x+y)-8y=6 ①

2(x+y)+y=8 ②

由②×8得， 16（x＋y）＋8y=64. ③

由③＋①得，19（x＋y）=70，所以x＋y=7019．

將原方程組變形，得3(x-y)-2y=6 ①

2(x-y)+5y=8 ②

由①×5＋②×2得， 19（x－y）=46，所以x－y=4619．

3 拓展應(yīng)用

3.1 利用這種“拼湊整體法”解決方程組中的一些求值題

例2 已知關(guān)于x、y的方程組3x+2y=5a

4x-3y=2 的解滿(mǎn)足x＋y=4，求a的值．

分析 將原方程組的兩個(gè)方程“拼湊”出“x＋y”這個(gè)整體，通過(guò)解這個(gè)方程組求出“x＋y”這個(gè)整體的值，然后再利用已知的“x＋y”的值構(gòu)造方程，解之即可．

解 將原方程組變形為

3(x+y)-y=5a ①

4(x+y)-7y=2 ②

由①×7得， 21（x＋y）－7y=35a. ③

由③－②得，17（x＋y）=35a－2. ④

把x＋y=4代入④，得17×4=35a－2，解得a=2．

例3 已知關(guān)于x、y的方程組x+2y=k

3x+5y=k-1 的解x、y的差是7，求k2－2k＋1的值．

分析 將原方程組的兩個(gè)方程“拼湊”出“x－y”這個(gè)整體，通過(guò)解這個(gè)方程組求出“x－y”這個(gè)整體的值，然后再利用已知的x－y=7的值構(gòu)造方程，求出k的值代入即可．

解 將原方程組變形為

(x-y)+3y=k ①

3(x-y)+8y=k-1 ②

由①×8得， 8（x－y）－24y=8k. ③

由②×3得，9（x－y）＋24y=3k－3. ④

由④－③得，x－y=－5k－3. ⑤

把x－y=7代入⑤得，7=－5k－3，解得k=－2．

把k=－2代入k2－2k＋1中得，原式=（－2）2－2×（－2）＋1=9．

3.2 解決不等式組中待定字母的取值范圍

例4 若方程組3x-2y=m+2

2x+y=m-5的解滿(mǎn)足－1＜x＋y＜1，求m的取值范圍．

分析 用“拼湊整體法”求出x＋y值，然后建立不等式組，解之即可．

解 將原方程組進(jìn)行變形得，

3(x+y)-5y=m+2 ①

2(x+y)-y=m-5 ②

由②×5－①得，7（x＋y）=4m－27，所以x＋y=4m-277．

因?yàn)椋?＜x＋y＜1，所以4m-277>-1

4m-277

例5 已知方程組5x+2y=2

4x-7y=a-3的解為x、y，當(dāng)a為何值時(shí)，x＞y？

分析 用“拼湊整體法”求出x－y值，將x＞y變形為x－y＞0，然后建立不等式，解之即可．

解 將原方程組變形為

5(x-y)+7y=2 ①

4(x-y)-3y=a-3 ②

由①×3＋②×7得，43（x－y）=7a－15，解得x－y=7a-1543．

因?yàn)閤＞y，所以x－y＞0，所以7a-1543>0，解得a>157．

第2篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

例1 等腰三角形的一個(gè)角是110°，那么另外兩個(gè)角分別是（ ）。

A.15°，45° B.35°，35° C.40°，40° D.60°，60°

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)。

題型：計(jì)算題，分類(lèi)討論。

分析：因?yàn)闆](méi)有指明這個(gè)角是頂角還是底角，所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析。

解：①當(dāng)110°是頂角時(shí)，底角=（180°-110°）÷2=35°；②當(dāng)110°是底角時(shí)，另一底角也是110°，因?yàn)?10°+110°>180°，所以不符合三角形內(nèi)角和定理即不能構(gòu)成三角形。故選B。

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，注意利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行檢驗(yàn)。

例2 小華要畫(huà)一個(gè)有兩邊長(zhǎng)分別為7cm和8cm的等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（ ）。

A.16cm B.17cm C.22cm或23cm D.11cm

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系。

題型：應(yīng)用題。

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題可分情況討論。腰長(zhǎng)為7cm或者腰長(zhǎng)為8cm。

解：根據(jù)等腰三角形的概念，有兩邊相等，因而可以是兩條邊長(zhǎng)為7或兩條邊長(zhǎng)為8。當(dāng)兩條邊長(zhǎng)為7時(shí)，周長(zhǎng)=7×2+8=22cm；當(dāng)兩條邊長(zhǎng)為8時(shí)，周長(zhǎng)=8×2+7=23cm。故選C。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系。沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形。

例3 （2009?黔東南州）如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，則∠A等于（ ）。

A.30° B.40°

C.45° D.36°

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)。

分析：題中相等的邊較多，且都是在同一個(gè)三角形中，因?yàn)榍蟆敖恰钡亩葦?shù)，將“等邊”轉(zhuǎn)化為有關(guān)的“等角”，充分運(yùn)用“等邊對(duì)等角”這一性質(zhì)，再聯(lián)系三角形內(nèi)角和為180°求解此題。

解：BD=AD ∠A=∠ABD

BD=BC ∠BDC=∠C

又∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A

∠C=∠BDC=2∠A

AB=AC ∠ABC=∠C

又∠A+∠ABC+∠C=180°

∠A+2∠C=180°

把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，解得∠A=36°。

故選D。

點(diǎn)評(píng)：本題反復(fù)運(yùn)用了“等邊對(duì)等角”，將已知的等邊轉(zhuǎn)化為有關(guān)角的關(guān)系，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角和及三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)求解有關(guān)角的度數(shù)問(wèn)題。

例4 若等腰三角形的底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線(xiàn)把其周長(zhǎng)分成的兩部分之差為3cm，則腰長(zhǎng)為（ ）。

A.8cm B.2cm C.2cm或8cm D.以上全不對(duì)

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)。

題型：計(jì)算題。

分析：此題可由題意得出兩種情況，此等腰三角形腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)之差為3cm，或底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)之差為3cm。再根據(jù)關(guān)系解出即可。

解：等腰三角形一腰上的中線(xiàn)把其周長(zhǎng)分成的兩部分之差為3cm。

可知有兩種情況：此等腰三角形腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)為之差為3cm，或底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)之差為3cm。

底邊長(zhǎng)為5cm。

其腰長(zhǎng)為2cm或8cm。

三角形兩邊之和要大于第三邊，可是如果要為2，則2+2

故選A。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形中線(xiàn)的性質(zhì)。注意在這里因?yàn)樗鼪](méi)有強(qiáng)調(diào)誰(shuí)減誰(shuí)等于3cm，所以必須分為兩種情況去分析討論。

例5 如圖，在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，PD∥AB，PE∥AC，分別交BC于點(diǎn)D、E，且BC=7cm，則PDE的周長(zhǎng)為（ ）。

A.7cm B.8cm

C.9cm D.10cm

知識(shí)點(diǎn)：平行線(xiàn)的性質(zhì)。

分析：可利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)與平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC，進(jìn)而得出PD=BD，PE=CE，故可求解。

解：BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB

∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE

又PD∥AB，PE∥AC

∠ABP=∠BPD，∠APC=∠EPC

∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC

PD=BD，PE=CE

PDE的周長(zhǎng)為PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=7cm

故選A。

點(diǎn)評(píng)：考查平行線(xiàn)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，能夠求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題。

例6 等邊三角形角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高的條數(shù)共為（ ）。

A.3 B.5 C.7 D.9

知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)。

題型：計(jì)算題。

分析：根據(jù)等邊三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，可以求得等邊三角形每個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)和其對(duì)應(yīng)邊的中線(xiàn)、高線(xiàn)重合，即可解題。

解：等邊三角形為特殊的等腰三角形，故每個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)和其對(duì)應(yīng)邊的中線(xiàn)、高線(xiàn)均符合三線(xiàn)合一的性質(zhì)，故等邊三角形角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高的條數(shù)共3條。

故選A。

第3篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

我們?cè)谇懊嫜芯繄D形的過(guò)程中，一直有一根“線(xiàn)”——“對(duì)稱(chēng)”在引導(dǎo)著我們?nèi)フJ(rèn)識(shí)圖形. 由“軸對(duì)稱(chēng)”得到等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、角平分線(xiàn)、中垂線(xiàn)性質(zhì)，由“中心對(duì)稱(chēng)”得到平行四邊形、矩形、菱形、正方形及中位線(xiàn)的性質(zhì). 在這一章中上述結(jié)論的再學(xué)習(xí)并不是游離于以往的探索經(jīng)驗(yàn)，而是依然建立在我們對(duì)“對(duì)稱(chēng)”的理解和認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，繼續(xù)發(fā)揮這根“線(xiàn)”的作用，借助曾經(jīng)的實(shí)驗(yàn)操作方法，就能幫助我們確定證明的方法.

知識(shí)點(diǎn)1 等腰三角形的兩個(gè)底角相等

【透析】 應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)定理證明兩個(gè)角相等時(shí)，必須是這兩個(gè)角在同一個(gè)三角形中，否則結(jié)論不一定成立.

知識(shí)點(diǎn)2 等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合

【透析】 這個(gè)定理簡(jiǎn)稱(chēng)為“三線(xiàn)合一”，應(yīng)用的前提條件是三角形必須為等腰三角形. 在解決有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題中，經(jīng)常需要添加輔助線(xiàn)，雖然等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合，但是如何添加輔助線(xiàn)要由具體情況來(lái)決定，作輔助線(xiàn)時(shí)只需作出一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另外兩條.

知識(shí)點(diǎn)3 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理，只能用在直角三角形中，對(duì)于一般三角形是不成立的. 證明中，主要涉及兩種方法：圖形的“拆”（把一個(gè)等腰三角形拆成兩個(gè)全等的直角三角形）和“拼”（把兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)等腰三角形），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，即把待證的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可證的問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)4 角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

【透析】 這里的“距離”是指“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”，因此在應(yīng)用時(shí)必須含有“垂直”這個(gè)條件，否則不能得到線(xiàn)段相等.

知識(shí)點(diǎn)5 菱形的性質(zhì)

【透析】 菱形也是特殊的平行四邊形，它也具有平行四邊形的所有性質(zhì)，它的獨(dú)特性質(zhì)主要體現(xiàn)在：（1） 4條邊都相等，對(duì)角線(xiàn)互相垂直；（2） 菱形的對(duì)角線(xiàn)把菱形分成4個(gè)全等的直角三角形；（3） 計(jì)算菱形的面積除利用平行四邊形的面積的計(jì)算公式外，當(dāng)a，b分別表示兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)時(shí)，菱形的面積為s=ab.

知識(shí)點(diǎn)6 矩形的判定

【透析】 矩形的每種判定方法都必須有兩個(gè)條件. （1） 定義判定：① 平行四邊形；② 有一個(gè)角是直角. （2） 判定定理1：① 平行四邊形；② 對(duì)角線(xiàn)相等. （3） 判定定理2：① 四邊形；② 有3個(gè)角是直角.

知識(shí)點(diǎn)7 菱形的判定

【透析】 若已知的四邊形是平行四邊形，要證它是菱形，需要證它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直；當(dāng)四邊形是一般的四邊形，要證它是菱形，可以證它的四條邊相等或先證它是一個(gè)平行四邊形，再證它是菱形.

知識(shí)點(diǎn)8 正方形的判定

【透析】 判定一個(gè)四邊形是正方形的主要途徑有兩條：（1） 先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直；（2） 先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等.

知識(shí)點(diǎn)9 等腰梯形的判定

【透析】 等腰梯形判定的一般步驟：先判定一個(gè)四邊形是梯形，再用“兩腰相等”或“在同一底上的兩個(gè)角相等或?qū)蔷€(xiàn)相等”來(lái)判定它是等腰梯形.

第4篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

考點(diǎn)一、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，角的平分線(xiàn)，垂線(xiàn)

1、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理：和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。2、角的平分線(xiàn)及其性質(zhì)

一條射線(xiàn)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)。角的平分線(xiàn)有下面的性質(zhì)定理：

（1）角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

（2）到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。

3垂線(xiàn)的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。

性質(zhì)2：直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線(xiàn)段最短。2、三角形中的主要線(xiàn)段

（1）三角形的一個(gè)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn)。

（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn)。

（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高線(xiàn)（簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高）。

3、三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線(xiàn)段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。③證明線(xiàn)段不等關(guān)系。7、三角形的角關(guān)系

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。推論：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。等角的補(bǔ)角相等，等角的余角相等。

8、三角形的面積

三角形的面積=

2

1

×底×高應(yīng)用：經(jīng)常利用兩個(gè)三角形面積關(guān)系求底、高的比例關(guān)系或值

考點(diǎn)二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角。

2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：直角三角形全等的判定：

對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）考點(diǎn)三、等腰三角形

1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線(xiàn)平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則

第5篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

一、創(chuàng)設(shè)“激勵(lì)式”的教學(xué)氛圍，激發(fā)學(xué)生對(duì)等腰三角形的探索欲

數(shù)學(xué)教學(xué)具有一定的枯燥性，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，要想充分吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的探索欲，就必須有效營(yíng)造“激勵(lì)式”教學(xué)氛圍，以良好的教學(xué)氛圍激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)能動(dòng)性，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)障礙，達(dá)到預(yù)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。在等腰三角形的相關(guān)知識(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地尋找學(xué)生學(xué)習(xí)等腰三角形的情感“敏感區(qū)”，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情感因子和對(duì)等腰三角形的探索欲，使學(xué)生在充沛的情感動(dòng)力支撐下投入到等腰三角形的知識(shí)學(xué)習(xí)當(dāng)中，這樣能夠取得的教學(xué)效果是最佳的。

以“等腰三角形的性質(zhì)”教學(xué)為例。在這一節(jié)課中，可以利用問(wèn)題引導(dǎo)、層層推進(jìn)的方式，營(yíng)造“激勵(lì)式”的教學(xué)氛圍，激發(fā)學(xué)生了解等腰三角形、探索等腰三角形的欲望。具體來(lái)說(shuō)，首先，教師可列舉一些生活當(dāng)中等腰三角形的例子，使學(xué)生對(duì)等腰三角形產(chǎn)生一個(gè)較為直觀的印象；然后，教師可利用多媒體播放設(shè)備，展示一些等腰三角形的形象，帶領(lǐng)學(xué)生找出等腰三角形的特征，并對(duì)等腰三角形進(jìn)行明確定義，使學(xué)生對(duì)等腰三角形的概念產(chǎn)生深入認(rèn)識(shí)；接下來(lái)，是最關(guān)鍵的一步，即引發(fā)學(xué)生的探索欲，教師可以用“大家還知道生活中哪些東西是等腰三角形啊”“等腰三角形在我們的生活中有沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)呢”等話(huà)語(yǔ)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極思考，也可以通過(guò)多媒體設(shè)備展示多個(gè)三角形形象，讓學(xué)生找出其中哪些是等腰三角形，以此讓學(xué)生的頭腦“動(dòng)起來(lái)”，主動(dòng)進(jìn)行思考、探索、分析，這樣可充分激發(fā)學(xué)生的探索欲，使學(xué)生對(duì)于等腰三角形這一概念的理解更加深刻，甚至產(chǎn)生教學(xué)之外的獨(dú)到見(jiàn)解。

二、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題解答，傳授學(xué)生科學(xué)的問(wèn)題探究方法

在主動(dòng)進(jìn)行問(wèn)題探究、問(wèn)題解答的過(guò)程中，很多學(xué)生的方式是非常盲目甚至錯(cuò)誤的，并沒(méi)有遵循科學(xué)的問(wèn)題探究方法。因此，在問(wèn)題探究的過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)引好路、指好方向，通過(guò)互動(dòng)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行有效探究，避免學(xué)生盲目、無(wú)目的思考情況出現(xiàn)，并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的解答，幫助學(xué)生在實(shí)踐探索當(dāng)中逐漸掌握科學(xué)的問(wèn)題探究方法，掌握自主科學(xué)探究的能力。

第6篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

一、證線(xiàn)段相等

例1已知：如圖1，在ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，EDBC交∠BAC的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，EFAB于點(diǎn)F，EGAC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.求證：BF=CG.

解析：本題可構(gòu)造三角形，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)找出全等關(guān)系，使問(wèn)題獲證.

連結(jié)EB、EC.因?yàn)镋D垂直平分BC，所以EB=EC.又因?yàn)锳E為∠BAC的平分線(xiàn)，且EFAB，EGAC，所以根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得EF=EG.從而RtEBF≌RtECG.根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得BF=CG.

二、證線(xiàn)段之差不等

例2已知：如圖2，∠1=∠2，AB＞AC，P是AD上一點(diǎn).求證：PB-PC＜AB-AC.

解析：本題可通過(guò)截長(zhǎng)法找出等量關(guān)系，再結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)找到全等關(guān)系，從而使問(wèn)題得證.

在AB上截取AE=AC，連結(jié)PE.在APE和APC中，因?yàn)锳E=AC，∠1=∠2，AP為公共邊，所以APE≌APC，從而PE=PC.在BEP中，PB-PE＜BE，而PE=PC，BE=AB-AE=AB-AC，所以PB-PC＜AB-AC.

三、證線(xiàn)段垂直

例3已知：如圖3，在ABC中，AD平分∠BAC，DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，與AD交于點(diǎn)O.求證：ADEF.

解析：本題可先證出AEF是等腰三角形，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，使問(wèn)題獲證.

在RtADE和RtADF中，因?yàn)椤螦ED=∠AFD，∠EAD=∠FAD，AD為公共邊，所以RtADE≌RtADF，所以AE=AF，所以AEF是等腰三角形.因?yàn)锳O是頂角∠EAF的平分線(xiàn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AOEF，即ADEF.

四、證線(xiàn)段平行

例4已知：如圖4，從ABC的頂點(diǎn)A分別引∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為D、E.求證：DE∥BC.

解析：要證DE∥BC，可延長(zhǎng)AE、AD，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)證出DE為AFG的中位線(xiàn).

延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)G.由BD平分∠ABC，BDAG ，可得RtABD≌RtGBD，從而AD=DG.同理可得，AE=EF.所以DE為AFG的中位線(xiàn).由中位線(xiàn)的性質(zhì)可得DE∥FG，即DE∥BC.

五、證兩線(xiàn)段之和與第三條線(xiàn)段相等

例5如圖5，在ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分線(xiàn).求證：BC=AD+AC.

解析：根據(jù)角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性構(gòu)造全等三角形，可使問(wèn)題獲證.

在BC上取一點(diǎn)E，使CE=CA，連結(jié)DE.由CA=CE，∠1=∠2，CD=CD，可得ACD≌ECD，所以AD=ED.因?yàn)椤螩ED=∠A=2∠B，且∠CED=∠BDE+∠B，所以∠BDE=∠B，從而B(niǎo)E=DE=AD.所以BC=BE+EC=AD+AC.

六、證兩線(xiàn)段之和與第三條線(xiàn)段不等

例6已知：如圖6，D為ABC的邊BC的中點(diǎn)，∠ADB、∠ADC的平分線(xiàn)分別與AB、AC交于點(diǎn)E、F.求證：EF＜BE+CF.

解析：要求證的線(xiàn)段比較分散，可由角平分線(xiàn)的性質(zhì)入手，將要求的數(shù)量關(guān)系集中于同一三角形中.

延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM=FD，連結(jié)BM、EM.由DM=FD，∠BDM=∠CDF，BD=CD，可得BDM≌CDF，所以BM=CF.因?yàn)椤螦DF=∠CDF，∠BDM=∠CDF，所以∠BDM=∠ADF.又因?yàn)椤螧DE=∠ADE，所以∠EDM=∠EDF.又因?yàn)镈M=FD，DE為公共邊，所以DEM≌DEF，所以EM=EF.因?yàn)镋M＜BE+BM，所以EF＜BE+CF.

七、證線(xiàn)段之間的倍數(shù)關(guān)系

例7已知：如圖7，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線(xiàn)交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.求證：BD=2CE.

解析：要證BD=2CE，可將CE延長(zhǎng)一倍，結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)找出等量關(guān)系，使問(wèn)題得證.

延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)F.由BE平分∠CBF，且BECF，可知BCF為等腰三角形，從而CE=EF，即CF=2CE.因?yàn)椤螧AD=∠CAF=90°，AB=AC，∠ABD=90°-∠F=∠ACF，所以RtABD≌RtACF，從而B(niǎo)D=CF=2CE.

八、證線(xiàn)段之間的差倍關(guān)系

例8已知：如圖8，AO是ABC中∠A的角平分線(xiàn)，BDAO交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn).求證：AB-AC=2DE.

解析：可根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，構(gòu)造等腰三角形求證.

第7篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

等邊三角形（又稱(chēng)正三邊形），為三邊相等的三角形，其三個(gè)內(nèi)角相等，均為60°，它是銳角三角形的一種。等邊三角形也是最穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質(zhì)。

性質(zhì)

（1）等邊三角形是銳角三角形，等邊三角形的內(nèi)角都相等，且均為60°。

（2）等邊三角形每條邊上的中線(xiàn)、高線(xiàn)和角平分線(xiàn)互相重合。（三線(xiàn)合一）

（3）等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸是每條邊上的中線(xiàn)、高線(xiàn)或角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)。

（4）等邊三角形重心、內(nèi)心、外心、垂心重合于一點(diǎn)，稱(chēng)為等邊三角形的中心。（四心合一）

（5）等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值。（等于其高）

第8篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

1、S=1/2×a2，S=1/2×ch。（其中a為直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高）。

2、等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)：穩(wěn)定性，兩直角邊相等 直角邊夾一直角銳角45°，斜邊上中線(xiàn)角平分線(xiàn)垂線(xiàn)三線(xiàn)合一。

3、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一個(gè)角是直角），也是特殊的直角三角形（兩條直角邊等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)（如三線(xiàn)合一、勾股定理、直角三角形斜邊中線(xiàn)定理等）。

（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）

第9篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

一、教學(xué)誤區(qū)

1.數(shù)學(xué)思維的含金量不高

蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)》（以下稱(chēng)“蘇科版”）八年級(jí)上冊(cè)教材，在“等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性”這一內(nèi)容中，就探究“等腰三角形的性質(zhì)”提供了下列教學(xué)素材：把等腰三角形紙片（圖1）沿頂角平分線(xiàn)折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

……

探究“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”這一內(nèi)容，又提供了下列教學(xué)素材：剪一張直角三角形紙片，如圖2（1）。

……

把紙片按圖2（2）所示的方法折疊，再把紙片展開(kāi)并連接CD（如圖2（3）），你發(fā)現(xiàn)了什么？

……

教材的編寫(xiě)意圖，顯然是要讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作來(lái)獲取等腰三角形的性質(zhì)及“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”等一系列的結(jié)論。這種由操作到結(jié)論的方法，解決問(wèn)題的入口寬，操作簡(jiǎn)便，不失是一種幫助學(xué)生探究問(wèn)題的好辦法。

教學(xué)中，如果將教材中的操作原封不動(dòng)地呈現(xiàn)給學(xué)生，對(duì)于基礎(chǔ)差一點(diǎn)的學(xué)生，運(yùn)用這種方法，顯然在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)也獲取了知識(shí)。而對(duì)于基礎(chǔ)好一點(diǎn)、思維能力強(qiáng)一點(diǎn)的學(xué)生，讓他們被動(dòng)地按照上述的操作指令進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，即使得到有效結(jié)論，也只是在茫然中獲取的。這種“指令性操作”，只有折疊的技術(shù)要求，沒(méi)有思維的活動(dòng)內(nèi)涵，久之，勢(shì)必削弱學(xué)生數(shù)學(xué)思維的含金量。如果只是用技術(shù)做實(shí)驗(yàn)，那么數(shù)學(xué)課與技術(shù)課、勞技課還有差別嗎？建立在“指令性操作”這一層面上的實(shí)驗(yàn)與教學(xué)中一貫反對(duì)的“告訴式”、“注入式”教學(xué)有差別嗎？這值得研究與探討。

2.實(shí)驗(yàn)價(jià)值利用率不大

“蘇科版教材”（八年級(jí)上冊(cè)），在“多邊形的內(nèi)角和與外角和”這一內(nèi)容中，提供了下列教學(xué)素材：

在小學(xué)里，我們?cè)?jīng)把一個(gè)三角形的3個(gè)角拼在一起，發(fā)現(xiàn)了“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。（筆者以下稱(chēng)“拼角實(shí)驗(yàn)”）

如圖3，在ABC的邊AC所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中，直線(xiàn)AC與邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)C1、C2、C3……

（1）在上述過(guò)程中，哪些角的大小發(fā)生了變化？

（2）度量∠BAC與∠ACB，并求它們的和;度量∠BAC1與∠AC1B、∠BAC2與∠AC2B、∠BAC3與∠AC3B……并分別求它們的和。你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）當(dāng)直線(xiàn)AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AC′，使AC′∥BC′時(shí)，度量∠BAC′的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（筆者以下稱(chēng)“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”）

“拼角實(shí)驗(yàn)”主要是發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理，并由拼角實(shí)驗(yàn)的啟發(fā)，得到證明三角形內(nèi)角和的輔助線(xiàn)。而在實(shí)際教學(xué)中，老師只開(kāi)發(fā)出實(shí)驗(yàn)的發(fā)現(xiàn)價(jià)值，實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，沒(méi)有將研究的價(jià)值從拼角的過(guò)程中遷移到論證的輔助線(xiàn)的作法上來(lái)，這樣就喪失了這個(gè)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)價(jià)值。

同樣，在“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”中，其價(jià)值一是用“控制變量法”來(lái)研究三角形的內(nèi)角和。即控制三角形中的一個(gè)內(nèi)角∠B不變，通過(guò)變化∠BAC、∠ACB的大小，發(fā)現(xiàn)∠BAC與∠ACB的和不變，進(jìn)而得到三角形的三個(gè)內(nèi)角的和不變，是一個(gè)固定值，從而激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的探究欲望。價(jià)值二是探究三角形三個(gè)內(nèi)角和這個(gè)固定值是多少，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。價(jià)值三是從實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，尋找到證明三角形內(nèi)角和定理的輔助線(xiàn)的另一種作法，從而為證明三角形內(nèi)角和為180°服務(wù)。在教學(xué)過(guò)程中，教師往往將轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)單一地理解為發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理，價(jià)值一、價(jià)值三被忽視了。

3.數(shù)學(xué)本質(zhì)的遷移性不強(qiáng)

“蘇科版教材”（七年級(jí)上冊(cè)）有這樣一道習(xí)題：

桌子上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只，能否經(jīng)過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，能否經(jīng)過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)使7只杯子的杯口全部朝下？

教學(xué)中有不少教師讓幾位同學(xué)拿上7個(gè)紙杯到講臺(tái)桌旁進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，或者讓學(xué)生預(yù)先準(zhǔn)備好紙杯，上課時(shí)自我實(shí)驗(yàn)。第一次，翻動(dòng)后有2只杯子口朝下，5只杯子口朝上;第二次，翻動(dòng)后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上;第三次，翻動(dòng)后有6只杯子口朝下，1只杯子口朝上;第四次，翻動(dòng)后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上……一分鐘過(guò)去了，兩分鐘過(guò)去了，四分鐘過(guò)去了……時(shí)間一分一秒的流逝了，學(xué)生卻隨著時(shí)間變得昏昏沉沉，手忙腳亂，連翻動(dòng)了幾次也數(shù)不清，怎么也想不出來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題的思路。最后，教師不得不告訴學(xué)生，無(wú)論翻動(dòng)多少次，杯口朝上的都是奇數(shù)不是偶數(shù)，所以無(wú)論翻動(dòng)多少次都是不可能杯口全部朝下的，這才將本問(wèn)題勉強(qiáng)解決了。究其原因，這是教師、學(xué)生看不清問(wèn)題而造成的。

二、矯正方法

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在價(jià)值立意上作設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值立意必須是建立在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)之上，如果離開(kāi)了數(shù)學(xué)思維，將實(shí)驗(yàn)定位在按提供的實(shí)驗(yàn)程序進(jìn)行機(jī)械的操作，那只能算是一個(gè)簡(jiǎn)單的技術(shù)活動(dòng)，這樣的活動(dòng)只有動(dòng)手沒(méi)有動(dòng)腦，已偏離數(shù)學(xué)的軌道，失去了數(shù)學(xué)味道，在數(shù)學(xué)教學(xué)上就沒(méi)有意義了。

要凸顯數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教育價(jià)值，必須讓其既具有科學(xué)實(shí)驗(yàn)的一般立意，又具有數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維魅力。即讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也遵循科學(xué)實(shí)驗(yàn)“目的――實(shí)驗(yàn)――猜想――論證――結(jié)論”的一般規(guī)律。基于這樣的認(rèn)識(shí)，可以對(duì)文中提及的“等腰三角形的性質(zhì)”的教學(xué)素材進(jìn)行如下處理。

實(shí)驗(yàn)1：探究“等腰三角形的性質(zhì)”

【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹客ㄟ^(guò)1次折疊1個(gè)等腰三角形形成2個(gè)全等的直角三角形的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)。

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)?zāi)康模處熆梢栽O(shè)計(jì)下列活動(dòng)，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

（1）師：今天老師為同學(xué)們準(zhǔn)備了一些等腰三角形紙片和直角三角形紙片，這節(jié)課就和同學(xué)們玩玩這些紙片，同學(xué)們有沒(méi)有興趣？

設(shè)計(jì)意圖：用這樣的開(kāi)場(chǎng)白，來(lái)激發(fā)學(xué)生的積極性。

（2）師：如何將手中的1個(gè)等腰三角形紙片，通過(guò)1次折疊形成2個(gè)全等的直角三角形？

設(shè)計(jì)意圖：提出這個(gè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生弄清折疊的要求，進(jìn)而探尋折疊的方法。這個(gè)過(guò)程，就是教師層面上設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，主要由教師站在數(shù)學(xué)背景的高度來(lái)提出問(wèn)題，讓學(xué)生探尋實(shí)驗(yàn)方案。

【實(shí)驗(yàn)活動(dòng)】讓學(xué)生根據(jù)教師提出的實(shí)驗(yàn)要求，在思維場(chǎng)景中去探尋折疊與相等、對(duì)稱(chēng)的關(guān)系，從而讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，而不是讓學(xué)生麻木地去折、去猜、去碰，最終形成學(xué)生層面上的實(shí)驗(yàn)方案，進(jìn)而達(dá)到教材中折疊的技術(shù)要求。

方案1：根據(jù)“相等原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數(shù)學(xué)活動(dòng)）――重合（數(shù)學(xué)觀念）――相等（數(shù)學(xué)結(jié)論）”這一“相等”的思路，進(jìn)行折疊。

方案2：根據(jù)“對(duì)稱(chēng)原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數(shù)學(xué)活動(dòng)）――重合（數(shù)學(xué)觀念）――對(duì)稱(chēng)（數(shù)學(xué)結(jié)論）”這一“對(duì)稱(chēng)”的思路，進(jìn)行折疊。

學(xué)生經(jīng)過(guò)這個(gè)思維背景再進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（折疊），不但驗(yàn)證了自己的想法（方案）可行可用，而且還錘煉了數(shù)學(xué)思維。對(duì)于思維層次不高的學(xué)生，讓他們自主地構(gòu)建上述活動(dòng)顯然有困難，這個(gè)困難主要是怎么設(shè)計(jì)出折疊的方案，而對(duì)于折疊的技術(shù)，他們?cè)谂c其他同學(xué)討論交流中，也能完成這樣一個(gè)折疊操作，并且在這個(gè)活動(dòng)中并沒(méi)有降低課本對(duì)他們的基本要求。

【數(shù)學(xué)猜想】實(shí)驗(yàn)是表征，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論才是本源。為此，實(shí)驗(yàn)后，教師要讓學(xué)生直逼數(shù)學(xué)本質(zhì)。這個(gè)活動(dòng)一般可運(yùn)用下列方法來(lái)進(jìn)行。

師：通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，你可以得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，得到“等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，頂角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)、底邊上的高所在直線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸;等腰三角形的兩底角相等;等腰三角形底邊上的高線(xiàn)、中線(xiàn)、頂角平分線(xiàn)重合”數(shù)學(xué)猜想。

【數(shù)學(xué)證明】實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)學(xué)猜想，是基于直覺(jué)和簡(jiǎn)單邏輯下形成的，那么就有必要對(duì)數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，因?yàn)閿?shù)學(xué)的最高境界便是證明。為了實(shí)現(xiàn)上述目的，可以設(shè)計(jì)下列問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生證明。

師：你上述的猜想一定正確嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引發(fā)學(xué)生進(jìn)行理性證明。

【數(shù)學(xué)結(jié)論】通過(guò)折疊，輔之于觀察、抽象、歸納、簡(jiǎn)單的推理等思維活動(dòng)，形成了數(shù)學(xué)猜想;通過(guò)數(shù)學(xué)論證，即通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理、有力的數(shù)學(xué)證明，得到了絕對(duì)真理的數(shù)學(xué)結(jié)論。如何證明這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，是脫離數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，另辟蹊徑;還是回歸實(shí)驗(yàn)，探尋靈感？顯然是要讓學(xué)生透過(guò)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，探求形成現(xiàn)象的本質(zhì)，完成論證猜想的證明。所以在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，探究輔助線(xiàn)的作法，一定要讓學(xué)生回歸折疊的過(guò)程，不僅要讓學(xué)生正確地引出輔助線(xiàn)，而且還要讓學(xué)生體驗(yàn)輔助線(xiàn)誕生的必要性與合理性，這才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)價(jià)值。

【經(jīng)驗(yàn)積累】任何一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，都要讓學(xué)生形成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)橹挥谢顒?dòng)沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，只能是一個(gè)執(zhí)行命令的過(guò)程，它永遠(yuǎn)停留在重復(fù)別人想法的過(guò)程中，所以只有通過(guò)活動(dòng)形成自己特有經(jīng)驗(yàn)，才是一個(gè)將別人的想法內(nèi)化為自己知識(shí)的過(guò)程，這才是學(xué)習(xí)的真正目的。這個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，帶給學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)主要有上述提及的“相等思維”和“對(duì)稱(chēng)思維”這兩種思維方法，它既是設(shè)計(jì)折疊實(shí)驗(yàn)方案的基本思路，也是解決折疊問(wèn)題的基本方法。

完成了探究等腰三角形的性質(zhì)后，還可以用下列實(shí)驗(yàn)活動(dòng)來(lái)探究“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”的問(wèn)題

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2：探究“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”

問(wèn)題1：既然1個(gè)等腰三角形紙片通過(guò)1次折疊可以形成2個(gè)全等的直角三角形，那么可不可以將一個(gè)直角三角形通過(guò)2次折疊，形成2個(gè)等腰三角形呢？

問(wèn)題2：從將1個(gè)直角三角形通過(guò)2次折疊，形成2個(gè)等腰三角形的實(shí)驗(yàn)中，你們又可以得到哪些數(shù)學(xué)猜想？

問(wèn)題3：你準(zhǔn)備如何來(lái)論證這個(gè)結(jié)論？

……

這三個(gè)問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)，也是基于“目的――實(shí)驗(yàn)――猜想――論證――結(jié)論”的理念。有價(jià)值的思維永遠(yuǎn)不是建立在技巧上，而是體現(xiàn)在解決一類(lèi)問(wèn)題的通法上，因?yàn)樗墙逃?guī)律在教學(xué)實(shí)踐中的具體體現(xiàn)。

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在過(guò)程分析上作整合

在“等腰三角形的性質(zhì)”中，已提及到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在其過(guò)程中吸取養(yǎng)分，下面再根據(jù)“三角形內(nèi)角和定理”，重點(diǎn)談?wù)勥@個(gè)話(huà)題。

三角形內(nèi)角和的實(shí)驗(yàn)，其立意就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角，適當(dāng)?shù)亍鞍岚峒摇保M合變成我們熟知的180°的角。學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí)，已有平角的度數(shù)是180°、鄰補(bǔ)角的度數(shù)是180°、平行線(xiàn)形成的同旁?xún)?nèi)角的和是180°等知識(shí)諸備。就“拼角實(shí)驗(yàn)”而言，形成新角的過(guò)程一是形成平角，二是形成鄰補(bǔ)角。就“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”而言，形成新角的過(guò)程是平行線(xiàn)下的同旁?xún)?nèi)角。這三種拼角的過(guò)程非常重要，它是形成證明三角形內(nèi)角和定理輔助線(xiàn)的關(guān)鍵，也是設(shè)計(jì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值所在，教學(xué)中不容忽視。

（1）拼角實(shí)驗(yàn)下產(chǎn)生的輔助線(xiàn)

①由拼成平角的實(shí)驗(yàn)（圖4），可以構(gòu)造出過(guò)點(diǎn)A引BC平行線(xiàn)DE的輔助線(xiàn)（圖5）的證法。

②由拼成鄰補(bǔ)角的實(shí)驗(yàn)（圖6），構(gòu)造出延長(zhǎng)BA到E，并過(guò)點(diǎn)A引BC平行線(xiàn)AD的輔助線(xiàn)（圖7）的證法。

（2）轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)下產(chǎn)生的輔助線(xiàn)

由拼成平行線(xiàn)下的同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的實(shí)驗(yàn)（圖8），可以構(gòu)造出過(guò)點(diǎn)A引BC平行線(xiàn)AD的輔助線(xiàn)（圖9）的證法。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)，可以得到三角形內(nèi)角和為180°的假設(shè)，通過(guò)證明，得到了三角形內(nèi)角和定理。看似這一過(guò)程比較圓滿(mǎn)，在此建議增加一個(gè)對(duì)上述思維過(guò)程的反思環(huán)節(jié)。可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述實(shí)驗(yàn)活動(dòng)進(jìn)行研究反思，正因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和是180°，我們才可以設(shè)計(jì)出“拼角實(shí)驗(yàn)”，才可以通過(guò)“拼角實(shí)驗(yàn)”順利尋找出將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角的輔助線(xiàn)、才可以順利尋找出將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成鄰補(bǔ)角的輔助線(xiàn)來(lái)證明內(nèi)角和定理;正因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和是180°，我們才可以設(shè)計(jì)出“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”，才可以順利尋找出通過(guò)將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平行線(xiàn)形成的同旁?xún)?nèi)角的輔助線(xiàn)來(lái)證明此定理。

3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在問(wèn)題本質(zhì)上作文章

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與理性思維怎么處理，一直是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)關(guān)注的問(wèn)題。物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)，常常是重過(guò)程現(xiàn)象，更重實(shí)驗(yàn)結(jié)果。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，要關(guān)注的是動(dòng)手思考的習(xí)慣，更注重的是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示。一個(gè)好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，要能引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題，在實(shí)驗(yàn)中抽象出一般的原理，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言講出數(shù)學(xué)故事。

文中所提及的“翻轉(zhuǎn)杯口”的實(shí)驗(yàn)，如果教師看不清、看不準(zhǔn)這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，只能是引導(dǎo)學(xué)生機(jī)械地進(jìn)行這個(gè)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生必然得不到深層次的思考。這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是將實(shí)驗(yàn)中的問(wèn)題抽象為通過(guò)改變乘積中因數(shù)符號(hào)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定積的符號(hào)是否發(fā)生變化這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。基于這樣的認(rèn)識(shí)，就能找到這個(gè)問(wèn)題規(guī)律化的結(jié)論。因此，可以將本問(wèn)題作如下拓展。

結(jié)合上述解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)?zhí)骄浚航o定正面向上的撲克牌m張，每次翻動(dòng)n張（m不能被n整除），試研究是否可以經(jīng)過(guò)改變一張或幾張牌的正反面，將桌面上的撲克牌全部反向。

我們不妨將正面向上的每張牌看成數(shù)+1，反面向上的每張牌看成數(shù)-1，每翻動(dòng)一張牌，則桌子上所有牌所寫(xiě)的數(shù)的積就改變一次符號(hào)（由-1變?yōu)?1）。類(lèi)似于，若一次翻動(dòng)n張，就改變n次符號(hào)。因此，若n為奇數(shù)，由于奇數(shù)個(gè)-1的積為-1，桌子上所有牌所寫(xiě)的數(shù)的積就改變了符號(hào);而若n為偶數(shù)，由于偶數(shù)個(gè)-1的積為+1，桌子上所有牌所寫(xiě)的數(shù)的積仍保持原來(lái)的符號(hào)。

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，要將所有正面向上的牌最終翻動(dòng)成都反面向上，須改變積的符號(hào)。由上可見(jiàn)，若n為偶數(shù)，那是不可能做到的;而若n是奇數(shù)，則有可能做到，且翻動(dòng)的次數(shù)必須奇數(shù)次。

當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，要將所有正面向上的牌最終翻動(dòng)成都反面朝上，不須改變積的符號(hào)。由上可見(jiàn)，若n為奇數(shù)，須翻動(dòng)偶數(shù)次可達(dá)目的;若n是偶數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)（如表1）。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)隨著課程改革的深入，越發(fā)顯示出其強(qiáng)大的生命力，這是毋庸置疑的。本文提及的案例，只是在實(shí)施這一理念中教學(xué)行為上的一些偏差，我們期待更好更多的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)成果的涌現(xiàn)。